2024海南中考数学二轮专题训练 题型六 规律探索题 (含答案)

这是一份2024海南中考数学二轮专题训练 题型六 规律探索题 (含答案)，共10页。试卷主要包含了 观察下列各等式，一组按规律排列的代数式， 按规律排列的一列数等内容，欢迎下载使用。
(热身小练)
(1)若一列正整数：1，2，3，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；
(2)若一列数：1，3，5，7，9，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；
(3)若一列数：2，4，6，8，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；
(4)若一列数：－1，1，－1，1，－1，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；
(5)若一列数：1，－1，1，－1，1，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；
(6)若一列数：1，4，9，16，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；
(7)若一列数：2，5，10，17，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；
(8)若一列数：0，3，8，15，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；
(9)若一列数：4，7，10，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．
(典例精讲)
例 观察下列一组数据，其中绝对值依次增加2，且每两个正数之间有两个负数：1，－3，－5，7，－9，－11，13，…，则第10个数是________，第3n个数是________．(n为正整数).
(满分技法)
解答数式递推规律的方法：
一般通过题中前几项的数字或数式找出每项数字或数式间的关系求解，步骤为：
第一步：标序数；
第二步：对比序数(1，2，3，…，n)与所给数字或数式的关系，把每一部分与序数之间的关系用含序数的式子表示出来；
第三步：根据找出的规律求出第n个式子，并检验；
第四步：若求出的数字或式子前面的符号是正(＋)、负(－)交替出现时，根据正负号的变化规律，则第n个数字(或式子)的符号用(－1)n或(－1)n＋1表示．
(针对训练)
1. 观察下列各等式：
①2 eq \r(\f(2,3)) ＝ eq \r(2＋\f(2,3)) ；
②3 eq \r(\f(3,8)) ＝ eq \r(3＋\f(3,8)) ；
③4 eq \r(\f(4,15)) ＝ eq \r(4＋\f(4,15)) ；
…
根据以上规律，请写出第5个等式：______________；第n个等式为________________．
2.一组按规律排列的代数式：a＋2b，a2－2b3，a3＋2b5，a4－2b7，…，则第7个代数式为________，第个代数式为________．
3. 观察下列各组勾股数，并寻找规律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；…请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数：____________，第组勾股数为________________．
4. 按一定规律排列的一列数依次为－ eq \f(a2,2) ， eq \f(a5,3) ，－ eq \f(a8,4) ， eq \f(a11,5) ，…(a≠0)，按此规律排列下去，这列数中的第9个数是________，第n个数是________．
5. 按规律排列的一列数：－ eq \f(1,2) ， eq \f(2,5) ，－ eq \f(3,8) ， eq \f(4,11) ，－ eq \f(5,14) ，…，则第20个数是________，第n个数是________．(用含n的式子表示)
6. 把正整数1，2，3，4，…，排列成如图所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、…，从左到右分别称为第1列、第2列、…，按此规律，2020排在第______行、第________列；排在第m行、第n列的数为________，其中m≥1，1≤n≤8，且m，n都是正整数．
第6题图
类型二 图形规律
(典例精讲)
例 用形状大小完全相同的等边三角形和正方形按如图所示的规律拼图案，即从第2个图案开始每个图案比前一个图案多4个等边三角形和1个正方形，以此规律，回答下列问题：
例题图
(1)第5个图案中正方形有________个，等边三角形有________个；
(2)第n个图案中正方形有________个，等边三角形有________个；
(3)第2021个图案中等边三角形一共有______个；
(4)第n个图案中等边三角形比正方形多______个；
(5)若第n个图案中一共有62个等边三角形，则n的值为________．
(满分技法)
解答图形累加规律探索题具体步骤如下：
第一步：写序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”；
第二步：数图形个数：在图形数量变化时，要标记出每组图形的个数；
第三步：寻找图形数量与序数n的关系：针对寻找第n个图形数量时，先将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行对比，通常作差来观察是否有恒定量的变化，一般分为两种情况：
①相邻图形个数的差值相同，则第n个图形的个数m是最高次项为一次的整式m＝an＋b，然后代入2组数据即可求出a，b的值；
② 相邻图形个数的差值不同，则第n个图形的个数m是最高次项为二次的整式m＝an2＋bn＋c，然后代入3组数据即可求出a，b，c的值；
第四步：验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确．
(针对训练)
1. 如图是一组有规律的图案，它们是由相同的矩形拼接而成，已知矩形的长为a，宽为b，则第⑪个图案的周长为________，第个图案的周长为________．
第1题图
2. 如图，将图①的正方形作如下操作：第1次分别连接对边中点如图②，得到5个正方形；第2次将图②左上角正方形按上述方法再分割如图③，得到9个正方形，…，按此规律进行下去，则第8次操作后，得到正方形的个数为________，第次操作后，得到正方形的个数为________．
第2题图
3. 如图，观察下列图形，它们是按一定规律排列的，其中第①个图形有2个太阳，第②个图形有4个太阳，第③个图形有7个太阳，第④个图形有12个太阳，…，按照此规律，则第⑤个图形有________个太阳，第个图形有________太阳．
第3题图
4.如图的三角形图案为谢宾斯基(Sierpinski)三角形，在下列四个三角形图案中，涂有阴影的三角形个数依次为：第1个图案中有1个，第2个图案中有3个，第3个图案中有9个，第4个图案中有27个，…，按此规律，第6个图案中有________个涂有阴影的三角形，第n个图案中有________个涂有阴影的三角形．
第4题图
5. 如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有________个交点，n条直线两两相交最多有________个交点．
第5题图
6. 如图是小强用铜币摆放的4个图案，其中第1个图案中铜币个数有3个，第2个图案中铜币个数有5个，第3个图案中铜币个数有8个，第4个图案中铜币个数有12个，…，按此摆放图案的规律，第19个图案中需要______个铜币，第n个图案中需要__________个铜币．
第6题图
7. 如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的☆摆放而成，第(1)个图案有3个☆，第(2)个图案有7个☆，第(3)个图案有13个☆，第(4)个图案有21个☆，…按此规律摆下去，第(6)个图案有________个☆，第(n)个图案有________个☆(用含n的代数式表示).
第7题图
类型三 周期规律
(典例精讲)
例 如图，△A1A2A3，△A4A5A6，△A7A8A9，…，△A3n－2A3n－1A3n(n为正整数)均为等边三角形，它们的边长依次为2，4，6，…，2n，顶点A3，A6，A9，…，A3n均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心，则点A2016的坐标为________．
例题图
【解题步骤】
①确认周期：观察图形可知，三角形的顶点______个为一个循环；
②确定A2016的位置：∵2016÷______＝______，∴点A2016在y轴上，且是第________个三角形的顶点；
③求A2016的坐标：在△A1A2A3中，A1A2＝2，∴△A1A2A3的高为________．∵点O是△A1A2A3的中心，∴OA3＝________，同理得OA6＝________，OA9＝________，…，∴点A2016的坐标为________．
(针对训练)
1. 在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放，点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边OA1A2A3运动，设第n秒运动到Pn(n为正整数)，则第58个等边三角形在第________象限，点P2019的坐标是________．
第1题图
2. 有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第1个数是0，第2个数是1，那么前6个数的和是________，这2021个数的和是________．
3. 如图，被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为an，则an＝________，a3＋a100＝________．
第3题图
4. 将一列有理数－1，2，－3，4，－5，6，…，按如图所示有序排列．
第4题图
根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置(C的位置)是有理数4，那么
(1)“峰6”中D的位置是有理数________；
(2)－2019应排在A，B，C，D，E中的________位置．
参考答案
类型一 数式规律
热身小练
(1)n；(2)2n－1；(3)2n；(4)(－1)n；(5)(－1)n＋1或(－1)n－1；(6)n2；(7)n2＋1；(8)n2－1；(9)3n＋1.
例 19，－6n＋1.
针对训练
1. 6eq \r(\f(6,35))＝eq \r(6＋\f(6,35))；(n＋1)·eq \r(\f(n＋1,n（n＋2）))＝eq \r(n＋1＋\f(n＋1,n（n＋2）)) 【解析】第5个等式，等号左边根号外面是6，二次根式的分子也是6，分母是62－1，等号右边是这个整数与这个分数的和的算术平方根，∴第5个式子为6eq \r(\f(6,35))＝eq \r(6＋\f(6,35))；∴第n个式子为(n＋1)·eq \r(\f(n＋1,（n＋1）2－1))＝eq \r(（n＋1）＋\f(n＋1,（n＋1）2－1))，化简得(n＋1)·eq \r(\f(n＋1,n（n＋2）))＝eq \r(（n＋1）＋\f(n＋1,n（n＋2）)).
2. a7＋2b13，an＋(－1)n＋1·2b2n－1 【解析】∵第1个代数式为a1＋(－1)1＋1×2b1，第2个代数式为a1×2＋(－1)1＋2×2b2×2－1，第3个代数式为a1×3＋(－1)1＋3×2b2×3－1，第4个代数式为a1×4＋(－1)1＋4×2b2×4－1，…，则第7个代数式为a1×7＋(－1)1＋7×2b2×7－1＝a7＋2b13，∵当n为奇数时，(－1)n＋1＝1，当n为偶数时，(－1)n＋1＝－1，∴第n个式子是：an＋(－1)n＋1·2b2n－1.
3. 16，63，65；2(n＋1)，n(n＋2)，(n＋1)2＋1 【解析】 观察前4组数据的规律可知：第一个数是2(n＋1)；第二个数是n(n＋2)；第三个数是(n＋1)2＋1.∴第⑦组勾股数为16，63，65.第n组勾股数为2(n＋1)，n(n＋2)，(n＋1)2＋1.
4. －eq \f(a26,10)，(－1)neq \f(a3n－1,1＋n) 【解析】第1个数为－eq \f(a2,2)＝(－1)1eq \f(a1×3－1,1＋1)，第2个数为eq \f(a5,3)＝(－1)2eq \f(a2×3－1,1＋2)，第3个数为－eq \f(a8,4)＝(－1)3eq \f(a3×3－1,1＋3)，第4个数为eq \f(a11,5)＝(－1)4eq \f(a4×3－1,1＋4)，…，由此规律可知第9个数是(－1)9eq \f(a9×3－1,1＋9)＝－eq \f(a26,10).第n个数是(－1)neq \f(an×3－1,1＋n)＝(－1)neq \f(a3n－1,1＋n).
5. eq \f(20,59)，(－1)neq \f(n,3n－1) 【解析】∵－eq \f(1,2)＝(－1)1×eq \f(1,3×1－1)，eq \f(2,5)＝(－1)2×eq \f(2,3×2－1)，－eq \f(3,8)＝(－1)3×eq \f(3,3×3－1)，eq \f(4,11)＝(－1)4×eq \f(4,3×4－1)，－ eq \f(5,14)＝(－1)5×eq \f(5,3×5－1)，…，∴第20个数是(－1)20·eq \f(20,3×20－1)＝eq \f(20,59)，第n个数是(－1)n·eq \f(n,3n－1)
6. 253，4；8m＋n－8 【解析】∵2020＝8×252＋4，∴2020排在第253行第4列；根据数字排列规律：第m行最后一列数字为8m，∴排在第m行第n列的数为8m＋n－8.
类型二 图形规律
例 (1)5，18；
(2)n，4n－2； 【解析】第n个图案有n个正方形，当n＝1时，等边三角形个数为2，当n＝2时，等边三角形个数为2＋4×1＝6，当n＝3时，等边三角形个数为2＋4×2＝10，当n＝4时，等边三角形个数为2＋4×3＝14，∴第n个图案中等边三角形的个数为2＋4(n－1)＝4n－2.
(3)8082；
(4)3n－2；
(5)16.
针对训练
1. 22a＋2b，2na＋2b 【解析】观察图案的变化可知第①个图案的周长为2(a＋b)，第②个图案的周长为2×2(a＋b)－2×(2－1)b，第③个图案的周长为3×2(a＋b)－2×(3－1)b，…，则第个图案的周长为n×2(a＋b)－2(n－1)b，∴第⑪个图案的周长为11×2(a＋b)－2×(11－1)b＝22a＋2b，
第个图案的周长为n×2(a＋b)－2×(n－1)b＝2na＋2b.
2. 33，4n＋1 【解析】逐部分分析如下：
由表可以看出，每个图案中正方形的个数＝4×(图形序数－1)＋1，，则第8次操作后，得到的正方形个数为4×8＋1＝33，第n次操作后，得到的正方形个数为4n＋1.
3. 21，n＋2n－1 【解析】如解图，将每个图形沿虚线分成上下两部分：
第3题解图
逐部分分析如下表：
由表可以看出，上部分太阳的个数等于图形序数，下部分太阳的个数等于2的图形序数减1次方，故第⑤个图形中太阳的个数为5＋24＝21；第个图形中太阳的个数为n＋2n－1.
4. 243，3n－1 【解析】∵第1个图案中有1＝30个涂有阴影的三角形，第2个图案中有3＝31个涂有阴影的三角形，第3个图案中有9＝32个涂有阴影的三角形，第4个图案中有27＝33个涂有阴影的三角形，依次类推，第6个图案有243＝35个涂有阴影的三角形，∴第n个图案中有 3n－1个涂有阴影的三角形．
5. 190，eq \f(1,2)n(n－1) 【解析】2条直线相交最多有1个交点；3条直线相交最多有1＋2＝3＝eq \f(1,2)×3×2个交点；4条直线相交最多有1＋2＋3＝6＝eq \f(1,2)×4×3个交点；5条直线相交最多有1＋2＋3＋4＝10＝eq \f(1,2)×5×4个交点；…；20条直线相交最多有eq \f(1,2)×20×19＝190个交点．n条直线相交最多有eq \f(1,2)n(n－1)个交点．
6. 192，(eq \f(1,2)n2＋eq \f(1,2)n＋2) 【解析】第1个图案中铜币个数为2＋1＝3；第2个图案中铜币个数为2＋1＋2＝5；第3个图案中铜币个数为2＋1＋2＋3＝8；第4个图案中铜币个数为2＋1＋2＋3＋4＝12；…，第n个图案中铜币个数为2＋1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq \f(1,2)n(n＋1)＋2，当n＝19时，eq \f(1,2)n(n＋1)＋2＝eq \f(1,2)×19×20＋2＝192.
7. 43，(n2＋n＋1) 【解析】∵第1个图案有(12＋1＋1)＝3个☆，第2个图案有(22＋2＋1)＝7个☆，第3个图案有(32＋3＋1)＝13个☆，第4个图案有(42＋4＋1)＝21个☆，第5个图案有(52＋5＋1)＝31个☆，∴第6个图案有(62＋6＋1)＝43个☆，第n个图案有(n2＋n＋1)个☆.
类型三 周期规律
例 (0，448eq \r(3))
【解题步骤】①3；②3，672, 672；③eq \r(3)，eq \f(2\r(3),3)，eq \f(4\r(3),3)，2eq \r(3)，(0，448eq \r(3))．
针对训练
1. 一，(eq \f(2019,2)，eq \f(\r(3),2)) 【解析】由题图可知，3个等边三角形为一个周期，则58÷3＝19……1，∴第58个等边三角形和第一个等边三角形在同一个象限内，都在第一象限；如解图，作A1H⊥x轴于点H，∵△OA1A2是等边三角形，∴∠A1OH＝60°，OH＝eq \f(1,2)OA2＝eq \f(1,2)，∴A1H＝A1O·sin60°＝1×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),2)，∴A1(eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2))，A2(1，0)，同理可得A3(eq \f(3,2)，eq \f(\r(3),2))，A4(2，0)，A5(eq \f(5,2)，－eq \f(\r(3),2))，A6(3，0)，A7(eq \f(7,2)，eq \f(\r(3),2))，由上可知，每一个点的横坐标为序号的一半，纵坐标每6个点依次为：eq \f(\r(3),2)，0，eq \f(\r(3),2)，0，－eq \f(\r(3),2)，0这样循环，∴2019÷6＝336……3，∴A2019(eq \f(2019,2)，eq \f(\r(3),2))．
第1题解图
2. 0，1 【解析】由题意知，第1个数是0，第2个数是1，且任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和，那么就有0，1，1，0，－1，－1，0，1，1，0，－1，－1，0，…，按此规律，6个数一个周期，且前6个数的和为0，∵2021÷6＝336……5，而5个数的和为1，∴这2021个数的和为1.
3. eq \f(1,2)n(n＋1)，5056 【解析】观察“杨辉三角”可知第n个数记为an＝(1＋2＋…＋n)＝eq \f(1,2)n(n＋1)，则a3＋a100＝eq \f(1,2)×3×(3＋1)＋eq \f(1,2)×100×(100＋1)＝5056.
4. (1)30；(2)C 【解析】(1)∵每个峰需要5个数，∴5×5＝25，25＋1＋3＝29，∴“峰6”中D位置的有理数是30；(2)∵(2019－1)÷5＝403……3，∴－2019为“峰404”的第三个数，排在C的位置．
次数
第一次
第二次
第三次
…
正方形
个数
5＝
4×1＋1
9＝
4×2＋1
13＝
4×3＋1
…
序数
①
②
③
④
…
太
阳
个
数
上部
分
1
2
3
4
…
下部
分
1＝20
2＝21
4＝22
8＝23
…
总数
2
4
7
12
…