2024陕西数学中考备考重难专题:抛物线与几何综合题线段、面积问题(课后练习)
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这是一份2024陕西数学中考备考重难专题:抛物线与几何综合题线段、面积问题(课后练习),共10页。试卷主要包含了与x轴垂直的线段的长,与y轴垂直的线段的长等内容,欢迎下载使用。
典例精讲
例 (2022陕西逆袭卷)已知抛物线C1:y=ax2+eq \f(3,4)x+c的顶点为D(1,eq \f(27,8)),抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称,且抛物线C2与x轴分别交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求AC的长;
(2)点P是位于AC下方的抛物线C2上一点,过点P的直线l∥AC,是否存在点P,使得直线l被抛物线C2截得的线段长为AC长的3倍?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)抛物线C3是抛物线C1关于原点O对称的抛物线,求抛物线C3的表达式
(4)在(3)中已知抛物线C3,且抛物线上有一点Q,使得S△ABC=S△ABO,求点Q的坐标.
方法总结
抛物线的翻折、中心对称
线段问题
1.与x轴垂直的线段的长:纵坐标相减(上减下)
2.与y轴垂直的线段的长:横坐标相减(右减左)
3.斜线段时,可过线段端点分别作x轴,y轴垂线构造直角三角形,利用勾股定理、特殊三角函数值或相似进行求解.
面积问题
课堂练兵
练习 (2022陕西原创卷)在平面直角坐标系中,抛物线L:y=ax2+bx+c经过点A(0,-3),顶点B在x轴上,且对称轴为直线x=2.
练习题图
(1)求抛物线L的表达式;
(2)将该抛物线平移,平移后的抛物线L′的顶点为B′,且与x轴交于C,D两点(点C在点D的左侧),若以A、B、B′、C为顶点的四边形是面积为6的平行四边形,求抛物线L′的表达式.
课后小练
练习1 (2022陕西题组小卷)在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,OA=OC=2OB.
练习题图
(1)求该抛物线的表达式;
(2)在抛物线上是否存在点M,使A、C两点到直线MB的距离相等?若存在,求出满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
练习2 (2022陕西原创卷)在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)、B两点,且经过点(2,3),抛物线的对称轴与x轴交于点G.
练习题图
(1)求抛物线的对称轴;
(2)点D、E在对称轴上(D在E的上方),点F在第一象限,是否存在使得四边形AEBD(AB为对角线)与四边形ABFD(AB为边)都是菱形的情形?若存在,请分别求出此时四边形AEBD与四边形ABFD的面积,若不存在,请说明理由.
答案
典例精讲
例 解:(1)∵抛物线C1:y=ax2+eq \f(3,4)x+c的顶点为D(1,eq \f(27,8)),
∴抛物线的对称轴为直线x=1,
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(-\f(\f(3,4),2a)=1,a+\f(3,4)+c=\f(27,8))),解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a=-\f(3,8),c=3)),
∴抛物线C1的表达式为y=-eq \f(3,8)x2+eq \f(3,4)x+3,
∵抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称,
∴抛物线C2的表达式为y=-eq \f(3,8)x2-eq \f(3,4)x+3.
∵抛物线C2与x轴分别交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,
令y=0,则-eq \f(3,8)x2-eq \f(3,4)x+3=0,
解得x=-4或x=2,
∵点A在点B的左侧,
∴A(-4,0),B(2,0).
令x=0,则y=3,
∴C(0,3),
∴AC=eq \r(OA2+OC2)=5;
(2)存在,
如解图,设直线AC的表达式为y=kx+b,
将A(-4,0),C(0,3)分别代入y=kx+b中,得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(-4k+b=0,b=3)),解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k=\f(3,4),b=3)),
∴直线AC的表达式为y=eq \f(3,4)x+3.
∵l∥AC,
∴设直线l的表达式为y=eq \f(3,4)x+t.
设点P(p,-eq \f(3,8)p2-eq \f(3,4)p+3),则-eq \f(3,8)p2-eq \f(3,4)p+3=eq \f(3,4)p+t,
∴t=-eq \f(3,8)p2-eq \f(3,2)p+3,
∴直线l的表达式为y=eq \f(3,4)x-eq \f(3,8)p2-eq \f(3,2)p+3,
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y=-\f(3,8)x2-\f(3,4)x+3,y=\f(3,4)x-\f(3,8)p2-\f(3,2)p+3)),解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1=p,y1=-\f(3,8)p2-\f(3,4)p+3)),eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2=-p-4,y2=-\f(3,8)p2-\f(9,4)p)),
∴直线l与抛物线的两个交点为(p,-eq \f(3,8)p2-eq \f(3,4)p+3)和(-p-4,-eq \f(3,8)p2-eq \f(9,4)p).
∵直线l被抛物线C2截得的线段长为AC长的3倍,
∴eq \r((p+p+4)2+(\f(3,2)p+3)2)=15,
解得p=4或p=-8,
当p=4时,y=-eq \f(3,8)p2-eq \f(3,4)p+3=-6,
当p=-8时,y=-eq \f(3,8)p2-eq \f(3,4)p+3=-15,
综上所述,满足条件的点P的坐标为(4,-6)或(-8,-15).
例题解题
(3)抛物线C1的表达式为y=-eq \f(3,8)x2+eq \f(3,4)x+3=
∵抛物线C3是抛物线C1关于原点对称的抛物线
∴抛物线C3表达式为.
(4)∵抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称,抛物线C3与抛物线C1关于原点O对称
∴抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称
∵点C坐标为(0,3)
∴点Q坐标为(0,-3)
将y=-3代入抛物线中,
解得x1=0,x2=-2
∴使得S△ABC=S△ABQ,点Q坐标为(0,-3),(-2,-3).
课堂练兵
练习 解:(1)∵抛物线的对称轴为直线x=2,且顶点B在x轴上,
∴B(2,0),∴可以设抛物线的表达式为y=a(x-2)2,
把A(0,-3)代入y=a(x-2)2,解得a=- eq \f(3,4) .
∴抛物线的表达式为y=- eq \f(3,4) (x-2)2=- eq \f(3,4) x2+3x-3;
(2)当点C在点B的左侧时,
∵四边形ABB′C是平行四边形,∴AB=B′C,AB∥CB′,
∴点B′的纵坐标与点A的纵坐标绝对值相等,
∵A(0,-3),∴点B′的纵坐标为3,
∵平行四边形ABB′C的面积为6,
∴S△BCB′= eq \f(1,2) ×BC×3=3,∴BC=2,
∵B(2,0),∴C(0,0),B′(2,3),
∴抛物线L向上平移3个单位得到抛物线L′,
此时抛物线L′的表达式为y=- eq \f(3,4) x2+3x,
同理可得,当点C在点B的右侧时,C(4,0),B′(6,3),
抛物线L向右平移4个单位,再向上平移3个单位得到抛物线L′,
此时抛物线L′的表达式为y=- eq \f(3,4) x2+9x-24.
∴抛物线L′的表达式为y=- eq \f(3,4) x2+3x或y=- eq \f(3,4) x2+9x-24.
课后小练
练习1 解:(1)令x=0,则y=4,∴点C的坐标为(0,4),
∵OA=OC=2OB,∴OA=4,OB=2,
∵点A在点B的左侧,∴点A的坐标为(-4,0),点B的坐标为(2,0),
将点A,B的坐标代入y=ax2+bx+4,
可得0=16a-4b+40=4a+2b+4,解得a=-12b=-1,
∴抛物线的表达式为y=-12x2-x+4;
(2)存在;理由如下:
∵OA=OC,∴线段AC的垂直平分线交x轴于点O,
∴要使点A,C到直线MB的距离相等,分两种情况讨论:
①当直线BM与直线AC平行时,
设直线AC的表达式为y=kx+m,
将点A,C 的坐标代入可得0=-4k+m4=m,解得k=1m=4,
∴直线AC的表达式为y=x+4,
如解图,设直线M1B的表达式为y=x+n,
∵直线M1B经过点B,即0=2+n,∴n=-2,
∴直线M1B的表达式为y=x-2,
联立抛物线与直线M1B的表达式,
可得y=-12x2-x+4y=x-2,解得x1=-6y1=-8或x2=2y2=0(舍去),
∴点M1的坐标为(-6,-8);(6分)
②如解图,设AC的中点为点D,连接BD交抛物线于点M2,过点A作AE⊥BM2于点E,CF⊥BM2于点F.
易得△ADE≌△CDF,∴AE=CF,
∵A(-4,0),C(0,4),∴D(-2,2),
设直线BD的表达式为y=px+q,
将B、D的坐标代入可得2p+q=0-2p+q=2,解得p=-12q=1,
∴直线BD的表达式为y=-12x+1,
联立y=-12x2-x+4y=-12x+1,解得x1=-3y1=52或x2=2y2=0(舍去),
∴点M2的坐标为(-3,52),
综上所述,点M的坐标为(-6,-8)或(-3,52).
练习题解图
练习2 解:(1)把(-1,0),(2,3)代入抛物线中得,
-1-b+c=0-4+2b+c=3,解得b=2c=3,
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3,
∴-b2a=-22×(-1)=1,
∴抛物线的对称轴为直线x=1;
(2)存在,令y=0,则-x2+2x+3=0,
解得x1=-1,x2=3,∴ B(3,0),∴AB=4,
如解图,当四边形ABFD为菱形时,AD=AB=4,
设D(1,m),在Rt△ADG中,AD2=AG2+DG2=22+m2=4+m2=16,
解得m1=23,m2=-23(舍去),∴D(1,23),
∴S菱形ABFD=AB·DG=4×23=83.
当四边形AEBD为菱形时,D、E两点关于x轴对称,
∴E(1,-23),即DE=43,∴S菱形AEBD=12AB·DE=12×4×43=83.
练习题解图
年份
题号
题型
分值
抛物线变化情况
设问形式
解题关键点
2018
24
解
答
题
10
平移
(1)求抛物线与坐标轴交点坐标及交点为顶点的三角形面积
(2)求满足面积等量关系的函数表达式
(1)抛物线与坐标轴的交点问题,三角形面积计算
(2)抛物线图象的平移性质
2023
24
10
关于中心对称
(1)求与坐标轴交点坐标
(2)求抛物线表达式
(3)求不是菱形的平行四边形的面积
(1)抛物线与坐标轴的交点问题
(2)抛物线图象关于中心对称性质
(3)平行四边形的性质:平行四边形的对角线互相平分
表达式
变式形式
变化后的a值
变化后的顶点坐标
变化变化后的表达式
y=a(x-h)2+k(a≠0)
关于x轴对称
-a
(h,-k)
y=-a(x-h)2-k
关于y轴对称
a
(-h,k)
y=a(x+h)2+k
关于原点O
中心对称
-a
(-h,-k)
y=-a(x+h)2-k
绕顶点旋转180°
-a
(h,k)
y=-a(x-h)2+k
方法
直接公式法
分割法
补全法
图示
S△ABC= AB‧h
S△ABC=AB‧h
S△ABC= ah
S△ABC=S四边形BDEC-S△ADB-S△AEC
S△ABC= |xB-xA|‧yC
S△ABC= |yA-yB|‧|xc-xB|
S△ABC= |xc-xB|‧|yA-yD|
S△ABC= (|yE-yC|+|yD-yB|)‧|xE-xD|- |xA-xD|‧|yD-yB|- |xE-xA|‧|yE-yC|
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