2024成都中考数学二轮复习专题：二次函数与直角三角形存在性问题

这是一份2024成都中考数学二轮复习专题：二次函数与直角三角形存在性问题，共16页。试卷主要包含了方法突破，典例精析，中考真题对决等内容，欢迎下载使用。
【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1,1），点B坐标为（5,3），在x轴上找一点C使得△ABC是直角三角形，求点C坐标．
【几何法】两线一圆得坐标
（1）若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；
（2）若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；
（3）若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角）
重点还是如何求得点坐标，求法相同，以为例：
【构造三垂直】
求法相同，以为例：
构造三垂直步骤：
第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；
第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．
【代数法】表示线段构勾股
还剩下待求，不妨来求下：
（1）表示点：设坐标为（m，0），又A（1，1）、B（5，3）；
（2）表示线段：，，；
（3）分类讨论：当为直角时，；
（4）代入得方程：，解得：．
二、典例精析
例一：如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，．
（1）若直线经过、两点，求直线和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标；
（3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点坐标．
【分析】
（1）直线BC：
抛物线：；
（2）将军饮马问题，考虑到M点在对称轴上，且点A关于对称轴的对称点为点B，故MA+MC=MB+MC，∴当B、M、C三点共线时，M到A和C的距离之后最小，此时M点坐标为（-1，2）；
（3）两圆一线作点 P：
以为例，构造△PNB∽△BMC，考虑到BM=MC=3，
∴BN=PN=2，故点坐标为（-1，-2）．
易求坐标为（1,4）．
、求法类似，下求：
已知PN=1，PM=2，设CN=a，BM=b，
由相似得：，即ab=2，由图可知：b-a=3，
故可解：，（舍），对应坐标为．
类似可求坐标为．
例二：通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．
【模型呈现】
如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转得到AD，过点D作DE⊥AC于点，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=DE，BC=AE．
我们把这个数学模型成为“K型”．
推理过程如下：
【模型迁移】
二次函数的图像交轴于点A（-1,0），B（4,0）两点，交轴于点．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，设运动的时间为秒．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标．

【分析】
（1）；
（2）本题直角顶点P并不确定，以BC为斜边作等腰直角三角形，直角顶点即为P点，再过点P作水平线，得三垂直全等．
设HP=a，PQ=b，则BQ=a，CH=b，
由图可知：，解得：．
故D点坐标为（1,3）．
同理可求此时D点坐标为（3,2）．
思路2：等腰直角的一半还是等腰直角．
如图，取BC中点M点，以BM为一直角边作等腰直角三角形，则第三个顶点即为P点．根据B点和M点坐标，此处全等的两三角形两直角边分别为1和2，故P点坐标易求．
P点横坐标同D点，故可求得D点坐标．
还有个需要用到一个教材上并没有出现但是大家都知道的算法：
互相垂直的两直线斜率之积为-1．
考虑到直线与AB互相垂直，，可得：，
又直线过点A（1,1），可得解析式为：y=-2x+3，
所以与x轴交点坐标为，即坐标为．
确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上~
【小结】
几何法：（1）“两线一圆”作出点；
（2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数．
代数法：（1）表示点A、B、C坐标；
（2）表示线段AB、AC、BC；
（3）分类讨论①AB²+AC²=BC²、②AB²+BC²=AC²、③AC²+BC²=AB²；
（4）代入列方程，求解．
三、中考真题对决
1.（2018·怀化中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线的解析式；
（2）请在轴上找一点，使的周长最小，求出点的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点，使以点，，为顶点，为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】
（1）抛物线：，直线AC：y=3x+3；
（2）看图，M点坐标为（0,3）与C点重合了．
（3）考虑到AC为直角边，故分别过A、C作AC的垂线，与抛物线交点即为所求P点，
有如下两种情况，
先求过A点所作垂线得到的点P：
设P点坐标为，
则PM=m+1，AM=，
易证△PMA∽△ANC，且AN=3，CN=1，
∴，解得：，（舍），
故第1个P点坐标为；
再求过点C所作垂线得到的点P：
，CN=m，
，解得：，（舍），
故第2个P点坐标为．
综上所述，P点坐标为或．
2．（2021•巴中）已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点在直线下方的抛物线上，连接交于点，当最大时，求点的坐标及的最大值；
（3）在（2）的条件下，过点作轴的垂线，在上是否存在点，使是直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）将点、、代入，
得，
解得，
；
（2）如图1，过点作轴交直线于点，过作轴交直线于点，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
当时，有最大值，
；
（3），点在上，
如图2，当时，
过点作轴，过点作轴，与交于点，过点作轴，与交于点，
，，
，
，
，即，
，
；
如图3，当时，
过点作轴交于点，
，，
，
，
，即，
，
；
如图4，当时，
线段的中点，，
设，
，
，
或，
或；
综上所述：是直角三角形时，点坐标为或或或．
3．（2021•毕节市）如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，对称轴为直线，顶点为，点的坐标为．
（1）填空：点的坐标为 ，点的坐标为 ，抛物线的解析式为 ；
（3）是抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）对称轴为直线，
，
，
点是抛物线与轴的交点，
，
，
，
令，，
或，
，
是抛物线的顶点，
，
故答案为，，；
（3）存在，理由如下：
，，
，的中点为，，
设，
是以为斜边的直角三角形，
，
，
或，
或，
使是以为斜边的直角三角形时，点坐标为或．
4.（2019·鄂尔多斯中考）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）是直线下方抛物线上的一个动点，作于点，求的最大值．
（3）以点为圆心，1为半径作圆，上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，说明理由．
【分析】
（1）；
（2）过点P作x轴的垂线交EF于点Q，所谓PH最大，即PQ最大，易解．
（3）CM为直角边，故点C可能为直角顶点，点M也可能为直角顶点．
①当为直角时，如图：
：不难求得CF=1，BF=2，
∴，又，
可得：，．
故坐标为；
同理可求坐标为．
②当∠BMC为直角时，如图：
：不难发现CM=1，BC=，∴，
即△MEC∽△BFM，且相似比为1：2，
设EC=a，EM=b，则FM=2a，BF=2b，
由图可知：，解得：．
故点的坐标为．
至于坐标，显然．
综上所述，M点坐标为或或或．
5.【2019阜新中考】
如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点．
（1）求这个抛物线的函数表达式．
（2）点的坐标为，点为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值．
（3）点为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点，使为等腰直角三角形，且为直角？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】
（1）；
（2）连接AC，将四边形面积拆为△APC和△ADC面积，考虑△ADC面积为定值，故只需△APC面积最大即可，铅垂法可解；
（3）过点N作NE⊥x轴交x轴于E点，
如图1，过点M向NE作垂线交EN延长线于F点，
易证△OEN≌△NFM，可得：NE=FM．
设N点坐标为，则，，
∴
，解得：（图1），（图4）
对应N点坐标分别为、；
，解得：（图2）、（图3）
对应N点坐标分别为、．