2024陕西数学中考备考重难专题：综合与实践面积问题（课后练习）

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典例精讲
例1 (2022陕西逆袭卷)问题提出
(1)如图①，在等腰直角△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，延长AC至点D，使得CD＝AC，连接DB，过点A作AE⊥DB交DB的延长线于点E.若AE＝2，求△ADE的面积；
问题解决
如图②，农民张大爷家有一块菜园，其形状为等腰△ABC，其中AB＝AC，菜园周围是空地，为了方便种菜，他在边AB上选取了一点D，在菜地中修筑了一条小路CD.为了方便蔬菜储存和运输，他计划在菜地外的空地上修建一个临时仓库△BDE.他的设计是：将线段CD绕点D逆时针旋转90°得到线段DE，连接BE，当点D在合适的位置时，临时仓库的面积恰好最大(即△BDE的面积最大)．若已知AB＝50米，BC＝80米，请通过计算，判断张大爷的设想是否成立？若成立，求出临时仓库面积的最大值；若不成立，请说明理由．
例1题图
例2 (2022陕西预测卷)
问题提出
(1)如图①，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D为BC边上的中点，连接AD，则AD的取值范围为______；
问题探究
(2)如图②，在△ABC中，BC＝6，∠BAC＝45°，求△ABC面积的最大值；
问题解决
(3)如图③，某市政中心计划由旧城改造出一块圆形空地⊙O，并设计修建一个户外健身区△ABC，要求点A在劣弧上，已知户外健身区中间有条已修好的小路AD，且AD＝2003米(道路宽度忽略不计)，根据设计要求小路AD两侧的面积相等，要使户外健身区△ABC的面积尽可能的大，且∠ABC＋∠ACB＝60°，试问能否建一个满足要求的面积最大的户外健身区△ABC？若能，请求出△ABC面积的最大值，及此时⊙O的直径；若不能，请说明理由．
例2题图
课后小练
练习1 (2022陕西黑白卷)问题提出
如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B与∠D互补，BC＝2CD＝20，点A到BC的距离为17，求四边形ABCD的面积；
练习1题图
问题解决
(2)如图②，某公园计划在一块空地上修建两大主题活动区域，其中△ABE为健身活动区域，△CDE为文艺活动区域，已知AB＝BC＝60 m，∠B＝60°，AB∥CD.按照设计要求，现要在BC上找一点E，使得AE＝ED，∠AED＝60°，请问是否存在满足设计要求的点E，使得文艺活动区域的面积尽可能大？若存在，求出文艺活动区域的面积及此时点B，E之间的距离；若不存在，请说明理由．
练习2 (2022陕西预测卷)
(1)如图①，在平行四边形ABCD中，AB＋BC＝10，sinA＝45，设AB＝x，平行四边形ABCD的面积为y，求出y与x之间的函数表达式，并计算当x的值为多少时，y的值最大，且y的最大值为多少？
(2)如图②，某商业规划用地的平面示意图为△ABC，规划局拟定在△ABC中规划出一片建筑群，其占地平面示意图为四边形AEDF，其中D为BC上一点，过点D分别作DE∥AC，DF∥AB，且点E、F分别在AB、AC上．经过实地测量后得知：∠BAC＝60°，BC＝6003m，且点D为BC的三等分点(BD＜CD)，现要求建筑群所在的四边形AEDF的面积最大，请你通过论证并计算出建筑群(即四边形AEDF)所占面积最大为多少？
练习2题图
答案
典例精讲
例1 解：(1)如解图①，过点C作CF⊥BD于点F，
解图①
∵AE⊥BD，∴AE∥CF，
∵CD＝AC，
∴C是AD的中点，
∴CF是△ADE的中位线，
∴CF＝eq \f(1,2)AE＝1，EF＝DF.
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE＋∠CBF＝90°.
∵AE⊥EF，∴∠EAB＋∠ABE＝90°，
∴∠EAB＝∠CBF.
∵在△AEB和△BFC中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠AEB＝∠BFC,∠EAB＝∠FBC,AB＝BC))，
∴△AEB≌△BFC，∴BF＝AE＝2，BE＝CF＝1，
∴DF＝EF＝BE＋BF＝3，
∴ED＝EF＋DF＝6，
∴S△ADE＝eq \f(1,2)AE·DE＝6；
(2)张大爷的设想成立．
如解图②，分别过点C，E作BA的垂线，垂足记为M，N，过点A作AG⊥BC于点G，
解图②
∵AB＝AC＝50米，BC＝80米，
∴BG＝CG＝40米，
∴在Rt△ABG中，由勾股定理得AG＝eq \r(AB2－BG2)＝30米．
∵S△ABC＝eq \f(1,2)BC·AG＝eq \f(1,2)AB·CM，
∴CM＝eq \f(BC·AG,AB)＝eq \f(80×30,50)＝48米．
∴在Rt△AMC中，由勾股定理得AM＝eq \r(AC2－CM2)＝14米．
∵∠CDE＝90°，∴∠CDM＋∠NDE＝90°.
∵CM⊥DM，EN⊥DN，
∴∠CMD＝∠DNE＝90°，∠MDC＋∠MCD＝90°，
∴∠EDN＝∠DCM.
∵DE＝DC，∴△EDN≌△DCM(AAS)，
∴EN＝DM，
设BD＝x米，则AD＝AB－BD＝(50－x)米，
∴EN＝DM＝DA＋AM＝50－x＋14＝(64－x)米，
∴S△BDE＝eq \f(1,2)BD·EN＝eq \f(1,2)x(64－x)＝(－eq \f(1,2)(x－32)2＋512)平方米．
∵－eq \f(1,\s\d5(2))＜0，0＜x＜50，
∴当x＝32时，临时仓库的面积最大，最大值为512平方米．
例2 解：(1)1＜AD＜7；
【解法提示】如解图①，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，∵D为BC上的中点，∴BD＝DC，又∵AD＝DE，∠ADC＝∠EDB，∴△ADC≌△EDB(SAS)，∴AC＝BE＝6，在△ABE中，由三边关系得2