2024成都中考数学二轮复习专题：二次函数与等腰三角形存在性问题

这是一份2024成都中考数学二轮复习专题：二次函数与等腰三角形存在性问题，共16页。试卷主要包含了方法突破，典例精析，中考真题对决等内容，欢迎下载使用。
【问题描述】
如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形．
【几何法】“两圆一线”得坐标
（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；
（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；
（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．
【注意】若有三点共线的情况，则需排除．
作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．
同理可求，下求．
显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A、B均往下移一个单位，当点A坐标为（1,0），点B坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：
而对于本题的，或许代数法更好用一些．
【代数法】表示线段构相等
（1）表示点：设点坐标为（m，0），又A点坐标（1,1）、B点坐标（4,3），
（2）表示线段：，
（3）分类讨论：根据，可得：，
（4）求解得答案：解得：，故坐标为．
【小结】
几何法：（1）“两圆一线”作出点；
（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．
代数法：（1）表示出三个点坐标A、B、C；
（2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC；
（3）根据题意要求取①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC；
（4）列出方程求解．
问题总结：
（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；
（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；
（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．
二、典例精析
例一：如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由．

【分析】
（1）；
（2）可用铅垂法，当点D坐标为时，△ADE面积最大，最大值为14；
（3）这个问题只涉及到A、E两点及直线x=-1（对称轴）
①当AE=AP时，以A为圆心，AE为半径画圆，与对称轴交点即为所求P点．
∵AE=，∴，又AH=3，∴，
故、．
②当EA=EP时，以E点为圆心，EA为半径画圆，与对称轴交点即为所求P点．
过点E作EM垂直对称轴于M点，则EM=1，，
故、．
③当PA=PE时，作AE的垂直平分线，与对称轴交点即为所求P点．
设，，
∴，解得：m=1．
故．
综上所述，P点坐标为、、、、．
【补充】“代数法”用点坐标表示出线段，列方程求解亦可以解决．
例二：如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，连接，．点是第一象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）过点作轴，垂足为点，交于点．试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由；
【分析】
（1）；
（2）①当CA=CQ时，∵CA=5，∴CQ=5，
考虑到CB与y轴夹角为45°，故过点Q作y轴的垂线，垂足记为H，
则，故Q点坐标为．
②当AC=AQ时，考虑直线BC解析式为y=-x+4，可设Q点坐标为（m，-m+4），
，
即，解得：m=1或0（舍），
故Q点坐标为（1，3）．
③当QA=QC时，作AC的垂直平分线，显然与线段BC无交点，故不存在．
综上所述，Q点坐标为或（1，3）．
三、中考真题对决
1．（2021•宿迁）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点．连接，，点在抛物线上运动．
（1）求抛物线的表达式；
（3）如图②，若点在第一象限，直线交于点，过点作轴的垂线交于点，当为等腰三角形时，求线段的长．
解：（1），是抛物线与轴的两个交点，且二次项系数，
根据抛物线的两点式知，．
（3）设与轴的交点为，，
则，，
若，则，
，
，
即，
解得舍去），此时．
若，过点作轴于点，
，
，，
，
又，
，
，
在中，，，
，
，
将上式和抛物线解析式联立并解得舍去），
此时．
若，过点作交于点（见上图），
，
，
，
，
即平分，
，
，，
，
联立抛物线解析式，解得舍去）．
此时．
当时，；
当时，；
当时，；
2．（2021•绥化）如图，已知抛物线与轴交于点，点（点在点的左边），与轴交于点，点为抛物线的顶点，连接．直线经过点，且与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是抛物线上的一点，当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标；
解：（1）将，代入抛物线得：
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2），，点是抛物线上的一点且是以为腰的等腰三角形，
此题有两种情形：
①当时，根据抛物线的对称性得：与重合，
，
②方法一：当时（如图，在的垂直平分线上，
的垂直平分线交于，交轴于点，与轴交点为，
，，
，
在中，，
，
是的中点，，
，
，
，，
设，代入得：
，
解得：，
，
联立得：，
解得：，
，
，，，，
方法二：如图2，
过点作交于点，
设，，
，
，
，
，
，
解得：，
把代入，
，，，，
综上所述，，，，，；
3．（2021•随州）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点的坐标为．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（3）如图2，是直线上一个动点，过点作轴交抛物线于点，是直线上一个动点，当为等腰直角三角形时，直接写出此时点及其对应点的坐标．
解：（1）顶点的坐标为，
设抛物线的解析式为，将点代入，
得，
解得：，
，
该抛物线的解析式为；
（3）设直线解析式为，直线解析式为，
，，
，
解得：，
直线解析式为，
，，
，
解得：，
直线解析式为，
设，则，
，
①当是以为斜边的等腰直角三角形时，此时，，如图2，
轴，
，，
，
，
解得：（舍或或，
，，，；，，，；
②当是以为斜边的等腰直角三角形时，此时，，如图3，
轴，
，，
，
，
解得：（舍或或，
，；，；
③当是以为斜边的等腰直角三角形时，
此时，，如图4，
过点作于，则，
，
，，
，
，
，
，
解得：或1，
，；，；
综上所述，点及其对应点的坐标为：
，，，；，，，；，；，；，；，．
4．（2021•怀化）如图所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，，，抛物线的对称轴与直线交于点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（4）点是抛物线上位于轴上方的一点，点在轴上，是否存在以点为直角顶点的等腰？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意得，点、、的坐标分别为、、，
设抛物线的表达式为，则，解得，
故抛物线的表达式为；
（4）存在，理由：
①当点在轴的右侧时，
设点的坐标为，
故点作轴的平行线交轴于点，交过点与轴的平行线于点，
，，
，
，，
，
，
即，解得（不合题意的值已舍去），
故点的坐标为，；
②当点在轴的左侧时，
同理可得，点的坐标为，．
综上，点的坐标为，或，．
5．（2021•广安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于、、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒．
（1）求、的值．
（3）在线段上方的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）二次函数经过点，，
则，
解得：；
（3）存在．假设点是线段上方的抛物线上的点，
如图，过点作轴的垂线，交轴于，过作轴的垂线，与交于，连接，．
是等腰直角三角形，，，
，又，
，
在和中，
，
，
，，
，
又，
点的坐标为，
点在抛物线上，
，
解得：或（舍，
点的坐标为，．