2024陕西数学中考备考重难专题：抛物线型实际应用（课后练习）

这是一份2024陕西数学中考备考重难专题：抛物线型实际应用（课后练习），共8页。试卷主要包含了1米)，2．，08>2等内容，欢迎下载使用。

典例精讲
例 已知篮筐距地面3.05 m，小亮站在距篮筐水平距离4m处跳起投篮，篮球的运行路线是抛物线的一部分，当篮球运行的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮筐．篮球和篮筐均看作一个点，建立如图所示的平面直角坐标系，y轴经过抛物线的顶点．
例题图
(1)求小亮投篮时篮球运行路线所在抛物线的解析式；
(2)已知小亮的身高是1.8 m，在这次跳投中，篮球在他头顶上方0.25 m处出手，求球出手时小亮跳离地面的高度是多少米？
(3)若小亮投篮后篮球被篮筐弹了出来，恰被距篮筐水平距离为5 m处的小明跳起来接住，小明接球的高度为2.3 m．已知篮球弹出后运行路线也是抛物线的一部分(两抛物线在同一平面内)，运行的水平距离为2 m时到达最高点．若小明不接球，让篮球自由落地，则落地点到篮筐的水平距离是多少m?
抛物线型实际应用题解题关键点是理解题意，从题干中梳理信息，把实际情境下的数字信息
转化为数学问题，借助函数图象解决.
课堂练兵
练习 (2022宁夏真题卷)2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度OA为4米．以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为(4，12)，着陆坡顶端C与落地点D的距离为2.5米，若斜坡CD的坡度i＝3∶4(即)．
练习题图
求：(1)点A的坐标；
(2)该抛物线的函数表达式；
(3)起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长．(精确到0.1米)
(参考数据：≈1.73)
课后小练
练习1 夏天，为了防止蚊虫污染饭菜，爷爷用细竹篾编了一个罩子保护饭菜(如图①)．它的横截面可以看成一个抛物线的形状．壮壮测得菜罩的跨度为80厘米，高度为32厘米，壮壮就以菜罩左边缘为原点建立平面直角坐标系(如图②)．
练习1题图
(1)求抛物线的解析式；
(2)壮壮的妈妈想购买一批直径为24厘米，高度为2.5厘米的盘子，要使菜罩紧贴桌面，菜罩内一排能放下三个这样的盘子吗？请说明理由．
练习2 某游乐园计划在道路AB上方搭建一座抛物线型彩虹桥，已知道路AB的宽为40米，桥面最高处C点距离路面的距离OC为8米．以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示.
练习2题图
(1)求这座彩虹桥的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；
(2)按计划在该彩虹桥下方需对称安置两个桥墩进行支撑，若要保障道路AB的正常通行，两个桥墩之间的距离至少需要30米，求桥墩的最大高度(不考虑桥墩的宽度);
(3)若在该彩虹桥下方有一个限高4米的横杆，现要在横杆上方设置一个宽18米，高2米的广告牌，问：在不超出桥面的情况下，这个广告牌能否按计划设置(不考虑横栏的宽度)?
答案
典例精讲
例 解：(1)∵抛物线的顶点在y轴上，
∴该抛物线的对称轴是y轴，
∴设抛物线解析式为y＝ax2＋3.5(a≠0)，
∵小亮距y轴的水平距离为2.5m，距篮筐水平距离为4m，
∴篮筐距y轴的水平距离为4－2.5＝1.5m，
∴篮筐的坐标为(1.5，3.05)，
把(1.5，3.05)代入抛物线解析式，
得3.05＝a×1.52＋3.5，
解得a＝－0.2，
∴篮球运行路线所在抛物线的解析式为y＝－0.2x2＋3.5(－2.5≤x≤1.5)；
(2)设球出手时，小亮跳离地面的高度为hm，
则球出手时，球的高度为h＋1.8＋0.25＝(h＋2.05)m，
∴h＋2.05＝－0.2×(－2.5)2＋3.5，
解得h＝0.2，
∴篮球出手时，小亮跳离地面的高度为0.2 m；
(3)∵篮球弹出后运行的水平距离为2m时到达最大高度，篮筐到y轴的距离为1.5 m，
∴篮球弹出后运行路线所在抛物线的对称轴是直线x＝1.5－2＝－0.5，
∴设该抛物线的解析式为y＝a′(x＋0.5)2＋k，
∵小明到篮筐的水平距离为5 m，
∴小明距y轴的水平距离为3.5 m，
∴抛物线经过点(－3.5，2.3)，(1.5，3.05)，
代入抛物线解析式可得，，
∴抛物线的解析式为y＝－0.15(x＋0.5)2＋3.65，
令－0.15(x＋0.5)2＋3.65＝0，
解得x1＝－－0.5，x2＝－0.5(舍去)，
∴篮球落地点距y轴(＋0.5)m，
＋0.5＋1.5＝(＋2)m，
∴若小明不接球，则篮球落地点到篮筐的水平距离为(＋2)m.
课堂练兵
练习 解：(1)点A的坐标为(0，4)；
(2)∵抛物线最高点B的坐标为(4，12)，
∴点B是抛物线顶点，抛物线可设为y＝a(x－4)2＋12(a≠0)，
把点(0，4)代入得a(0－4)2＋12＝4，解得a＝－，
∴该抛物线的函数表达式为y＝－(x－4)2＋12，
即y＝－x2＋4x＋4；
(3)在Rt△CDE中，∵；
∴设CE＝3x，则DE＝4x，由勾股定理得CD＝5x＝2.5，解得x＝0.5，
∴CE＝1.5，DE＝2，∴点D的纵坐标为－1.5，
将yD＝－1.5代入抛物线y＝－(x－4)2＋12，得－(xD－4)2＋12＝－1.5，
解得xD＝4＋3或4－3(舍去)，
∴OC＝xD－ED＝4＋3－2＝2＋3≈7.2(米)．
∴起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长约为7.2米．
课后小练
练习1 解：(1)设抛物线解析式为y＝a(x－h)2＋k，由题意知，其顶点坐标为(40，32)，
则抛物线为y＝a(x－40)2＋32，把点(80，0)代入，得0＝a(80－40)2＋32，解得a＝－.
∴抛物线的解析式为y＝－(x－40)2＋32；
(2)能放下．理由如下：当x＝＝4时，y＝－×(4－40)2＋32＝6.08>2.5.
∴菜罩内一排能放下三个这样的盘子．
练习2 解：(1)∵AB＝40，∴OB＝20.
设抛物线的解析式为y＝ax2＋c，
又∵抛物线经过点C(0，8)和点B(20，0)，
∴c＝8，400a＋c＝0，解得a＝－0.02，c＝8，
∴抛物线的解析式为y＝－0.02x2＋8(－20≤x≤20)；
(2)∵两个桥墩之间的距离至少为30米，且对称安置，
∴桥墩距离中心OC的距离至少为15米．
令x＝15，得y＝－0.02×152＋8＝3.5，
∴桥墩的最大高度3.5米；
(3)由题意可得，广告牌的最高处距离路面的距离为4＋2＝6米．
令y＝6，则－0.02x2＋8＝6，解得x1＝－10，x2＝10，
∴距离路面的距离为6米时桥面的宽度为20米．
∵18＜20，
∴这个广告牌能按计划设置．
年份
题号
题型
分值
结合背景
解题关键点
设问形式
2022
25
解答题
8
抛物线型——隧道截面
(1)理解题意，得顶点坐标；
(2)点A、B纵坐标为6
(一对对称点)(也可理解为抛物线与直线y=6的交点)
(1)求抛物线表达式；
(2)求抛物线上两点坐标（对称点）