2024陕西数学中考备考重难专题：抛物线与几何综合题特殊三角形、四边形问题（课后练习）

这是一份2024陕西数学中考备考重难专题：抛物线与几何综合题特殊三角形、四边形问题（课后练习），共11页。试卷主要包含了两定点，两动点等内容，欢迎下载使用。

典例精讲
例 (2022陕西逆袭卷改编)如图，抛物线L：y＝x2＋2x－c的图象与x轴交于A，B两点(点B在点A的左侧)，与y轴交于点C(0，-3)，过点A的直线与y轴交于点D，与抛物线交于点M，且tan∠BAM＝1.
(1)求点A，B的坐标及抛物线解析式;
(2)抛物线M与抛物线L关于y轴对称，求抛物线M与y轴交点坐标；
(3)若点P为抛物线L上一动点，E为直线AD上一动点，则是否存在点P，使得以点A，P，E为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
例题图①
(4)抛物线M上存在一点F，抛物线L上存在一点G，使得四边形ABFG为平行四边形，求出F，G两点坐标.
例题图②
方法总结
探究平行四边形存在性问题的步骤：
1.三定点(A、B、C)，一动点(D)：
分别过点A、B、C作BC、AC、AB的平行线，三条平行线的交点即为所求作的点D
2.两定点(A、C)，两动点(E、F)：
分AC为边和AC为对角线两种情况来讨论：
①AC为边，平移AC，利用平行四边形的对边平行且相等确定点E、F位置
②AC为对角线，取AC中点，利用平行四边形对角线互相平分来确定点E、F位置
课堂练兵
练习 (2022山西逆袭复诊卷)综合与探究
如图，抛物线y＝38x2－94x－6与x轴交于点A，C，与y轴交于点B，点P是抛物线上任意一点，连接PB，PC，BC.
练习题图
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)当△PBC的面积为24时，求点P的坐标；
(3)若点Q是直线x＝4上一点，是否存在以点P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
课后小练
练习1 (2022陕西原创卷)在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)，抛物线L′与抛物线L关于y轴对称．
练习1题图
(1)求抛物线L的表达式；
(2)抛物线L′的顶点为D，在x轴上是否存在一点P，使得以B、D、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
练习2 (2022陕西黑白卷白卷)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与直线y＝ eq \f(2,3) x－2分别交x轴、y轴于点A，B，且抛物线与x轴的另一个交点为C(－1，0).
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是平面内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
练习2题图
答案
典例精讲
例 解：(1)∵C(0，－3)
∴抛物线L解析式为y＝x2＋2x－3，
令y＝0，即x2＋2x－3＝0，
解得x＝1或x＝－3，
∴A(1，0)，B(－3，0)；
(2)将抛物线L化为顶点式为y＝(x+1)2－4
∵抛物线M与抛物线L关于y轴对称，
∴抛物线M的解析式为y＝(x－1)2－4
令x=0，则y=－3，
∴抛物线M与y轴交点坐标为(0，－3)
(3)存在．
在Rt△AOD中，∵tan∠BAM＝tan∠OAD＝eq \f(OD,OA)＝1，
∴OD＝OA，∠BAD＝45°.
如解图，分三种情况讨论：
例题解题①
①当AE＝PE时，∠AEP＝90°，
∴∠EPA＝∠EAP＝45°，
∵∠DAB＝45°，
∴此时点P与点B重合，
∴点P的坐标为(－3，0)；
②当AP＝PE时，∠EPA＝90°，
∴∠PEA＝∠EAP＝45°，
∴此时点P与点B重合，
∴点P的坐标为(－3，0)；
③当AP＝AE时，∠EAP＝90°，
设AP与y轴交于点F，则∠OFA＝∠OAF＝45°，
∴OF＝OA＝1，
∴点F的坐标为(0，－1)，
设直线AF的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
将A(1，0)，F(0，－1)代入y＝kx＋b中，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0＝k＋b,－1＝b))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝1,b＝－1))，
∴直线AF的表达式为y＝x－1，
设点P的坐标为(x，x2＋2x－3)，
∴x2＋2x－3＝x－1，
解得x1＝1(舍去)，x2＝－2，
当x＝－2时，y＝－2－1＝－3，
∴点P的坐标为(－2，－3)．
综上所述，满足条件的点P的坐标为(－3，0)或(－2，－3)．
(4)∵A(1，0)，B(－3，0)
∴AB＝4
∵点F在抛物线M上，点G在抛物线L上，且四边形ABFG是平行四边形
∴FGAB，FG=AB=4
∵抛物线M与抛物线L关于y轴对称
∴两抛物线上纵坐标相同的点，横坐标关于y轴对称
∴，xF＝－xG
分两种情况讨论，当F、G在x轴上方时，即
xF＝－2时，xG＝2
当F、G在x轴下方时，即
xF＝2时，xG＝－2
将xF＝－2代入抛物线M解析式y＝x2－2x－3可得yF＝5，
xG＝2，yG＝5，此时F(－2，5)，G(2，5)
将xF＝2代入抛物线M解析式y＝x2－2x－3可得yF＝－3，
xG＝－2，yG＝－3，此时F(2，－3)，G(－2，－3)
∴综上所述，F(－2，5)，G(2，5)或F(2，－3)，G(－2，－3).
例题解图②
课堂练兵
练习 解：(1)在y＝38x2－94x－6中，
令y＝0，得38x2－94x－6＝0，
解得x＝－2或x＝8，
令x＝0，得y＝－6，
∴点A(－2，0)，点B(0，－6)，点C(8，0)；
(2)当点P在直线BC下方时，如解图①，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，
设直线BC的表达式为y＝kx＋d(k≠0)，
将点B(0，－6)，C(8，0)代入，得d＝－68k＋d＝0，解得k＝34d＝－6，
∴直线BC的表达式为y＝34x－6.
设点P(m，38m2－94m－6)(0