2024贵州中考数学二轮复习专题 题型六 函数的实际应用专项训练 （含答案）

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(黔西南州2023.24)
典例精讲
例1 (2023龙东地区)已知A、B两地相距240 km，一辆货车从A地前往B地，途中因装载货物停留一段时间．一辆轿车沿同一条公路从B地前往A地，到达A地后(在A地停留时间不计)立即原路原速返回．如图是两车距B地的距离y(km)与货车行驶时间x(h)之间的函数图象，结合图象回答下列问题：

例1题图
(1)图中m的值是______；轿车的速度是______km/h；
【分层分析】由题意知，轿车从B地前往A地的行驶时间与其从A地返回B地的行驶时间相同，结合函数图象即可求得m的值；通过“速度＝路程÷时间”可求出轿车的速度；
(2)求货车从A地前往B地的过程中，货车距B地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系式；
【分层分析】要求货车从A地前往B地的y关于x的函数关系式，分三段利用待定系数法求出MN、NG、GH的函数解析式即可；
(3)直接写出轿车从B地到A地行驶过程中，轿车出发多长时间与货车相距12 km?
【分层分析】结合图象求得货车的速度，根据货车、轿车距B地的距离y(km)与货车行驶时间x(h)之间的解析式，由解析式之间的关系建立方程求解即可．
针对演练
1. (2023兰州)小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车也从景区入口处出发，沿相同路线先后到达观景点．如图，l1，l2分别表示小军与观光车所行的路程y(m)与时间x(min)之间的关系．
根据图象解决下列问题：
第1题图
(1)观光车出发________分钟追上小军；
(2)求l2所在直线对应的函数表达式；
(3)观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由．

类型二 分段计费问题
典例精讲
例2 (万唯原创)为响应国家深化具有中国特色体教融合发展的要求，某中学积极行动，并决定购买一批体育用品．在购买足球时，由于足球价格稍贵，该校与一运动器械专卖店议价，最终优惠如下：①每个足球的原价为90元，若②一次性购买不超过10个，则按原价销售；若③一次性购买超过10个，前10个按原价销售，超过的部分打8折．
(1)设该中学购买足球x个，所需费用为y元，请写出y关于x的函数关系式；
【分层分析】由①②可知当0＜x≤10时，y＝________，由①③可知当x＞10时，y＝____________；
(2)若该中学计划购买足球的费用不超过1200元，则最多能购买几个足球？
【分层分析】由①②可知购买10个足球花费为______，以此判断购买足球的数量是否超过10个，若超过了则把1200代入y＝______________中求解即可；
(3)若购买了20个足球，则平均每个足球的售价为多少元？
【分层分析】结合③求得购买20个足球的总花费，利用“单价＝总价÷个数”即可求得平均售价．
针对演练
2. 某市为了倡导居民节约用水，生活用自来水按阶梯式水价计费．如图是居民每户每月的水(自来水)费y(元)与所用的水(自来水)量x(吨)之间的函数图象．根据图象提供的信息，解答下列问题：
第2题图
(1)当17≤x≤30时，求y与x之间的函数关系式；
已知某户居民上月水费为91元，求这户居民上月的用水量；
(3)当一户居民在某月用水为15吨时，求这户居民这个月的水费．

类型三 方案问题
(黔西南州3考，黔东南州2考)
典例精讲
例3 为推进生态文明建设，大力发展旅游业，某生态公园计划在园区内造一片银杏林，某树苗培育基地推出A、B两种不同品种的银杏树苗，在银杏树苗成活率、价格完全相同的前提下，推出以下优惠方案：
A品种：购买树苗超过一定数量后，超过部分按原价的75%付款；
B品种：每棵树苗均按原价的85%付款．
该生态公园计划在该树苗培育基地购买A、B两种银杏苗中的一种．设该生态公园计划购买银杏苗x棵，则购买A种树苗应付总费用为yA元，购买B种树苗应付总费用为yB元，其图象如图所示：

例3题图
(1)求yA，yB与x之间的函数关系式；
【分层分析】要求yA，yB与x之间的函数关系式，根据题意可知，当购买A品种树苗超过200棵后，超过部分按原价的75%付款，当0＜x≤200时，yA＝______，可知购买一棵银杏树苗的单价为25元/棵，当x＞200时，超过部分按原价的75%付款，即yA＝______；购买每棵B品种树苗均按原价的85%付款，即yB＝____________；
(2)当购买多少棵树苗时，两品种所需付的费用相同，费用是多少元？
【分层分析】要求购买多少棵树苗时，两品种所付费用相同，即就是令yA＝yB，求解x的值和此时y的值即可；
(3)该生态公园应如何选择A、B两种银杏树苗使得所需费用最少．
【分层分析】根据图象可知，当0＜x≤200时，yA＞yB，故只需要讨论当x＞200时，yA与yB的大小关系即可．
针对演练
3. (万唯原创)一方有难，八方支援．因受水灾影响，A城决定向B、C两乡运送救援物资，A城向两乡运送救援物资各100吨，由于物资仍旧短缺，后又向两乡运送物资共300吨，从A城往B、C两乡运救援物资的费用分别为25元/吨和20元/吨．
(1)若运往C乡的两批救援物资共比B乡的多100吨，则运往B、C两乡的救援物资各多少吨？
(2)设第二批从A城运往B乡救援物资x吨，总运费为y元，求出最少总运费；
(3)由于运送第二批物资时更换车型，使A城运往B乡的运费每吨减少a(0＜a＜6)元，这时怎样调运才能使运送两批物资的总运费最少？
类型四 最值问题
(黔西南州2考，黔东南州2考，贵阳2023.22)
典例精讲
例4(2023荆门)某公司电商平台，在2023年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y (件)是关于售价x (元/件)的一次函数，下表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W(元)的三组对应值数据．
(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
【分层分析】要求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)，设y＝kx＋b，将点(40，180)和(70，90)代入函数表达式中，求解即可；
(2)若该商品进价a(元/件)，售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；
【分层分析】利用利润＝(售价－进价)×数量，列出W关于x的函数关系式，将点(40，3600)代入函数解析式中，得到函数解析式，利用函数性质即可求出周销售利润的最大值及此时的售价；
(3)因疫情期间，该商品进价提高了m(元/件)(m>0)，公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55(元/件)，且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足(1)中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值．
【分层分析】利用利润＝(售价－进价)×数量，列出W关于x的函数关系式，利用函数性质及当周利润为4050时即可求出m的值．
针对演练
4. (2023锦州)某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/吨，加工过程中原料的重量有20%的损耗，加工费m(万元)与原料的重量x(吨)之间的关系为m＝50＋0.2x.销售价y(万元/吨)与原料的重量x(吨)之间的关系如图所示：
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)设销售收入为P(万元)，求P与x之间的函数关系式；
(3)原料的重量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？
(销售利润＝销售收入－总支出)
第4题图
类型五 抛物线型
(贵阳2023.24)
典例精讲
例5 (万唯原创)同学们在操场玩跳大绳游戏，跳大绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0.9米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米，距甲同学的水平距离为3米，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋0.9.
例5题图
(1)求该抛物线的解析式；
【分层分析】根据题意可知，AO＝BD＝0.9，点B的坐标为(6，0.9)，点C的坐标为(3，1.8)，利用待定系数法即可求解；
(2)如果身高为1.4米的嘉嘉站在OD之间，设嘉嘉站在距点O的水平距离为a米处，求当绳子甩到最高处时，若要使绳子不能碰到嘉嘉的头，a的取值范围；
【分层分析】当绳子甩到最高处时，要使绳子不能碰到嘉嘉的头，即y>1.4，要求y>1.4时a的取值范围，即将y＝1.4代入(1)中的函数解析式中，求出x的值，利用二次函数的性质即可确定a的取值范围；
(3)如果参与跳大绳的同学有12人，两人负责甩绳子，剩下的同学想要一起跳绳，当绳子甩到最高点且超过他们头顶时，问剩下的同学是否可以在OD之间一起玩跳大绳．(12个同学身高与嘉嘉相同，且每个同学同方向站立时的脚跟之间距离不小于0.5米就可以一起玩)
【分层分析】要判断剩下的同学是否可以在OD之间一起玩跳大绳，由(2)可知，当y＝1.4时，x的值为1或5，得到可以站立跳绳的距离，由每个同学同方向站立时的脚跟之间距离不小于0.5米就可以一起玩，∴计算出可以站立跳绳的距离之间能够站立的学生人数，将其与10进行大小比较即可求解．
针对演练
5. (万唯原创)在池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水管的高度为eq \f(9,4) m．水柱的高度y(单位：m)与水柱落地处离池中心的距离x(单位：m)的图象如图所示．
(1)求抛物线形水柱的解析式及自变量的取值范围；
(2)求水柱落地处离池中心的最大距离；
(3)为了增加喷泉数量，设计人员计划将水柱落地处离水管的距离缩短0.5 m，但抛物线形水柱的最高处的位置不变，则水管高度应该设计为多少？
第5题图
参考答案
典例精讲
例1 解：(1)5；120；
【解法提示】由图象得，m＝1＋(3－1)×2＝5；轿车的速度为：240÷2＝120(km/h)．(2)①设yMN＝k1x＋b1(k1≠0)(0≤x＜2.5)，
∵图象经过点M(0，240)和点N(2.5，75)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b1＝240,2.5k1＋b1＝75))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k1＝－66,b1＝240))，
∴yMN＝－66x＋240(0≤x＜2.5)；
②由图象知，yNG＝75(2.5≤x＜3.5)；
③设yGH＝k2x＋b2(k2≠0)(3.5≤x≤5)，
∵图象经过点G(3.5，75)和点H(5，0)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3.5k2＋b2＝75,5k2＋b2＝0))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(k2＝－50,b2＝250)))，
∴yGH＝－50x＋250(3.5≤m≤5)，
∴y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－66x＋240（0≤x＜2.5）,75（2.5≤x＜3.5）,－50x＋250（3.5≤x≤5）))；
(3)设轿车出发a小时与货车相距12 km，货车从A地前往B地在图象MN段的速度为：(240－75)÷2.5＝66(km/h)，
根据题意，得66(1＋a)＋120a＝240＋12或66(1＋a)＋120a＝240－12，
解得a＝1或a＝eq \f(27,31)，
答：轿车从B地到A地行驶过程中，轿车出发1小时或eq \f(27,31)小时与货车相距12 km.
针对演练
1. 解：(1)6；
(2)设l2的关系式为y＝kx＋b(k≠0)，把(15，0)和(21，1800)代入y＝kx＋b得，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(15k＋b＝0,21k＋b＝1800))，
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝300,b＝－4500))，
∴l2所在直线对应的函数表达式为y＝300x－4500(15≤x≤25)；【自变量范围不作要求】
(3)8分钟；理由如下：在直线l2上，当y＝3000时，x＝25.
∴33－25＝8(min)，
即观光车比小军早8 min到达观景点．
典例精讲
例2 (1)【分层分析】90x，72x＋180；
(2)【分层分析】900，72x＋180.
解：(1)由题意知，当一次性购买足球不超过10个时，y＝90x，
当一次性购买足球超过10个时，y＝90×10＋90×0.8×(x－10)＝72x＋180，
∴y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(90x（010）))；
(2)当x＝10时，y＝90×10＝900，
1200－900＝300＞90，
∴购买的数量超过10个，
∴72x＋180≤1200，
解得x≤eq \f(85,6)，
∵x为正整数，
∴最多能购买14个足球；
(3)∵20＞10，
∴y＝72×20＋180＝1620，
则平均售价为1620÷20＝81元，
答：平均每个足球售价为81元．
针对演练
2. 解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(116＝30k＋b,66＝20k＋b))，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝5,b＝－34))，
y与x之间的函数关系式为y＝5x－34(17≤x≤30)；
(2)当x＝17时，y＝51，
∵y＝91＞51，∴x>17，
∴91＝5x－34，x＝25，
答：这户居民上月用水量为25吨；
(3)当x＝17吨时，y＝5×17－34＝51(元)，
∴当0≤x＜17时，y与x之间的函数关系式为y＝3x，
当x＝15时，y＝45，
答：这户居民这个月的水费为45元．
典例精讲
例3 (1)【分层分析】25x，eq \f(75,4)x＋1250；eq \f(85,4)x；
解：(1)根据题图可得，
5000÷200＝25(元)，
∴一棵银杏树苗原价为25元，
∴yA＝25x(0200时，yA＝25×200＋(x－200)×25×0.75＝1250＋eq \f(75,4)x，
∴yA＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(25x（0200）))，
yB＝25×0.85x＝eq \f(85,4)x；
(2)令1250＋eq \f(75,4)x＝eq \f(85,4)x，解得x＝500，
此时y＝eq \f(85,4)×500＝10625(元)，
答：当购买500棵树苗时，两品种所需付的费用相同，是10625元；
(3)观察图象可知，当购买的树苗数量在0＜x＜500棵时，yA＞yB，∴选择B品种的树苗更划算；当购买500棵树苗时，选择A、B两种银杏树苗所需的费用相同；当购买的树苗数量在x＞500棵时，yA＜yB，∴选择A品种的树苗更划算．
针对演练
3. 解：(1)设第二批运往B乡救援物资m吨，运往C乡救援物资n吨，
根据题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(200＋m＋n＝500,n－m＝100))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝100,n＝200))，
∴运往B乡的救援物资共100＋100＝200(吨)，
运往C乡的救援物资共100＋200＝300(吨)，
答：运往B、C两乡的救援物资分别为200吨和300吨；
(2)∵第二批从A城运往B乡救援物资x吨，则第二批从A城运往C乡救援物资(300－x)吨，
若总运费为y元，根据题意，
得y＝25×100＋25x＋20×100＋20×(300－x)＝5x＋10500，
∵y＝5x＋10500是一次函数，k＝5＞0，
∴y随x的增大而增大．
∵x≥0，
∴当x＝0时，运费最少，最少运费是10500元；
(3)由题意知y＝25×100＋(25－a)x＋20×100＋20(300－x)＝(5－a)x＋10500，
当0＜a＜5时，5－a＞0，
∴当x＝0时，总运费最少，为10500元；
当a＝5时，总运费恒为10500元；
当5＜a＜6时，5－a＜0，
∴当x最大时，运费最少．即当x＝300时，运费最少．
∴当0＜a＜5时，第二批救援物资全部运往C乡，运费最少；
当a＝5时，不管第二批救援物资运往B乡多少吨，运费都是10500元．
当5＜a＜6时，第二批救援物资全部运往B乡，运费最少．
典例精讲
例4 解：(1)设y＝kx＋b，由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(40k＋b＝180,70k＋b＝90))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－3,b＝300))，
∴y关于x的函数解析式为y＝－3x＋300；
(2)由(1)得W＝(－3x＋300)(x－a)，
又由表知，当x＝40时，W＝3600，将(40，3600)代入上式可得3600＝(－3×40＋300)(40－a)，
∴a＝20，
∴W＝(－3x＋300)(x－20)＝－3x2＋360x－6000＝－3(x－60)2＋4800，
∴售价为60元时，周销售利润W最大，最大利润为4800元；
(3)由题意得W＝(－3x＋300)(x－20－m)＝－3x2＋(360＋3m)x－6000－300m(x≤55)，
其对称轴为直线x＝－eq \f(b,2a)＝60＋eq \f(m,2)＞60，
∴0＜x≤55时，W的值随x增大而增大，
∴x＝55时周销售利润最大，
∴4050＝(－3×55＋300)(55－20－m)，
∴m＝5.
针对演练
4. 解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，
将(20，15)，(30，12.5)的坐标代入函数关系式，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(20k＋b＝15,30k＋b＝12.5))，
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－\f(1,4),b＝20))，
∴y＝－eq \f(1,4)x＋20；
(2)P＝(1－20%)x·(－eq \f(1,4)x＋20)＝－0.2x2＋16x.
整理，得P＝－0.2x2＋16x；
(3)设利润为W万元．
则W＝－0.2x2＋16x－(50＋0.2x)－6.2x，
整理，得W＝－0.2x2＋9.6x－50，
配方，得W＝－0.2(x－24)2＋65.2.
∴当x＝24时，W最大＝65.2.
答：原料的重量为24吨时，所获利润最大，最大利润是65.2万元．
典例精讲
例5 解：(1)甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，则点B的横坐标为6，到地面的距离AO和BD均为0.9米，则点B的纵坐标为0.9，∴B(6，0.9)，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米，距甲同学的水平距离为3米，则抛物线的顶点坐标C(3，1.8)，将点B，C代入y＝ax2＋bx＋0.9得，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(36a＋6b＋0.9＝0.9,9a＋3b＋0.9＝1.8))，
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－0.1,b＝0.6))，
∴抛物线的解析式是y＝－0.1x2＋0.6x＋0.9；
(2)嘉嘉的身高为1.4米，即y＝1.4，
将y＝1.4代入，得1.4＝－0.1x2＋0.6x＋0.9，
解得x1＝1，x2＝5，
∴当绳子用到最高处时，若要使绳子不碰到嘉嘉两头，则y>1.4，
∵抛物线开口向下
∴当y>1，4时，
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