2024陕西数学中考备考重难专题：抛物线与几何综合题三角形全等、相似问题含位似（课后练习）

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典例精讲
例 (2022陕西黑白卷)在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y＝－x2－x＋2与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，L关于y轴对称的抛物线L′交x轴于点A′，B′(点A的对应点为A′).
(1)求点B，C的坐标；
(2)若抛物线L′的对称轴l交x轴于点D，点P是y轴右侧抛物线L′上一点，过点P作PQ⊥l于点Q，当以P，Q，D为顶点的三角形与△B′OC相似时，求点P的横坐标．
例题图
方法总结
抛物线与相似三角形存在性问题：
1.当相似关系确定时，设出点坐标，表示出线段长，根据比例关系求解
2.当相似关系不确定时，先确定是否为直角三角形：
若是直角三角形时，则需分两种情况分别讨论对应关系，然后根据对应线段成比
例列式求解；
若不是直角三角形时，注意题干中是否存在隐含的等角关系（一般为特殊角，
30°，45°， 60°，通常通过直线得到），再分类讨论对应关系，根据对应线段
成比例列式求解。
课堂练兵
练习 (2022西安铁一中模拟)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，AC＝4，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若C(0，23).
练习题图
(1)请直接写出A、B的坐标；
(2)求经过A、B、C三点的抛物线表达式；
(3)l为抛物线对称轴，P是直线l右侧抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△ABC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．
课后小练
练习1 (2022陕西预测卷)在平面直角坐标系中，已知抛物线W：y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－3，0)和点B，与y轴交于点C(0，3).
练习1题图
(1)求抛物线W的表达式及点B的坐标；
(2)将抛物线W关于原点对称后得到抛物线W′，点B的对应点为D，点P在抛物线W′上，过点P作PQ⊥x轴于点Q，若以点D、P、Q为顶点的三角形与△OAC相似，求符合条件的点P的坐标．
练习2 (2022陕西定心卷)已知抛物线y＝eq \f(1,5)x2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)和点B，对称轴为直线x＝2.
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点C为抛物线对称轴上一点，则在抛物线上是否存在点D，使得△OAC与△OBD位似，且位似中心为点O？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
典例精讲
例 解：(1)令x＝0，解得y＝2，
∴C(0，2).
令y＝0，即－x2－x＋2＝0，解得x1＝－2，x2＝1.
∵点A在点B的左侧，
∴B(1，0)；
(2)∵抛物线L与L′关于y轴对称，
∴抛物线L′的表达式为y＝－x2＋x＋2，
∴抛物线L′的对称轴为直线x＝ eq \f(1,2) ，
∴D( eq \f(1,2) ，0).
令y＝－x2＋x＋2＝0，解得x1＝－1，x2＝2，
∴A′(2，0)，B′(－1，0)，
∴OB′＝1.
∵C(0，2)，
∴OC＝2.
设P(m，－m2＋m＋2)(m＞0)，则Q( eq \f(1,2) ，－m2＋m＋2)，
∴PQ＝|m－ eq \f(1,2) |，QD＝|－m2＋m＋2|，
∵△B′OC是直角三角形，
∴要使以P，Q，D为顶点的三角形与△B′OC相似，分两种情况讨论：
①当△PQD∽△B′OC时， eq \f(PQ,QD) ＝ eq \f(B′O,OC) ＝ eq \f(1,2) ，
即 eq \f(|m－\f(1,2)|,|－m2＋m＋2|) ＝ eq \f(1,2) ，
解得m＝ eq \f(－1＋\r(13),2) 或m＝ eq \f(－1－\r(13),2) (舍去)或m＝ eq \f(3＋\r(13),2) 或m＝ eq \f(3－\r(13),2) (舍去)，
∴点P的横坐标为 eq \f(－1＋\r(13),2) 或 eq \f(3＋\r(13),2) ；
②当△DQP∽△B′OC时， eq \f(QD,PQ) ＝ eq \f(OB′,CO) ＝ eq \f(1,2) ，
即 eq \f(|－m2＋m＋2|,|m－\f(1,2)|) ＝ eq \f(1,2) ，
解得m＝ eq \f(1＋\r(37),4) 或m＝ eq \f(1－\r(37),4) (舍去)或m＝ eq \f(3＋\r(37),4) 或m＝ eq \f(3－\r(37),4) (舍去).
∴点P1的横坐标为 eq \f(1＋\r(37),4) 或 eq \f(3＋\r(37),4) .
综上所述，点P的横坐标为 eq \f(－1＋\r(13),2) 或 eq \f(3＋\r(13),2) 或 eq \f(1＋\r(37),4) 或 eq \f(3＋\r(37),4) .
课堂练兵
练习 解：(1)A(－2，0)，B(6，0)；
【解法提示】∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，AC＝4，
∴sin ∠ABC＝ACAB＝48＝12，∴∠ABC＝30°，
∵C(0，23)，∴OC＝23.
∵OC⊥AB，∴∠ACO＝90°－∠OCB＝∠ABC＝30°，
∴AO＝AC·sin ∠ACO＝12AC＝2，OB＝COtan∠CBO＝2333＝6，
∴A(－2，0)，B(6，0).
(2)∵A(－2，0)，B(6，0)，C(0，23)，
∴设抛物线表达式为y＝a(x＋2)(x－6)，代入C(0，23)，
得23＝－12a，解得a＝－36，
∴y＝－36(x＋2)(x－6)＝－36x2＋233x＋23；
(3)∵A(－2，0)，B(6，0)在抛物线y＝－36x2＋233x＋23上，
∴对称轴为直线x＝－2＋62＝2.
∵PD⊥l，∴∠PDE＝90°＝∠ACB，
设P(t，－36(t＋2)(t－6))，则PD＝t－2，
①△ACB≌△PDE，则AC＝PD＝4，DE＝BC＝43.
∵PD＝t－2，∴t＝4＋2＝6，∴P(6，0)，∴D(2，0).
∵DE＝43，∴E(2，43)或E(2，－43)；
②△ACB≌△EDP，则AC＝DE＝4，DP＝BC＝43.
∵PD＝t－2＝43，∴t＝43＋2，
∴－36(t＋2)(t－6)＝－36(43＋2＋2)(43＋2－6)＝－1633，
∴P(43＋2，－1633)，∴D(2，－1633).
∵DE＝4，∴E(2，4－1633)或E(2，－4－1633).
综上所述，当P(6，0)时，E(2，43)或E(2，－43)；当P(2＋43，－1633)时，E(2，4－1633)或E(2，－4－1633).
课后小练
练习1 解：(1)∵抛物线W经过点A(－3，0)和点C(0，3)，
∴0＝－9－3b＋c3＝c，解得b＝－2c＝3，
∴抛物线W的解析式为y＝－x2－2x＋3，
当x＝0时，－x2－2x＋3＝0，
解得x1＝1，x2＝－3(舍去)，
∴点B的坐标为(1，0)；
(2)∵抛物线W′与抛物线W关于原点对称，∴抛物线W′的表达式为y＝x2－2x－3，
如解图，
∵点D是点B关于原点的对称点，∴点D的坐标为(－1，0)，
∵点A(－3，0)，点C(0，3)，∴OA＝OC＝3，
∵∠DQP＝∠AOC＝90°，∴当PQ＝DQ时，△DQP与△AOC相似，
设点P的坐标为(m，m2－2m－3)，则点Q的坐标为(m，0)，
∴PQ＝|m2－2m－3|，DQ＝|m＋1|，当m2－2m－3＝m＋1时，解得m＝－1(舍去)或m＝4，∴点P1的坐标为(4，5)，
当－(m2－2m－3)＝m＋1时，解得m＝－1(舍去)或m＝2，∴点P2的坐标为(2，－3)，
综上所述，符合条件的点P的坐标为(4，5)或(2，－3).
解图
练习2 解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴－eq \f(b,2a)＝－eq \f(b,\f(2,5))＝2，
解得b＝－eq \f(4,5).
将A(1，0)代入抛物线y＝eq \f(1,5)x2－eq \f(4,5)x＋c中，得0＝eq \f(1,5)－eq \f(4,5)＋c，
解得c＝eq \f(3,5)，
∴抛物线的表达式为y＝eq \f(1,5)x2－eq \f(4,5)x＋eq \f(3,5)；
练习2题解图
(2)解法一：存在，
如解图，设直线x＝2与x轴交于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
∵点B与点A关于直线x＝2对称，A(1，0)，
∴B(3，0)．
∵△OAC与△OBD位似，且位似中心为点O，
∴eq \f(DO,CO)＝eq \f(BD,AC)＝eq \f(OB,OA)＝3.
∵DF⊥x轴，
∴DF∥CE，
∴eq \f(DF,CE)＝eq \f(OF,OE)＝eq \f(OD,OC)＝3，即DF＝3CE，OF＝3OE.
设C(2，m)，则D(6，3m)，
将点D(6，3m)代入抛物线y＝eq \f(1,5)x2－eq \f(4,5)x＋eq \f(3,5)中得3m＝eq \f(1,5)×62－eq \f(4,5)×6＋eq \f(3,5)＝3，
∴点D的坐标为(6，3)．
解法二：存在，
如解图，设直线x＝2与x轴交于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
∵点B与点A关于直线x＝2对称，A(1，0)，
∴B(3，0)．
∵△OAC与△OBD位似，且位似中心为点O，
∴eq \f(DO,CO)＝eq \f(BD,AC)＝eq \f(OB,OA)＝3，AC∥BD，
∴∠CAE＝∠DBF.
∵DF⊥x轴，
∴∠CEA＝∠DFB＝90°，
∴△CAE∽△DBF，
∴eq \f(BF,AE)＝eq \f(BD,AC)＝3.
∵AE＝2－1＝1，∴BF＝3AE＝3，
∴点F的坐标为(6，0)，
当x＝6时，y＝eq \f(1,5)×62－eq \f(4,5)×6＋eq \f(3,5)＝3，
∴点D的坐标为(6，3)．
类型
年份
题号
题型
分值
几何图形
涉及变化
设问形式
解题关键点
相似
2021
25
解答题
8
直角三角形
点的对称
(1)求点坐标；
(2)求满足两个三角形相似时的点坐标
(1)y轴交点（0，c），与x轴交点，令y=0
(2)抛物线上的点关于对称轴对称的点在抛物线上，得∠C'CO=∠BOP，需分两种情况讨论计算（对应边成比例）
2022
24
10
直角三角形
两抛物线关于原点O对称
求抛物线的表达式
(2)求满足两个三角形相似时的点坐标
(1)待定系数法求表达式
(2)根据抛物线关于原点对称特点确定求表达式（a变为相反数，顶点横纵坐标变为相反数）；均为直角三角形，需分两种情况讨论计算（对应边成比例）
全等
2023
24
10
直角三角形
/
(1)求抛物线的表达式
(2)求满足两个三角形全等时的点坐标
(1)抛物线上的点坐标性质
(2)得到△PDE和△PDE是直角三角形，需分两种情况讨论计算（等角的三角函数值相等/对应边相等）