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    2024陕西数学中考备考重难专题:抛物线与几何综合题线段、面积问题(课后练习)

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    2024陕西数学中考备考重难专题:抛物线与几何综合题线段、面积问题(课后练习)

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    这是一份2024陕西数学中考备考重难专题:抛物线与几何综合题线段、面积问题(课后练习),共10页。试卷主要包含了与x轴垂直的线段的长,与y轴垂直的线段的长等内容,欢迎下载使用。

    典例精讲
    例 (2022陕西逆袭卷)已知抛物线C1:y=ax2+eq \f(3,4)x+c的顶点为D(1,eq \f(27,8)),抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称,且抛物线C2与x轴分别交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
    (1)求AC的长;
    (2)点P是位于AC下方的抛物线C2上一点,过点P的直线l∥AC,是否存在点P,使得直线l被抛物线C2截得的线段长为AC长的3倍?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
    (3)抛物线C3是抛物线C1关于原点O对称的抛物线,求抛物线C3的表达式
    (4)在(3)中已知抛物线C3,且抛物线上有一点Q,使得S△ABC=S△ABO,求点Q的坐标.
    方法总结
    抛物线的翻折、中心对称
    线段问题
    1.与x轴垂直的线段的长:纵坐标相减(上减下)
    2.与y轴垂直的线段的长:横坐标相减(右减左)
    3.斜线段时,可过线段端点分别作x轴,y轴垂线构造直角三角形,利用勾股定理、特殊三角函数值或相似进行求解.
    面积问题
    课堂练兵
    练习 (2022陕西原创卷)在平面直角坐标系中,抛物线L:y=ax2+bx+c经过点A(0,-3),顶点B在x轴上,且对称轴为直线x=2.
    练习题图
    (1)求抛物线L的表达式;
    (2)将该抛物线平移,平移后的抛物线L′的顶点为B′,且与x轴交于C,D两点(点C在点D的左侧),若以A、B、B′、C为顶点的四边形是面积为6的平行四边形,求抛物线L′的表达式.
    课后小练
    练习1 (2022陕西题组小卷)在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,OA=OC=2OB.
    练习题图
    (1)求该抛物线的表达式;
    (2)在抛物线上是否存在点M,使A、C两点到直线MB的距离相等?若存在,求出满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
    练习2 (2022陕西原创卷)在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)、B两点,且经过点(2,3),抛物线的对称轴与x轴交于点G.
    练习题图
    (1)求抛物线的对称轴;
    (2)点D、E在对称轴上(D在E的上方),点F在第一象限,是否存在使得四边形AEBD(AB为对角线)与四边形ABFD(AB为边)都是菱形的情形?若存在,请分别求出此时四边形AEBD与四边形ABFD的面积,若不存在,请说明理由.
    答案
    典例精讲
    例 解:(1)∵抛物线C1:y=ax2+eq \f(3,4)x+c的顶点为D(1,eq \f(27,8)),
    ∴抛物线的对称轴为直线x=1,
    ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(-\f(\f(3,4),2a)=1,a+\f(3,4)+c=\f(27,8))),解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a=-\f(3,8),c=3)),
    ∴抛物线C1的表达式为y=-eq \f(3,8)x2+eq \f(3,4)x+3,
    ∵抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称,
    ∴抛物线C2的表达式为y=-eq \f(3,8)x2-eq \f(3,4)x+3.
    ∵抛物线C2与x轴分别交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,
    令y=0,则-eq \f(3,8)x2-eq \f(3,4)x+3=0,
    解得x=-4或x=2,
    ∵点A在点B的左侧,
    ∴A(-4,0),B(2,0).
    令x=0,则y=3,
    ∴C(0,3),
    ∴AC=eq \r(OA2+OC2)=5;
    (2)存在,
    如解图,设直线AC的表达式为y=kx+b,
    将A(-4,0),C(0,3)分别代入y=kx+b中,得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(-4k+b=0,b=3)),解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k=\f(3,4),b=3)),
    ∴直线AC的表达式为y=eq \f(3,4)x+3.
    ∵l∥AC,
    ∴设直线l的表达式为y=eq \f(3,4)x+t.
    设点P(p,-eq \f(3,8)p2-eq \f(3,4)p+3),则-eq \f(3,8)p2-eq \f(3,4)p+3=eq \f(3,4)p+t,
    ∴t=-eq \f(3,8)p2-eq \f(3,2)p+3,
    ∴直线l的表达式为y=eq \f(3,4)x-eq \f(3,8)p2-eq \f(3,2)p+3,
    联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y=-\f(3,8)x2-\f(3,4)x+3,y=\f(3,4)x-\f(3,8)p2-\f(3,2)p+3)),解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1=p,y1=-\f(3,8)p2-\f(3,4)p+3)),eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2=-p-4,y2=-\f(3,8)p2-\f(9,4)p)),
    ∴直线l与抛物线的两个交点为(p,-eq \f(3,8)p2-eq \f(3,4)p+3)和(-p-4,-eq \f(3,8)p2-eq \f(9,4)p).
    ∵直线l被抛物线C2截得的线段长为AC长的3倍,
    ∴eq \r((p+p+4)2+(\f(3,2)p+3)2)=15,
    解得p=4或p=-8,
    当p=4时,y=-eq \f(3,8)p2-eq \f(3,4)p+3=-6,
    当p=-8时,y=-eq \f(3,8)p2-eq \f(3,4)p+3=-15,
    综上所述,满足条件的点P的坐标为(4,-6)或(-8,-15).
    例题解题
    (3)抛物线C1的表达式为y=-eq \f(3,8)x2+eq \f(3,4)x+3=
    ∵抛物线C3是抛物线C1关于原点对称的抛物线
    ∴抛物线C3表达式为.
    (4)∵抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称,抛物线C3与抛物线C1关于原点O对称
    ∴抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称
    ∵点C坐标为(0,3)
    ∴点Q坐标为(0,-3)
    将y=-3代入抛物线中,
    解得x1=0,x2=-2
    ∴使得S△ABC=S△ABQ,点Q坐标为(0,-3),(-2,-3).
    课堂练兵
    练习 解:(1)∵抛物线的对称轴为直线x=2,且顶点B在x轴上,
    ∴B(2,0),∴可以设抛物线的表达式为y=a(x-2)2,
    把A(0,-3)代入y=a(x-2)2,解得a=- eq \f(3,4) .
    ∴抛物线的表达式为y=- eq \f(3,4) (x-2)2=- eq \f(3,4) x2+3x-3;
    (2)当点C在点B的左侧时,
    ∵四边形ABB′C是平行四边形,∴AB=B′C,AB∥CB′,
    ∴点B′的纵坐标与点A的纵坐标绝对值相等,
    ∵A(0,-3),∴点B′的纵坐标为3,
    ∵平行四边形ABB′C的面积为6,
    ∴S△BCB′= eq \f(1,2) ×BC×3=3,∴BC=2,
    ∵B(2,0),∴C(0,0),B′(2,3),
    ∴抛物线L向上平移3个单位得到抛物线L′,
    此时抛物线L′的表达式为y=- eq \f(3,4) x2+3x,
    同理可得,当点C在点B的右侧时,C(4,0),B′(6,3),
    抛物线L向右平移4个单位,再向上平移3个单位得到抛物线L′,
    此时抛物线L′的表达式为y=- eq \f(3,4) x2+9x-24.
    ∴抛物线L′的表达式为y=- eq \f(3,4) x2+3x或y=- eq \f(3,4) x2+9x-24.
    课后小练
    练习1 解:(1)令x=0,则y=4,∴点C的坐标为(0,4),
    ∵OA=OC=2OB,∴OA=4,OB=2,
    ∵点A在点B的左侧,∴点A的坐标为(-4,0),点B的坐标为(2,0),
    将点A,B的坐标代入y=ax2+bx+4,
    可得0=16a-4b+40=4a+2b+4,解得a=-12b=-1,
    ∴抛物线的表达式为y=-12x2-x+4;
    (2)存在;理由如下:
    ∵OA=OC,∴线段AC的垂直平分线交x轴于点O,
    ∴要使点A,C到直线MB的距离相等,分两种情况讨论:
    ①当直线BM与直线AC平行时,
    设直线AC的表达式为y=kx+m,
    将点A,C 的坐标代入可得0=-4k+m4=m,解得k=1m=4,
    ∴直线AC的表达式为y=x+4,
    如解图,设直线M1B的表达式为y=x+n,
    ∵直线M1B经过点B,即0=2+n,∴n=-2,
    ∴直线M1B的表达式为y=x-2,
    联立抛物线与直线M1B的表达式,
    可得y=-12x2-x+4y=x-2,解得x1=-6y1=-8或x2=2y2=0(舍去),
    ∴点M1的坐标为(-6,-8);(6分)
    ②如解图,设AC的中点为点D,连接BD交抛物线于点M2,过点A作AE⊥BM2于点E,CF⊥BM2于点F.
    易得△ADE≌△CDF,∴AE=CF,
    ∵A(-4,0),C(0,4),∴D(-2,2),
    设直线BD的表达式为y=px+q,
    将B、D的坐标代入可得2p+q=0-2p+q=2,解得p=-12q=1,
    ∴直线BD的表达式为y=-12x+1,
    联立y=-12x2-x+4y=-12x+1,解得x1=-3y1=52或x2=2y2=0(舍去),
    ∴点M2的坐标为(-3,52),
    综上所述,点M的坐标为(-6,-8)或(-3,52).
    练习题解图
    练习2 解:(1)把(-1,0),(2,3)代入抛物线中得,
    -1-b+c=0-4+2b+c=3,解得b=2c=3,
    ∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3,
    ∴-b2a=-22×(-1)=1,
    ∴抛物线的对称轴为直线x=1;
    (2)存在,令y=0,则-x2+2x+3=0,
    解得x1=-1,x2=3,∴ B(3,0),∴AB=4,
    如解图,当四边形ABFD为菱形时,AD=AB=4,
    设D(1,m),在Rt△ADG中,AD2=AG2+DG2=22+m2=4+m2=16,
    解得m1=23,m2=-23(舍去),∴D(1,23),
    ∴S菱形ABFD=AB·DG=4×23=83.
    当四边形AEBD为菱形时,D、E两点关于x轴对称,
    ∴E(1,-23),即DE=43,∴S菱形AEBD=12AB·DE=12×4×43=83.
    练习题解图
    年份
    题号
    题型
    分值
    抛物线变化情况
    设问形式
    解题关键点
    2018
    24



    10
    平移
    (1)求抛物线与坐标轴交点坐标及交点为顶点的三角形面积
    (2)求满足面积等量关系的函数表达式
    (1)抛物线与坐标轴的交点问题,三角形面积计算
    (2)抛物线图象的平移性质
    2023
    24
    10
    关于中心对称
    (1)求与坐标轴交点坐标
    (2)求抛物线表达式
    (3)求不是菱形的平行四边形的面积
    (1)抛物线与坐标轴的交点问题
    (2)抛物线图象关于中心对称性质
    (3)平行四边形的性质:平行四边形的对角线互相平分
    表达式
    变式形式
    变化后的a值
    变化后的顶点坐标
    变化变化后的表达式
    y=a(x-h)2+k(a≠0)
    关于x轴对称
    -a
    (h,-k)
    y=-a(x-h)2-k
    关于y轴对称
    a
    (-h,k)
    y=a(x+h)2+k
    关于原点O
    中心对称
    -a
    (-h,-k)
    y=-a(x+h)2-k
    绕顶点旋转180°
    -a
    (h,k)
    y=-a(x-h)2+k
    方法
    直接公式法
    分割法
    补全法
    图示
    S△ABC= AB‧h
    S△ABC=AB‧h
    S△ABC= ah
    S△ABC=S四边形BDEC-S△ADB-S△AEC
    S△ABC= |xB-xA|‧yC
    S△ABC= |yA-yB|‧|xc-xB|
    S△ABC= |xc-xB|‧|yA-yD|
    S△ABC= (|yE-yC|+|yD-yB|)‧|xE-xD|- |xA-xD|‧|yD-yB|- |xE-xA|‧|yE-yC|

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