2024成都中考数学二轮复习专题：相似三角形存在性揭秘

这是一份2024成都中考数学二轮复习专题：相似三角形存在性揭秘，共18页。试卷主要包含了当相似时等内容，欢迎下载使用。

1.先求函数的解析式，然后在函数的图像上探求符合几何条件的点；
2.简单一点的题目，就是用待定系数法直接求函数的解析式；
3.复杂一点的题目，先根据图形给定的数量关系，运用数形结合的思想，求得点的坐标，继而用待定系数法求函数解析式；
4.还有一种常见题型，解析式中由待定字母，这个字母可以根据题意列出方程组求解；
5.当相似时：一般说来，这类题目都由图像上的点转化到三角形中的边长的问题，再由边的数量关系转化到三角形的相似问题；
6.考查利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法。
【备注】：
1.以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考；
2.在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读题时引导学生发现一些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思；
3.可以根据各题的“教法指导”引导学生逐步解题，并采用讲练结合；注意边讲解边让学生计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例题的分析中来；
4.例题讲解，可以根据“参考教法”中的问题引导学生分析题目，边讲边让学生书写，每个问题后面有答案提示；
5.引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等；
6.部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评；
7.每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7分钟，选讲例题在时间足够的情况下讲解。
例1.（2022青浦一模24）．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）联结BC、BD，求∠CBD的正切值；
（3）若点P为x轴上一点，当△BDP与△ABC相似时，求点P的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c，
得，
解得：，
所以抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
当x＝0时，y＝﹣3．
∴点C的坐标为（0，﹣3）．
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴点D的坐标为（1，﹣4）．
∵B（3，0）、C（0，﹣3）、D（1，﹣4），
∴BC＝，DC＝，BD＝．
∴BC2+DC2＝18+2＝20＝DB2．
∴∠BCD＝90°．
∴tan∠CBD＝．
（3）∵tan∠ACO＝，
∴∠ACO＝∠CBD．
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°．
∴∠ACO+∠OCB＝∠CBD+∠OBC．
即：∠ACB＝∠DBO．
∴当△BDP与△ABC相似时，点P在点B左侧．
（i）当时，
∴．
∴BP＝6．
∴P（﹣3，0）．
（ii）当时，
∴．
∴BP＝．
∴P（﹣，0）．
综上，点P的坐标为（﹣3，0）或（﹣，0）．
例2.（2022嘉定一模24）（12分）（2021秋•嘉定区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A、B两点在直线y＝x上，如图．二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象也经过点A、B两点，并与y轴相交于点C，如果BC∥x轴，点A的横坐标是2．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设这个二次函数图象的对称轴与BC交于点D，点E在x轴的负半轴上，如果以点E、O、B所组成的三角形与△OBD相似，且相似比不为1，求点E的坐标；
（3）设这个二次函数图象的顶点是M，求tan∠AMC的值．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣2的图像与y轴相交于点C，
∴点C的坐标为（0，﹣2），
∵BC//x轴，
∴点B的纵坐标是﹣2，
∵点A、B两点在直线y＝x上，点A的横坐标是2，
∴点A的坐标为（2，1），点B的坐标为（﹣4，﹣2），
∵这个二次函数的图像也经过点A（2，1）、B（﹣4，﹣2），
∴，
解这个方程组，得 a＝，b＝1，
∴二次函数的解析式是y＝+x﹣2；
（2）根据（1）得，二次函数y＝+x﹣2图像的对称轴是直线x＝﹣2，
∴点D的坐标为（﹣2，﹣2），
∴OB＝2，BD＝2，
∵BC//x轴，
∴∠OBD＝∠BOE，
∴以点E、O、B组成的三角形与△OBD相似有可能以下两种：
①当时，△BOD∽△OBE，显然这两相似三角形的相似比为1，与已知相似比不为1矛盾，这种情况应舍去，
②当时，△BOD∽△OEB，
∴，
∴OE＝10，
又点E在x轴的负半轴上，
∴点E的坐标为 （﹣10，0）；
（3）过点C作CH⊥AM，垂足为H，
根据（1）得，二次函数的解析式是y＝+x﹣2的顶点坐标为M（﹣2，﹣3），
设直线AM的解析式为y＝kx+m，
，
解得k＝1，m＝﹣1，
∴直线AM的解析式为y＝x﹣1，
设直线AM与x轴、y轴的交点分别为点P、Q，
则点P的坐标为（1，0），点Q的坐标为（0，﹣1），
∴△OPQ是等腰直角三角形，∠OQP＝45°，
∵∠OQP＝∠HOC，
∴∠HOC＝45°，
∵点C的坐标为（0，﹣2），
∴CQ＝1，
∴HC＝HQ＝，
又MQ＝2，
∴MH＝MQ﹣HQ＝，
∴tan∠AMC＝．
例3（202崇明一模）24. 如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，3)，点M(m，0)为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．
（1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）如果以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，求m的值；
（3）如果以B、P、N为顶点的三角形与△ABO相似，求点M的坐标．
【小问1详解】解：∵抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，3)，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y=−x2+x+3，
∵y=−x2+x+3=−(x-)2+，
∴此抛物线对称轴为x=，
顶点坐标为(，)；
【小问2详解】解：设直线AB的解析式为y=px+q，
把A（4，0），B（0，3）代入得，
解得：，
∴直线AB的解析式为y=，
∵M（m，0），MN⊥x轴，
∴N（m，−m2+m+3），P（m，），
∴NP=−m2+3m，OB=3，
∵NP∥OB，且以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，
∴NP= OB，即−m2+3m=3，
整理得：m2-4m+4=0，
解得：m=2；
【小问3详解】∵A（4，0），B（0，3），P（m，），
∴AB=5，BP=，
而NP=−m2+3m，
∵PN∥OB，
∴∠BPN=∠ABO，
当时，△BPN∽△OBA，
即，
整理得9m2-11m=0，解得m1=0（舍去），m2=，
此时M点的坐标为（，0）；
当时，△BPN∽△ABO，
即，
整理得2m2-5m=0，解得m1=0（舍去），m2=3，
此时M点的坐标为（3，0）；
综上所述，点M的坐标为（，0）或（3，0）．
例4.（2022宝山一模） 已知在平面直角坐标系中，拋物线经过点、，顶点为点．
（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标；
（2）联结，试判断与是否相似，并证明你的结论；
（3）抛物线上是否存在点，使得．如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【小问1详解】解：抛物线经过点，，，
设抛物线解析式为：，
将点C代入可得：，
解得：，
∴，
∴顶点坐标为：；
【小问2详解】解：如图所示：
为直角三角形且三边长分别为：，，，
的三边长分别为：，
，，
∴，
∴为直角三角形，
∵，
∴△AOC~△DCB；
【小问3详解】解：设存在点P使，作线段AC的中垂线交AC于点E，交AP于点F，连接CF，如（2）中图：
∴，，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，即
解得：，
设，
∴，，
∴，
整理得：①，
=，
即②，
将①代入②整理得：，
解得：，，
∴，，
∴或（不符合题意舍去），
∴，，
设直线FA解析式为：，将两个点代入可得：
，
解得：，
∴，
∴联立两个函数得：，
将①代入②得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，
∴．
例5．（2022静安区一模24）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）和点B（﹣1，m），顶点为点D．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求tan∠ABD的值；
（3）设线段BD与x轴交于点P，如果点C在x轴上，且△ABC与△ABP相似，求点C的坐标．
【分析】（1）将A（2，0）代入y＝x2+bx，求出抛物线解析式，再将B（﹣1，m）代入y＝x2﹣2x，求出m的值，然后用待定系数法求直线AB的解析式即可；
（2）利用勾股定理判定△ABD是直角三角形，即可求解；
（3）求出P点坐标（，0），设C（t，0），当∠ABC＝∠APB时，△ABP∽△APC，过B点作BQ⊥x轴交于点Q，则tan∠BCQ＝＝，求出CQ＝9，即可求C（﹣10，0）；当P点与C点重合时，△ABC≌△ABP，即可求C点坐标．
【解答】解：（1）将A（2，0）代入y＝x2+bx，
∴4+2b＝0，
∴b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x，
将B（﹣1，m）代入y＝x2﹣2x，
∴m＝3，
∴B（﹣1，3），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+2；
（2）∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴D（1，﹣1），
∴AD＝，AB＝2，BC＝3，
∵AB2＝AD2+BC2，
∴△ABD是直角三角形，
∴tan∠ABD＝＝；
（3）设直线BD的解析式为y＝k1x+b1，
∴，
∴，
∴y＝﹣2x+1，
令y＝0，则x＝，
∴P（，0），
设C（t，0），
如图1，当∠ABC＝∠APB时，△ABC∽△APB，
∴∠ACB＝∠ABP
过B点作BQ⊥x轴交于点Q，
∴tan∠BCQ＝＝，
∴CQ＝9，
∴CO＝10，
∴C（﹣10，0）；
当C点与P点重合时，△ABC≌△ABP，
此时C（，0）；
综上所述：C点坐标为（﹣10，0）或（，0）．
【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的性质，利用分类讨论，数形结合思想是解题的关键．
1.（2021年宝山二模24）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A（﹣2，0），B（1，0）和点D（﹣3，n），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的表达式及点D的坐标；
（2）将抛物线平移，使点C落在点B处，点D落在点E处，求△ODE的面积；
（3）如果点P在y轴上，△PCD与△ABC相似，求点P的坐标．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，0），B（1，0）和D（﹣3，n），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝x2+x﹣1；
∴＝2，
∴D（﹣3，2）；
（2）∵将抛物线平移，使点C落在点B处，点D落在点E处，
∴E（﹣2，3），
∴S△ODE＝9﹣﹣＝；
（3）如图1，连接CD，AC，CB，过点D作DE⊥y轴于点E，
∵A（﹣2，0），B（1，0），C（﹣1，0），D（﹣3，2），
∴OB＝OC，DE＝CE＝3，AB＝3，BC＝，CD＝3，
∴∠ABC＝∠OCD＝45°，
∵△PCD与△ABC相似，点P在y轴上，
∴分两种情况讨论：
①如图2，当∠BAC＝∠CDP时，△DCP∽△ABC，
∴，
∴，
∴PC＝2，
∴P（0，1），
②如图3，当∠BAC＝∠DPC时，△PCD∽△ABC，
∴，
∴，
∴PC＝9，
∴P（0，8）．
∴点P的坐标为（0，8）或（0，1）时，△PCD与△ABC相似．
2. （2021崇明二模24）（12分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D是该抛物线上一点，且在第四象限内，联结AC、BC、CD、BD．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出对称轴；
（2）当S△BCD＝4S△AOC时，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果点E是x轴上的一点，点F是抛物线上一点，当点A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标．
【解答】解：（1）∵y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣1，0），B（4，0），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）＝ax2﹣3ax﹣4a，
∴﹣4a＝﹣4，
∴a＝1，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4，对称轴．
（2）如图1中，设D（m，m2﹣3m﹣4），连接OD．
∵S△BCD＝S△OCD+S△OBD﹣S△OBC＝4S△AOC，
∴×4×（﹣m2+3m+4）+×4×m﹣×4×4＝4××1×4
整理得：m2﹣4m+4＝0，
解得m＝2，
∴D（2，﹣6）．
（3）如图2中，当AE为平行四边形的边时，
∵DF∥AE，D（2，﹣6）
∴F（1，﹣6），
∴DF＝1，
∴AE＝1，
∴E（0，0），或E′（﹣2，0）．
如图3中，当AE，DF是平行四边形的对角线时，
∵点D与点F到x轴的距离相等，
∴点F的纵坐标为6，
当y＝6时，6＝x2﹣3x﹣4，
解得x＝﹣2或5，
∴F（﹣2，6）或（5，6），
设E（n，0），则有＝或＝，
解得n＝1或8，
∴E（1，0）或（8，0），
，综上所述，满足条件的点E的坐标为（0，0）或（1，0）或（8，0）或（﹣2，0）．