2024甘肃中考数学二轮专题训练 题型一 解直角三角形的应用 (含答案)

这是一份2024甘肃中考数学二轮专题训练 题型一 解直角三角形的应用 (含答案)，共19页。试卷主要包含了67，cs 42°≈0，8 m，等内容，欢迎下载使用。
1. 如图①是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年(1535年)，是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图②，宝塔CD垂直于地面，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数(A，D，B在同一条直线上)．
数据收集：通过实地测量：地面上A，B两点的距离为58 m，∠CAD＝42°，∠CBD＝58°.
问题解决：求宝塔CD的高度(结果保留一位小数)．
参考数据：sin 42°≈0.67，cs 42°≈0.74，tan 42°≈0.90，sin 58°≈0，85，cs 58°≈0.53，tan 58°≈1.60.
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
第1题图
2. 甘肃科技馆(如图①所示)是甘肃省有史以来投资和建设规模最大的社会公益性科普项目，是实施科教兴国战略和创新驱动发展战略的重要基础设施建设．甘肃科技馆的建成，标志着甘肃省科普阵地建设迈上了新台阶．某数学课题研究小组对测量甘肃科技馆的高度这一课题进行了探究，过程如下：
问题提出：如图②是测量甘肃科技馆高度AB的示意图，求甘肃科技馆的高度AB.
方案设计：如图②，该数学课题研究小组通过调查研究设计了甘肃科技馆楼顶B到地面的高度为AB，在测点 C 用仪器测得点 B的仰角为α，前进一段距离到达测点E，再用该仪器测得点B 的仰角为β，且点 A、B、C、D、E、F 均在同一竖直平面内．
数据收集：α＝45°，β＝54°，CE＝10 m，测角仪CD(EF)高1 m.
问题解决：根据上述方案及数据，求甘肃科技馆的高度．(计算结果保留整数，参考数据：eq \r(2)≈1.41，sin 54°≈0.81，cs 54°≈0.59，tan 54°≈1.38)
第2题图
3. 闹市古寺幽，白塔耸云天．如图①，在兰州庆阳路繁华闹市的白衣寺内有一座白衣寺塔，建于明朝崇祯四年(公元1631年)，距今已有近四百年历史，白衣寺塔为实心砖塔，塔基呈错牙式方形，四面镌
第3题图①
刻花卉图案，塔身下部呈覆钵状，属于不可移动国家一级文物．某数学兴趣小组的同学开展了测量白衣寺塔垂直高度的课余活动，为了减小误差，小组在测量角度和距离时，分别测量了两次并取平均值来作为测量结果，具体方案及数据如下表：
请补全上表并计算白衣寺塔的高度．(结果保留整数)
4.某体育馆有一看台CD，看台对面有一个旗杆AB，某校数学活动小组为测量旗杆的高度，制定了如下测量方案：
若测角仪的高度忽略不计，请根据具体测量数据，求出旗杆AB的高度．(结果精确到0.1 m，参考数据：eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73，eq \r(6)≈2.45)
5. 1936年10月，中国工农红军第一、二、四方面军三大主力在甘肃会宁胜利会师，这是长征胜利的重要标志，是中国革命走向胜利的里程碑．中宣部于1997年将会宁红军会师旧址列为全国百个爱国主义教育示范基地之一．某学习小组把测量会师纪念塔的高度(如图)作为一次课题活动，同学们制定了两种测量方案，测得结果如下表：
第5题图
请判断上述两种方案中哪种方案误差较小，并用该方案及其数据求出会师纪念塔的高度．(结果保留一位小数)
6. 某建筑队计划在公园建一座顶部是圆锥形顶盖的凉亭，一个数学课题研究小组承担该项目的设计工作，过程如下：
问题提出：
如图①是建筑队计划修建凉亭的效果图，要求凉亭立柱垂直于地面，亭内中央放置一圆形石桌，太阳光能够照到石桌的中央．
方案设计：
该数学课题研究小组根据该凉亭的效果图绘制了如图②所示的截面示意图．
数据收集：
通过查阅相关资料和实际测量：凉亭顶盖母线AB与AC的夹角为124°，凉亭顶盖边缘B，C两点到地面的距离均为2.4米，当太阳光线与地面的夹角为42°时，太阳光恰好能照到石桌的中央E处(A，E，D三点在一条直线上)，石桌的高度DE为0.6米，且DE与地面(即MN)垂直．
问题解决：
根据上述方案及数据，求该凉亭的顶盖母线AB的长度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin62°≈0.88，cs62°≈0.47，tan62°≈1.88，sin42°≈0.67，cs42°≈0.74，tan42°≈0.90)
第6题图
类型二 实物模型
1. 如图①是某种型号的遥控式钛镁合金阁楼伸缩梯，图②是其侧面示意图．已知开启遥控按钮，伸缩梯便自动落下，当其底端落到地面C处时，测得其与地面的夹角∠ACB＝63°，考虑到上下楼梯时安全与舒适等方面因素，须将伸缩梯与地面的夹角调整至∠ADB＝42°，现测得CD＝1.8 m，求阁楼入口A到地面的高度AB.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin63°≈0.89，cs63°≈0.45，tan63°≈1.96，sin42°≈0.67，cs42°≈0.74，tan42°≈0.90)
第1题图
2. 某公园为引导游客观光游览公园的景点，在主要路口设置了导览指示牌．某校“综合与实践”活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得AB＝100 cm, BC＝80 cm，∠ABC＝120°，∠BCD＝75°，四边形DEFG为矩形，且DE＝5 cm.请帮助该小组求出指示牌最高点A到地面EF的距离．(结果精确到0.1 cm.参考数据：sin 75°≈0.97，cs 75°≈0.26，tan 75°≈3.73，eq \r(2)≈1.41)
第2题图
3. 对某老旧小区改造，在其外墙铺设保温层时，为了工人的安全，要用双立设备将工人从地面输送到所到达的位置，如图①是该双立设备将工人输送至五楼工作时的情形，如图②是该双立设备的示意图，PQ表示地面，AM∥PQ，EF是支撑轴，CD垂直于地面，点C，E，F，D都固定不动，旋转臂EB绕点E旋转，且BE是伸缩臂，可根据作业的高低进行伸缩．已知AB＝1.2米，根据实际工作时的情境测得点E到地面的距离是2米，BE＝28米，BE与水平面的夹角是30°，∠EBA＝105°，求点A到地面PQ的距离．(结果精确到1米，eq \r(2)≈1.41)
第3题图
4. 如图①是某公园的一个上肢牵引器，图②是其静止状态下的简化示意图(CE、DF分别在同一水平线上)，立柱AB与水平地面MN垂直，挑杆AC＝AE，手拉链CD＝EF，且始终与地面垂直．经查询，挑杆AC＝AE＝0.33 m，∠CAE＝130°.当运动者做上肢牵引运动时，将牵引器由静止状态拉至如图③所示的状态，此时∠CAB＝52°，求点E上升的高度．(结果精确到0.01 m，参考数据：sin65°≈0.91，cs65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin78°≈0.98，cs78°≈0.21，tan78°≈4.70)
第4题图
5. 手机支架是一种适用于手机的平板支架，如图①所示是某款手机支架，由托板、支撑杆和底座构成，手机放置在托板上．小丽为了了解该支架的相关特性，绘制了示意图(如图②)并测量了相关数据：支撑杆BC长为13 cm，托板CD长为9 cm，托板CD可绕点C转动，支撑杆BC可绕点B转动，为了观看舒适，小丽调整托板和支撑杆，使得∠B＝70°，∠BCD＝50°，求此时点D到支架底座AB的距离．(结果精确到0.1 cm，参考数据： sin70°≈0.940, cs70°≈0.342, tan70°≈2.747, eq \r(3)≈1.732)
第5题图
6. 如图①是一款渔具包支架，其侧面可抽象成图②的示意图，已知CD＝25 cm，当渔具包支架完全撑开后两脚架的夹角∠BCD＝40°，CD与水平面夹角为65°，已知B、D在同一水平面内，求两脚架底端B，D之间的距离．(结果精确到0.1 cm.参考数据：sin65°≈0.91，cs65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin15°≈0.26，cs15°≈0.97，tan15°≈0.27)
第6题图
7. 拓展小组研制的智能操作机器人，如图①，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50 cm，连杆BC长度为70 cm，手臂CD长度为60 cm，点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内．
(1)转动连杆BC，手臂CD，使∠ABC＝143°，CD∥l，如图②，求手臂端点D离操作台l的高度DE的长；(精确到1 cm，参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6)
(2)物品在操作台l上，距离底座A端110 cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．
第7题图
8. 图①是新冠肺炎疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图②是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28 cm，MB＝42 cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3 cm(即MP的长度)，枪身BA＝8.5 cm.
(1)求∠ABC的度数；
(2)测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3～5 cm.在图②中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50 cm.问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．(结果保留小数点后一位)
(参考数据：sin66.4°≈0.92，cs66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，eq \r(2)≈1.414)
第8题图
参考答案
类型一 课题学习型
1. 解：∵CD⊥AB, 设CD＝x m,
在Rt△ACD中，AD＝eq \f(CD,tan∠CAD)＝eq \f(x,tan 42°)≈eq \f(x,0.90)，
在Rt△CBD中，BD＝eq \f(CD,tan∠CBD)＝eq \f(x,tan 58°)≈eq \f(x,1.60)，
∵AD＋BD＝AB，
∴eq \f(x,0.9)＋eq \f(x,1.6)＝58，
解得x≈33.4.
答：宝塔的高度约为33.4 m.
2. 解：如解图，延长DF与AB相交于点G，则DG⊥AB，设BG＝x m，
在Rt△BDG中，∵α＝45°，∴DG＝BG＝x m.
在Rt△BGF中，∵FG＝DG－DF＝(x－10)m，β＝54°，
∴tanβ＝eq \f(BG,FG)＝eq \f(x,x－10)≈1.38，
解得x≈36.3，
∴AB＝BG＋AG＝36.3＋1＝37.3 m≈37 m.
答：甘肃科技馆的高度约为37 m.
第2题解图
3. 解：∵BD＝eq \f(41.8＋42.2,2)＝42，
∴表格中所填数据为42.
在Rt△MDC中，∵tanα＝eq \f(CD,DM)，CD＝20 m，α＝39°，
∴DM＝eq \f(20,tan39°)≈eq \f(20,0.81)≈24.7 m，
∴BM＝BD－DM＝42－24.7＝17.3 m.
在Rt△ABM中，∵tanβ＝eq \f(AB,BM)，β＝60°，
∴AB＝BM·tan60°＝17.3×eq \r(3)≈30 m.
答：白衣寺塔的高度约为30 m.
4. 解：如解图，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥CA于点F，则BE＝1 m，
∵∠CDA＝180°－15°－60°＝105°，∠DCA＝15°＋30°＝45°，
∴∠DAC＝180°－105°－45°＝30°.
∵CD＝8 m，
∴在Rt△CFD中，CF＝DF＝eq \f(\r(2),2)CD＝eq \f(8\r(2),2)＝4eq \r(2) m，
∴在Rt△AFD中，AD＝2DF＝8eq \r(2) m，
∵∠DEA＝90°，∠ADE＝60°，
∴在Rt△ADE中，AE＝AD·sin60°＝8eq \r(2)×eq \f(\r(3),2)＝4eq \r(6)≈9.8 m，
∴AB＝AE＋EB＝9.8＋1＝10.8 m.
答：旗杆AB的高度约为10.8 m.
第4题解图
5. 解：方案一误差较小，∵会师纪念塔上下不等宽，测量时无法到达塔底中心位置，∴方案二中测量塔底 B的俯角时会存在较大误差．
如解图，过点A作水平地面的垂线，垂足为B，则AB为会师纪念塔的垂直高度，过点C作CE⊥AB于点E，设AB＝x m，则AE＝(x－10) m.
在Rt△ACE中，∵α＝35°，∠CEA＝90°，
∴CE＝eq \f(AE,tanα)≈eq \f(x－10,0.70)，
在Rt△ADB中，∵β＝47°，∠DBA＝90°，
∴BD＝eq \f(AB,tanβ)≈eq \f(x,1.07)，
由题意得四边形CDBE是矩形，
∴CE＝BD，
即eq \f(x－10,0.70)＝eq \f(x,1.07)，解得x≈28.9.
答：会师纪念塔的高度约为28.9 m.
第5题解图
6. 解：如解图，连接AE，BC交于点O，则AE⊥BC，BC∥MN.
由题意可知OE＝2.4－0.6＝1.8米，∠OBE＝42°，∠OAB＝eq \f(1,2)∠BAC＝62°.
在Rt△OBE中，∵tan∠OBE＝eq \f(OE,OB)，
∴OB＝eq \f(OE,tan∠OBE)≈eq \f(1.8,0.90)＝2米．
在Rt△OAB中，∵sin∠OAB＝eq \f(OB,AB)，
∴AB＝eq \f(OB,sin∠OAB)≈eq \f(2,0.88)≈2.3米．
答：该凉亭的顶盖母线AB的长度约为2.3米．
第6题解图
类型二 实物模型
1. 解：设AB＝x m，
在Rt△ACB中，∠ACB＝63°，tan63°＝eq \f(AB,BC)，
∴BC＝eq \f(x,tan63°)，
在Rt△ADB中，∠ADB＝42°，tan42°＝eq \f(AB,BD)，
∴BD＝eq \f(x,tan42°)，
∵CD＝BD－BC＝1.8 m，
∴eq \f(x,tan42°)－eq \f(x,tan63°)＝1.8，
解得x≈3.0.
答：阁楼入口A到地面的高度AB约为3.0 m.
2. 解：过点A作AH⊥EF交EF的延长线于点H，交DG的延长线于点M.过点B作BN⊥DG交GD的延长线于点N，作BP⊥AH于点P.则四边形BNMP和四边形DEHM均为矩形．
∴PM＝BN，MH＝DE＝5 cm.
∵BP∥DG.
∴∠CBP＝∠BCD＝75°，
∴∠ABP＝∠ABC－∠CBP＝120°－75°＝45°.
在Rt△ABP中，∠APB＝90°，sin 45°＝eq \f(AP,AB)，
∴AP＝AB·sin 45°＝100×eq \f(\r(2),2)＝50eq \r(2).
在Rt△BCN中，∠BNC＝90°，sin 75°＝eq \f(BN,BC)，
∴BN＝BC·sin 75°≈80×0.97＝77.6，
∴PM＝BN＝77.6，
∴AH＝AP＋PM＋MH＝50eq \r(2)＋77.6＋5≈50×1.41＋77.6＋5＝153.1 cm.
答：指示牌最高点A到地面EF的距离约为153.1 cm.
第2题解图
3. 解：如解图，过点B作BG⊥PQ于点G，延长MA交BG于点H，过点E作EN⊥BG于点N.
∴EN∥PQ.
∵点E到地面的距离是2米，
∴NG＝2.
在Rt△EBN中，∠BNE＝90°，∠BEN＝30°，BE＝28，
∴BN＝eq \f(1,2)BE＝14，∠NBE＝90°－∠BEN＝60°.
∵AM∥PQ，
∴MH⊥BG.
∵∠EBA＝105°，
∴∠ABH＝∠EBA－∠NBE＝45°.
在Rt△ABH中，AB＝1.2，
∴BH＝AB·cs45°＝eq \f(3\r(2),5).
∴HG＝BN＋NG－BH＝14＋2－eq \f(3\r(2),5)≈15米．
答：点A到地面PQ的距离约是15米．
第3题解图
4. 解：如解图①，设CE与AB交于点G，
由题意得四边形CDFE是矩形，
∴CE∥DF∥MN，
∵AB⊥MN，
∴AG⊥CE，
∵AC＝AE，
∴∠EAG＝eq \f(1,2)∠EAC＝65°，
在Rt△AGE中，AG＝AE·cs∠EAG≈0.33×0.42≈0.14 m，
如解图②，过点E作EI⊥AB，垂足为点I，
∵∠CAB＝52°，
∴∠BAE＝∠CAE－∠CAB＝130°－52°＝78°，
在Rt△AIE中，AI＝AE·cs∠BAE≈0.33×0.21≈0.07 m,
∴点E上升的高度为AG－AI＝0.14－0.07＝0.07 m.
答：点E上升的高度约为0.07 m.
图①
图②
第4题解图
5. 解：如解图，过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥CE于点F.
∵∠B＝70°，
∴∠BCF＝90°－∠B＝20°，
又∵∠BCD＝50°，∴∠DCF＝∠BCD－∠BCF＝30°，
在Rt△CDF中，∵CD＝9 cm，
cs∠DCF＝eq \f(CF,CD)，
∴CF＝CD·cs30°＝9×eq \f(\r(3),2)≈7.79(cm)．
在Rt△BCE中，∵BC＝13 cm，∠B＝70°，sinB＝eq \f(CE,BC)，
∴CE＝BC·sin70°≈13×0.940＝12.22(cm)．
∴EF＝CE－CF＝12.22－7.79≈4.4(cm)．
答：此时点D到支架底座AB的距离约为4.4 cm.
第5题解图
6. 解：如解图，连接BD，过点C作CG⊥BD于点G，
∵∠CDG＝65°，CD＝25 cm，
∴DG＝CD·cs65°≈25×0.42＝10.5 cm，
CG＝CD·sin65°≈25×0.91＝22.75 cm.
∵在Rt△CDG中，∠CGD＝90°，∠CDG＝65°，
∴∠GCD＝25°.
∵∠BCD＝40°，
∴∠BCG＝15°，
∵在Rt△BCG中，CG＝22.75 cm，
∴BG＝CG·tan15°≈22.75×0.27≈6.14 cm，
∴BD＝BG＋DG＝6.14＋10.5＝16.64≈16.6 cm.
答：两脚架底端B，D之间的距离约为16.6 cm.
第6题解图
7. 解：(1)如解图①， 过点C作CP⊥AE于点P，过点B作BQ⊥CP于点Q，
第7题解图①
∵∠ABC＝143°，
∴∠CBQ＝53°，
∴在Rt△BCQ中，CQ＝BC·sin53°≈70×0.8＝56 cm，
∵CD∥l，
∴DE＝CP＝CQ＋PQ＝56＋50＝106 cm.
答：手臂端点D离操作台l的高度DE的长为106 cm；
(2)手臂端点D能碰到点M.
理由如下：如解图②，当点B，C，D共线时，
第7题解图②
BD＝BC＋CD＝60＋70＝130 cm，AB＝50 cm，
在Rt△ABD中，AD2＝BD2－AB2，
∴AD＝120 cm>110 cm，
∴手臂端点D能碰到点M.
8. 解：(1)如解图，过点B 作BK⊥MP 于点K，由题意可知四边形ABKP 为矩形，
∴KP＝AB，∠ABK＝90°.
∴MK＝MP－AB＝25.3－8.5＝16.8 cm.
在Rt△BMK 中，cs∠BMK＝eq \f(MK,MB)＝eq \f(16.8,42)＝0.4，
∴∠BMK≈66.4°.
∴∠MBK＝90°－66.4°＝23.6°.
∴∠ABC＝23.6°＋90°＝113.6°.
答：∠ABC 的度数约为113.6°；
(2)枪身端点A与小红额头的距离在规定范围内．
理由如下：如解图，延长PM 交FG 于点H，由题意得∠NHM＝90°，
第8题解图
∵∠BMN＝68.6°，∠BMK＝66.4°，
∴∠NMH＝180°－68.6°－66.4°＝45°.
在Rt△MNH 中，cs45°＝eq \f(HM,MN)＝eq \f(HM,28) ，
∴HM＝28×eq \f(\r( ,2),2)≈19.796 cm.
∴枪身端点A 与小红额头的距离为50－19.796－25.3＝4.904 cm≈4.9 cm.
∵3＜4.9＜5，
∴枪身端点A 与小红额头距离在规定范围内．
课题
测量白衣寺塔垂直高度
测量方案
第3题图②
如图②，AB代表白衣寺塔的垂直高度，在地面M处用测角仪测得附近的居民楼楼顶C的仰角α，在地面M处测得塔顶A的仰角β，最后测得B、D两点的距离，已知居民楼楼高CD＝20 m
说明：点A、B、C、D、M在同一竖直平面内
测量数据
测量项目
第一次
第二次
平均值
仰角α的度数
38.9°
39.1°
39°
仰角β的度数
60.3°
59.7°
60°
B、D间的直线距离
41.8 m
42.2 m
____m
参考数据
tan39°≈0.81, sin39°≈0.63，cs39°≈0.78，eq \r(3)≈1.73
活动课题
测量旗杆的高度
活动地点
某体育馆
活动时间
2021年1月2日
方案示意图
第4题图
测量步骤
(1)在看台最高点C处用测角仪测得旗杆顶端A的仰角为α；
(2)在距离地面1 m高的看台点D处用测角仪测得旗杆顶端A的仰角为β；
(3)测得看台的坡角为γ；
(4)用皮尺测得看台CD的长.
注：点A、B、C、D在同一平面内
测量数据
α＝30°，β＝60°，γ＝15°，CD＝8 m
课题
测量会师纪念塔的高度
方案
方案一
方案二
测量示意图
方案说明(CD是临时搭建的高台，A为会师纪念塔最高点)
在观测点C处测得塔顶A的仰角为α，在观测点D处测得塔顶A的仰角为β
在观测点C处分别测得塔顶A的仰角为α，塔底B的俯角为β
测量数据(点A、B、C、D在同一竖直平面内)
α＝35°，β＝47°，CD＝10 m
α＝35°，β＝20°，CD＝10 m
参考数据
sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin47°≈0.73，cs47°≈0.68，tan47°≈1.07；sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36