2024陕西数学中考备考重难专题：综合与实践线段最值（课后练习）

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典例精讲
例 （2022陕西逆袭卷）问题提出
(1)如图①，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，对角线AC＝6，若将△ABC绕着点A逆时针旋转60°得到△ADE，求BC＋CD的值；
问题探究
(2)如图②，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＋AC＝6，求BC的最小值；
问题解决
(3)为了迎接2022年8月6日～11日在榆林举办的陕西省第十七届运动会，某装饰公司在装修运动场馆时，需要设计一块如图③所示的四边形板材ABCD，要求AD∥BC，AB＋BC＝6米，∠ABC＝60°，点P为四边形ABCD内一点，是否存在点P满足∠APC＝∠BAD，且点P到四边形板材ABCD的三个顶点A，B，C的距离之和(即PA＋PB＋PC)最小？若存在，求出PA＋PB＋PC的最小值；若不存在，请说明理由．
例题图
课堂练兵
练习 (2022陕西预测卷) 问题提出
(1)如图①，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，若延长CD到点E，
使ED＝BC，连接AE，得到△ADE≌△ABC，则AC与AE的位置关系是________，数量关系是________；
问题探究
(2)如图②，已知等边△ABC内接于⊙O，P为eq \(AC,\s\up8(︵))EQ上一点，连接AP，BP，CP.若BP＝4，求AP＋CP的值；
问题解决
(3)有一个直径为80cm的圆形板材⊙O，如图③所示．现需在该板材上裁出一个四边形ABCD的部件，要求对角线AC平分∠BAD，BD＝403cm，CD＝40cm，并使裁出的四边形ABCD部件的周长最大．试问，是否存在符合要求的周长最大的四边形ABCD部件？若存在，请求出四边形ABCD部件周长的最大值；若不存在，请说明理由．
练习题图
课后小练
练习1 (2023陕西预测卷)问题提出
(1)如图①，已知△ABC，在AB上求作一点P，连接CP，使CP平分S△ABC（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)问题探究
如图②，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，求证：ABAC＝BDCD；
(3)问题解决
如图③，某城市想依托原有废旧机车工厂留存的机车铁轨AP改造新的机车主题公园△ABC，点P在BC上，且AP将新的主题公园分为面积相等的两个主题活动区．该项目负责人计划在AB，AC的中点E，F上放置各种年代的机车头作为群众拍照打卡地标，并使得两地标之间距离最大，即EF最大，已知∠BAC＝120°，AP＝100m．请问是否存在符合要求的△ABC？若存在，请求出EF的最大值；若不存在，请说明理由．
练习1题图
练习2 (2022陕西黑白卷)问题提出
(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝6，求Rt△ABC外接圆的半径；
问题解决
(2)如图②，某园林规划局计划在一片空地上开垦出一片区域ABCD，用于种植珍稀树苗，且用栅栏保护．其中四边形ABCD为平行四边形，连接AC，BM平分∠ABC交AC于点M，BM＝40 m，∠ABC＝60°.为了尽可能地减少栅栏地使用，需使四边形ABCD的周长最小，你认为该园林规划局的想法能否实现？若能，请求出四边形ABCD周长的最小值；若不能，请说明理由．
练习2题图
答案
典例精讲
例 解：(1)∵将△ABC绕着点A逆时针旋转60°得到△ADE，
∴DE＝BC，AE＝AC＝6，∠ADE＝∠ABC，∠DAE＝∠BAC，
∵∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝60°，∠BCD＝120°，
∴∠CAE＝∠CAD＋∠DAE＝60°，∠ADC＋∠ABC＝180°，
∴∠ADC＋∠ADE＝180°，
∴E，D，C三点共线．
∴△ACE是等边三角形，
∴CE＝AC＝6，
∴BC＋CD＝DE＋CD＝CE＝6；
(2)如解图①，延长BA到点D，使AD＝AC，连接DC，过点B作BH⊥CD于点H，
∵∠BAC＝120°，∴∠CAD＝60°，
∵AD＝AC，∴△CAD是等边三角形，
∴BD＝AB＋AC＝6，∠BDC＝60°，
∵BH⊥CD，
∴△BDH是直角三角形，
∴在Rt△BDH中，BH＝BD·sin∠BDC＝3eq \r(3)，
∵BC≥BH＝3eq \r(3)，
∴当点H与点C重合时，取等号，
∴BC的最小值是3eq \r(3)；
解图①
(3)存在．
如解图②，将△BCP绕着点B顺时针旋转60°后得到△BEF，连接PF，AE，
则EF＝CP，△BPF为等边三角形，
解图
∴PF＝BP，
∴PA＋PB＋PC＝PA＋PF＋EF≥AE，
∴当A，P，F，E四点共线时，取等号，
∴PA＋PB＋PC的最小值为AE的长．
延长AB到点G，使BG＝BC，连接GE，
由旋转的性质得BE＝BC，∠CBE＝60°，
∴BG＝BE，
∵∠ABC＝60°，
∴∠GBE＝60°，
∴△BEG为等边三角形，
∴∠BGE＝60°，AG＝AB＋BC＝6.
过点A作AH⊥GE于点H，
∴在Rt△AGH中，AH＝AG·sin∠BGE＝3eq \r(3)，
∵AE≥AH＝3eq \r(3)，
∴如解图③，当点H与点E重合时，取等号，
∴AE的最小值＝3eq \r(3)，
∴PA＋PB＋PC的最小值＝AE的最小值＝3eq \r(3).
∵△BPF是等边三角形，
∴∠BPF＝∠BFP＝60°，
∴∠APB＝∠BFE＝120°，
由旋转的性质得∠BPC＝∠BFE，
∴∠APB＝∠BPC＝120°，
∴∠APC＝120°，
∵AD∥BC，∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝120°，
∴∠APC＝∠BAD.
∴存在满足条件的点P，且PA＋PB＋PC的最小值为3eq \r(3)米．
课堂练兵
练习 解：(1)AC⊥AE，AC＝AE；
(2)如解图①，延长PA到点D，使AD＝CP，连接BD，则△ADB≌△CPB，
∴BD＝BP，
∵∠BPD＝∠BCA＝60°，
∴△BPD是等边三角形，
∴DP＝BP＝4，
又∵DP＝AP＋AD＝AP＋CP，
∴AP＋CP＝4；
解图①
(3)存在；
如解图②，延长AB到点E，使BE＝AD，连接CE，则△BEC≌△DAC，
∴CE＝AC，∠ECB＝∠ACD，∴∠ACE＝∠DCB，
又∵∠BAC＝∠BDC，∴△ACE∽△DCB，∴AEDB＝ACDC，
又∵AC平分∠BAD，∴BC＝CD，
∴BC＝CD＝40cm，即AE403＝AC40，∴AE＝3AC，
当AC取最大值时，AE就有最大值．
连接OA，OC，
∵AC≤OA＋OC＝80，∴当点C，O，A共线时，取等号，
∴ACmax＝80cm，∴AEmax＝803cm，
又∵AE＝AB＋BE＝AB＋AD，∴AB＋AD的最大值是803cm，
∴C四边形ABCD(max)＝80(3＋1)cm，
∴存在符合要求的周长最大的四边形ABCD部件，其最大值为80(3＋1)cm.
解图②
课后小练
练习1 解：(1)如解图①所示，点P即为所求；
解图①
(2)如解图②，过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，过点A作AM⊥BC于点M.
∵AD是△ABC的角平分线，∴DE＝DF，
∵S△ABD＝12×AB·DF＝12×BD·AM，S△ACD＝12×AC·DE＝12×CD·AM，
∴S△ABDS△ACD＝12×AB·DF12×AC·DE＝12×BD·AM12×CD·AM，∴ABAC＝BDCD；
解图②
(3)存在．
如解图③，延长AP至点M，使得PM＝AP，连接CM，则△CPM≌△BPA，
∴∠ABP＝∠MCP，∴AB∥CM，
∵∠BAC＝120°，∴∠ACM＝60°，
∴点C在以AM为弦，其所对圆周角为60°的圆弧上运动，圆弧的圆心为点O，
∵点E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝12BC，
∴BC最大时，EF最大，
∵点P为BC的中点，
∴BC＝2CP，即CP最大时，BC最大，
∴PC最大时，EF最大，EF＝12BC＝12×2PC＝PC，
当C，O，P三点共线，即点C位于点C′处时，PC最大，即为PC′，此时△AC′M为等边三角形，
∴PC′＝AP·tan60°＝1003，
∴PC的最大值为1003，
∴EF的最大值为1003 m．
解图③
练习2 解：(1)∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝6，
∴AC＝ eq \r(AB2＋BC2) ＝3 eq \r(5) ，
∴Rt△ABC外接圆的半径为 eq \f(1,2) AC＝ eq \f(3\r(5),2) ；
(2)能实现．
如解图①，过点M作ME⊥AB于点E，MF⊥BC于点F，
练习题解图①
∵∠ABC＝60°，BM平分∠ABC，
∴∠EBM＝∠FBM＝30°，∴△BEM≌△BFM，
∴BE＝BF＝ eq \f(\r(3),2) BM＝20 eq \r(3) ，ME＝MF＝ eq \f(1,2) BM＝20.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴C▱ABCD＝2(AB＋BC)＝2(BE＋AE＋BF＋CF).
∵BE＝BF＝20 eq \r(3) ，
∴要使得四边形ABCD的周长最小，即AE＋CF最小．
∵在四边形EBFM中，∠EBF＝60°，
∴∠EMF＝120°，
∴∠AME＋∠FMC＝60°.
将△AME绕点M逆时针旋转，使得ME与MF重合，得到△A′MF，
由旋转的性质可得，EA＝A′F，∠AME＝∠A′MF，
∴∠A′MF＋∠FMC＝60°.
∵∠AEM＝∠CFM＝90°，
∴∠A′FM＋∠CFM＝180°.
∴A′，F，C三点共线，
∴AE＋CF＝A′F＋CF＝A′C，
∴AE＋CF的最小值即为A′C的最小值．
在△MA′C中，∠A′MC＝60°，MF＝20.
如解图②，作△MA′C的外接圆⊙G，连接GM，GA′，GC，过点G作GH⊥A′C于点H，
解图②
∴∠A′GC＝2∠A′MC＝120°.
∵A′G＝CG，
∴∠GA′C＝∠GCA′＝30°，
∴GH＝ eq \f(1,2) A′G＝ eq \f(1,2) GM，A′C＝2× eq \f(\r(3),2) A′G＝ eq \r(3) GM.
∵GM＋GH≥MF，∴GM＋ eq \f(1,2) GM≥MF，
即 eq \f(3,2) GM≥20，∴GM≥ eq \f(40,3) ，
∴A′C＝ eq \r(3) GM≥ eq \f(40\r(3),3) ，
∴A′C的最小值为 eq \f(40\r(3),3) ，
∴C▱ABCD＝2(BE＋AE＋BF＋CF)≥2×(20 eq \r(3) ＋20 eq \r(3) ＋ eq \f(40\r(3),3) )＝ eq \f(320\r(3),3) m．
即四边形ABCD周长的最小值为 eq \f(320\r(3),3) m．
年份
题号
题型
分值
最值的方法
设问
解题关键点
2023
25
解
答
题
12
“将军饮马”
(1)求三角形外接圆半径
(2)求线段最大值（点圆最值）
(3)求三条线段和的最小值（“一定两动”）
(1)三角形外接圆的性质：圆心到三个顶点的距离相等，等腰三角形三线合一
(2)P、O、M三点共线，且位于圆心异侧时，PM取最大值（点圆最值）
(3)根据“将军饮马”作对称转化到一条线段上，再利用三点共线线段最短
2022
25
12
点圆最值
(1)已知三角形与内心，求线段长（外接圆半径）
(2)求矩形对边上点的连线长
(3)求最大射程（点圆最值）
(1)等边三角形内心和外心重合
(2)矩形边上任意一点与其中心（对角线的交点）的连线平分该矩形的面积
(3)垂直且平分弦（非直径）的弦为直径，运用勾股定理求半径确定圆心位置，点圆最值（三点共线，且位于圆心异侧时最大）
2021
25（1）（2）
12
“两定两动”作对称
(1)画已知三角形关于一边的对称三角形
(2)作四边形周长最小值时点的位置及最小值（“两定两动”）
(1)对应点的连线被对称轴垂直平分
(2)利用对称性，作两动点的对称点，连接两对称点，此时周长最短
2020
25(2)
12
垂线段最短
(2)求三角形周长的最小值
(2)作对称点，转化为线段长