2024成都中考数学二轮复习专题：三角形面积求最大值问题——铅垂法

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求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法．
【问题描述】在平面直角坐标系中，已知、、，求△ABC的面积．
【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样：
构造矩形ADEF，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC面积．
这是在“补”，同样可以采用“割”：
此处AE+AF即为A、B两点之间的水平距离．
由题意得：AE+BF=6．
下求CD：
根据A、B两点坐标求得直线AB解析式为：
由点C坐标（4,7）可得D点横坐标为4，
将4代入直线AB解析式得D点纵坐标为2，
故D点坐标为（4,2），CD=5,
．
【方法总结】
作以下定义：
A、B两点之间的水平距离称为“水平宽”；
过点C作x轴的垂线与AB交点为D，线段CD即为AB边的“铅垂高”．
如图可得：
【解题步骤】
（1）求A、B两点水平距离，即水平宽；
（2）过点C作x轴垂线与AB交于点D，可得点D横坐标同点C；
（3）求直线AB解析式并代入点D横坐标，得点D纵坐标；
（4）根据C、D坐标求得铅垂高；
（5）利用公式求得三角形面积．
【思考】如果第3个点的位置不像上图一般在两定点之间，如何求面积？
铅垂法其实就是在割补，重点不在三个点位置，而是取两个点作水平宽之后，能求出其对应的铅垂高！因此，动点若不在两定点之间，方法类似：
【铅垂法大全】
（1）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD．
（2）取AC作水平宽，过点B作BD⊥x轴交直线AC于点D，BD即对应的铅垂高，
（3）取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD．
甚至，还可以横竖互换，在竖直方向作水平宽，在水平方向作铅垂高．
（4）取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD．
（5）取AC作水平宽，过点B作铅垂高BD．
（6）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD．
方法突破
例一、
如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点为该抛物线上一动点（与点、不重合），设点的横坐标为m．当点在直线的下方运动时，求的面积的最大值．
【分析】
（1），
（2）取BC两点之间的水平距离为水平宽，过点P作PQ⊥x轴交直线BC于点Q，则PQ即为铅垂高．
根据B、C两点坐标得B、C水平距离为4，
根据B、C两点坐标得直线BC解析式：y=x+1，
设P点坐标为（m，m²+6m+5），则点Q（m，m+1），
得PQ=-m²-5m-4，
考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积就最大．
当时，△BCP面积最大，最大值为．
【小结】选两个定点作水平宽，设另外一个动点坐标来表示铅垂高．
例二、
在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），，经过点的一次函数的图像与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为5．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点在一次函数的图像下方，求面积的最大值，并求出此时点的坐标．

【分析】
（1）抛物线解析式：；
一次函数解析式：．
（2）显然，当△ACE面积最大时，点E并不在AC之间．
已知A（-1,0）、，
设点E坐标为，过点E作EF⊥x轴交直线AD于F点，
F点横坐标为m，代入一次函数解析式得
可得
考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积最大．
既然都是固定的算法，那就可以总结一点小小的结论了，
对坐标系中已知三点、、，
按铅垂法思路，可得：
如果能记住也不要直接用，可以当做是检验的方法咯．
【总结】铅垂法是求三角形面积的一种常用方法，尤其适用于二次函数大题中的三角形面积最值问题，弄明白方法原理，熟练方法步骤，加以练习，面积最值问题轻轻松松．
专项训练
1．已知二次函数和一次函数的图象都经过点，且二次函数的图象经过点，一次函数的图象经过点．
（1）分别求、和、的值；
（2）点是二次函数的图象上一动点，且点在轴上方，写出的面积关于点的横坐标
的函数表达式，并求的最大值．
【分析】（1）把直线和曲线经过的点代入得到方程组，求解即可得到答案；
（2）分两种情况：①当点在轴左侧时，过点作轴交于点，②当点在轴右侧时，过点作轴交的延长线于点，分别根据三角形面积公式得到关系式，利用函数式表示三角形的面积，配方可得答案．
【解答】解：（1）二次函数和一次函数的图象都经过点，一次函数的图象经过点，
，
，
二次函数和一次函数的图象都经过点，二次函数的图象经过点，
，
．
（2）由（1）知一次函数与二次函数的解析式分别为：或，
①当点在轴左侧时，过点作轴交于点，则，
②当点在轴右侧时，过点作轴交的延长线于点，
则，
点在抛物线上，设，则，
，
，
即当时，最大．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及一次函数、图形面积的计算等，掌握其性质及运算是解决此题关键，
2．如图，抛物线经过，，三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线下方的抛物线上有一动点，使得的面积最大，求点的坐标；
（3）点为轴上一动点，在抛物线上是否存在一点，使以，，，四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点、、的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）由的面积，即可求解；
（3）分是边、是对角线两种情况，利用平移的性质和中点公式即可求解．
【解答】解：（1）将点、、的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为；
（2）设直线的表达式为，则，解得，
故直线的表达式为，
过点作轴的平行线交于点，
设点的坐标为，则点，
则的面积，
，故该抛物线开口向下，的面积存在最大值，此时，
则点的坐标为；
（3）存在，理由：
设点的坐标为，则①，
①当是边时，
点向下平移3个单位得到点，则点向下平移3个单位得到点，
则或②，
联立①②并解得或（不合题意的值已舍去）；
②当是对角线时，
则由中点公式得：③，
联立①③并解得（不合题意的值已舍去）；
综上，点的坐标为或，或，．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
3．综合与探究：
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于，，三点，点是直线下方抛物线上的一个动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）动点运动到什么位置时，的面积最大，求出此时点坐标及面积的最大值；
（3）在轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将、、坐标代入即可求解析式；
（2）设坐标，表示出的面积，再求出最大面积和面积最大时的坐标；
（3）两个直角顶点是对应点，而两直角边的比为，只需两直角边比也为，两个三角形就相似，分两种情况列出比例式即可．
【解答】解：（1）设二次函数的解析式为，
二次函数的图象交坐标轴于，，，
，，，
解得，，，
二次函数的解析式为，
故答案为：；
（2）设直线解析式为，将，代入得，
解得，，
解析式是，
如答图1，过作轴，交于，
点是直线下方抛物线上的一个动点，
，，，
，
，
，
时，最大为，此时，
，，
故答案为：，，最大为；
，，，
，，
点在轴上，
，
若以，，为顶点的三角形与相似，则与对应，
分两种情况：
①如答图2，，
则即，解得，
或；
②，
则即，解得，
或，
综上所述，存在轴上的点，使以，，为顶点的三角形与相似，这样的点一共4个：或，
或，
故答案为：存在这样的点，坐标分别是：或，或，
【点评】本题是二次函数、相似三角形、面积等问题的综合题，主要考查坐标、线段的转化，面积的表示，涉及方程思想，分类思想等，难度适中．
4．如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知点坐标为，点坐标为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点为直线上方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标；
（3）如图2，点为该抛物线的顶点，直线轴于点，在直线上是否存在点，使点到直线的距离等于点到点的距离？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）过点作轴于，交于点，先求出的解析式，设点，则点，由三角形面积公式可得，由二次函数的性质可求解；
（3）设直线与轴交于点，过点作于，先求出点，点坐标，可求解析式，可得，由等腰直角三角形的性质可得，由两点距离公式可列，即可求解．
【解答】解：（1）点，点在抛物线图象上，
，
解得：，
抛物线解析式为：；
（2）点，点，
直线解析式为：，
如图，过点作轴于，交于点，
设点，则点，
，
，
当时，有最大值，
点，；
（3）存在满足条件，
理由如下：抛物线与轴交于、两点，
点，
，
顶点为，
点为，点，
直线的解析式为：，
如图，设直线与轴交于点，过点作于，
点，
，
，
，
，
，
，
设点，
点到直线的距离等于点到点的距离，
，
，
，
，
，
，
存在点满足要求，点坐标为或．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，两点距离公式，等腰直角三角形的性质等知识，利用参数列方程是本题的关键．
5．如图，抛物线过点和，顶点为，直线与抛物线的对称轴的交点为，，平行于轴的直线与抛物线交于点，与直线交于点，点的横坐标为，四边形为平行四边形．
（1）求点的坐标及抛物线的解析式；
（2）若点为抛物线上的动点，且在直线上方，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上取一点，同时在抛物线上取一点，使以为一边且以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点和点的坐标．
【分析】（1）由待定系数法求出直线的解析式为，求出点的坐标，由平行四边形的性质得出，求出的值，则可得出答案；
（2）设，作轴交于点，则，得出，由二次函数的性质可得出答案；
（3）联立直线和抛物线解析式求出，，设，，分两种情况：①当为对角线时，②当为对角线时，分别求出点和的坐标即可．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为，
，，，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
点的横坐标为，
点纵坐标为，
点的坐标为，，
又点在抛物线上，
，
对称轴为：，
，
解析式化为：，
四边形为平行四边形．
，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）设，作轴交于点，
则，
，
，
当时，的面积最大为，此时，．
（3），
或，
，，
设，，
①当为对角线时，
，
在抛物线上，
，
解得，
，；
②当为对角线时，
，
在抛物线上，
，
解得，
，，．
综上所述，，；或，，．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨论思想是解题的关键．
6．在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点在轴上，另两个顶点，在轴上，且，抛物线经过，，三点，如图1所示．
（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．
（2）过原点任作直线交抛物线于，两点，如图2所示．
①求面积的最小值．
②已知是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点，使得点与点关于直线对称，若存在，求出点的坐标及直线的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质求得、、，进而得、、三点的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式；
（2）①设直线的解析式为，，，，，联立方程组求得，再由三角形的面积公式求得结果；
②假设抛物线上存在点，使得点与点关于直线对称，由列出方程求得的值，再根据题意舍去不合题意的值，再求得的中点坐标，便可求得直线的解析式．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为，
在等腰中，垂直平分，且，
，
，，，
，
解得，，
抛物线的解析式为；
（2）①设直线的解析式为，，，，，
由，可得，
，，
，
，
，
当时取最小值为4．
面积的最小值为4．
②假设抛物线上存在点，使得点与点关于直线对称，
，即，
解得，，，，，
，不合题意，舍去，
当时，点，
线段的中点为，
，
，
直线的表达式为：，
当时，点，，
线段的中点为，，
，
，
直线的解析式为．
综上，点，，直线的解析式为或点，，直线的解析式为．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，轴对称的性质，第（2）①题关键是求得、两点的横坐标之差，第（2）②小题关键是根据轴对称性质列出的方程，以及求得的中点坐标．