第06讲 一次函数与反比例函数 试卷（含答案解析）-2023年全国重点高中自主招生大揭秘

这是一份第06讲 一次函数与反比例函数 试卷（含答案解析）-2023年全国重点高中自主招生大揭秘，共44页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2023春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）如图所示的是反比例函数和一次函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．反比例函数的解析式是B．一次函数的解析式为
C．当时，最大值为1D．若，则
2．（2023春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）如图，点，分别在轴正半轴、轴正半轴上，以为边构造正方形，点，恰好都落在反比例函数的图象上，点在延长线上，，，交轴于点，边交反比例函数的图象于点，记的面积为，若，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·广东·九年级统考竞赛）2021年新冠肺炎疫情防控形势依然严峻，严格按照防疫要求进行个人防护和环境消杀是防控的重点．已知某种环境消杀使用的消毒液中含有有效成分，每将个单位的溶解在一定量水中，则消毒液的浓度（克/升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中当时，，当时，．若多次溶解，则某一时刻水中的浓度为每次溶解的在相应时刻溶解的浓度之和．根据科学实验，当消毒液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效消毒．则下列结论不正确的是（ ）
A．一次投放4个单位的，在2分钟时，消毒液的浓度为克/升
B．一次投放4个单位的，有效消毒时间可达8分钟
C．若第一次投放2个单位的，6分钟后再投放2个单位的，第8分钟消毒液的浓度为5克/升
D．若第一次投放2个单位的，6分钟后再投放2个单位的，接下来的4分钟能够持续有效消毒
4．（2021·全国·九年级竞赛）已知，并且，则函数图像一定经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第二、三象限C．第二、三、四象限D．第一、四象限
5．（2017春·江苏镇江·九年级竞赛）如图，直线y=kx+b交坐标轴于A（﹣2，0），B（0，3）两点，则不等式kx+b＞0的解集是
A．x＞3B．﹣2＜x＜3C．x＜﹣2D．x＞﹣2
6．（2017秋·江苏镇江·九年级竞赛）已知abc0，而且，那么直线y=px+p一定通过（ ）．
A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限
7．（2021·全国·九年级竞赛）设0＜k＜1，关于x的一次函数y=kx+（1﹣x），当1≤x≤2时，y的最大值是（ ）．
A．kB．2k-C．D．k+
8．（2021·全国·九年级竞赛）反比例函数与一次函数y＝k（x+1）（其中x为自变量，k为常数）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
9．（2021·全国·九年级竞赛）如图，正比例函数y＝kx（k＞0），与反比例函数的图象相交于A，C两点，过A作AB⊥x轴于B，连接BC，若△ABC的面积为S，则（ ）
A．S＝1B．S＝2C．S＝kD．S＝k2
二、填空题
10．（2023春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）在直角坐标系xOy中，直线交x轴、y轴于点E，F，点B的坐标是，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A，C．点D是线段上的动点，以为对称轴，作与成轴对称的．当直线l经过点A时（如图），求点D由C到O的运动过程中，线段扫过的图形与重叠部分的面积________．
11．（2023·四川成都·统考二模）如图，在中，，射线AB分别交y轴于点D，交双曲线于点B，C，连接，当平分时，与满足，若的面积为4，则___________．
12．（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，在矩形中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点在第一象限内，反比例函数（）的图像分别与，，交于，，三点，与交于点，连接，，若，，则的值为______．
13．（2023·山东济宁·济宁学院附属中学校考二模）如图，四边形为矩形，点A在第二象限，点A关于的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，轴于点E．若的延长线交x轴于点F，当矩形的面积为10时，的值为______．
14．（2023春·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考阶段练习）如图，点在的图象上，点在的图象上（在左边），直线经过原点，直线交轴于点，直线交轴于点．则__________；若，，则__________．
三、解答题
15．（2023春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）一辆轿车和一辆货车同时从甲地出发驶往乙地，轿车到达乙地后立即以另一速度原路返回甲地，货车到达乙地后停止．如图所示的图象分别表示货车、轿车离甲地距离与轿车行驶时间的关系．
(1)求轿车在返回甲地过程中的速度；
(2)当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，求相遇处离甲地的距离．
16．（2017春·江苏镇江·九年级竞赛）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2）．过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．
(1)求直线DE的解析式和点M的坐标；
(2)若反比例函数（x＞0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；
(3)若反比例函数（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围．
17．（2018春·四川自贡·八年级竞赛）如图，已知直线，直线；直线 分别交轴于两点， 相交于点.
⑴求 三点的坐标；
⑵求⊿的面积.
18．（2017秋·浙江杭州·八年级竞赛）杭州市成功申办2022年亚运会，这将推动杭州市体育事业发展，为了促进全民健身活动的发展，某社区为辖区内学校购买一批篮球和足球，已知篮球和足球的单价分别为120元和90元.
（1）根据实际需要，社区决定购买篮球和足球共100个，其中篮球购买的数量不少于40个，社区可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10260元，请问有几种购买方案；
（2）若购买篮球个，学校购买这批篮球和足球的总费用为元，在（1）的条件下，求哪种方案能使最小，并求出的最小值.
19．（2023·浙江绍兴·统考一模）如图1.在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点在轴上，点，点在第一象限，，，.
(1)求点的坐标.
(2)直线与轴，轴的正半轴分别交于点，，点，关于直线的对称点分别为，.
①如图2，若点和点在直线上，求点到轴的距离.
②若点，点到轴的距离都为1，请直接写出点的纵坐标.
20．（2023·天津西青·统考一模）在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，．
(1)如图1，当经过点时，求点的坐标；
(2)设，与矩形重叠部分的面积为；
①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；
②请直接写出满足的所有的值．
21．（2023春·江苏淮安·八年级校考期中）如图，已知直线：交轴于点，交轴于点，直线交轴于点（，），请解答下列问题：
(1)点的坐标为，点的坐标为_______；
(2)如图1，作射线轴，交直线于点，请说明：平分；
(3)点为直线上的一个动点，连接，若，求点的坐标；
(4)过作直线垂直于轴，若是直线上的一个动点，在坐标平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（2023·四川成都·统考二模）如图，直线与双曲线相交于A，B两点，点A坐标为．点P是x轴负半轴上的一点．
(1)分别求出直线和双曲线的表达式；
(2)连接，，，，若，求点P的坐标；
(3)我们把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做“美丽四边形”．在（2）的条件下，平面内是否存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是美丽四边形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（2023秋·湖南岳阳·九年级统考期末）如图，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为，D是边上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数的图象经过点D且与边交于点E，连接．
(1)如图1，若点D是的中点，求E点的坐标；
(2)如图2，若直线与x轴、y轴分别交于点M，N，连接，
①求证：；
②求的值；
(3)如图3，将沿折叠，点B关于的对称点为点，
①当点落在矩形内部时，求k的取值范围；
②连接，直接写出的最小值．
24．（2023春·四川成都·九年级成都嘉祥外国语学校校考开学考试）已知点、均在反比例函数的图象上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图1，点P是反比例函数图象上一点，轴于点A，点B是y轴上一点，交射线于点D，点M为线段上一点，连接，点C为的中点，点N为射线上一点，当四边形为菱形且面积为时，求点P的坐标；
(3)如图2，点Q为反比例函数图象上一动点，过Q作轴于点E，连接并延长，交反比例函数图象于点H，过E作，交反比例函数图象于点F，连接，试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
参考答案：
1．D
【分析】结合图象，求出两个函数的解析式，再逐一进行判断即可。
【详解】解：A、由图象可知，两个函数图象相交于两个点，其中一个点坐标为，
把代入得，，
，选项错误，不符合题意；
B、当时，，
另一个交点坐标为：，
直线解析式为：，分别代入，，得：
，
解得，
，选项错误，不符合题意；
C、由图象可知，当时，随的增大而减小，当时，，选项错误，不符合题意；
D、由图象可知， ，直线在双曲线的下方，，选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点、反比例函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式．解题的关键是待定系数法求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解．
2．B
【分析】如图，过点作轴，过点作轴，设，，证明，并得到，，根据反比例函数的性质得，即，继而得到是等腰直角三角形，已知的面积为，可得，又因为在反比例函数的图象上，可得，即可求出，，再求出直线的表达式，利用方程组确定点的坐标，求出和，即可得出的面积．
【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴，设，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，，
∵在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
又∵，在反比例函数的图象上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵在反比例函数的图象上，即，
∴，，
∴，，反比例函数的表达式为，
设：直线的表达式为，
∴，解得：，
∴直线的表达式为，
∵，解得：或，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上的点的特征，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，求一次函数的解析式等，利用设出的，表示出相关点的坐标是解答本题的关键．
3．C
【分析】根据题意，对于题意根据当时，，当时，，当时，，当时，，根据题意求得时的函数值，即可判断A，令根据上述函数关系式，求得的取值范围，进而判断B选项，根据当时，求得函数关系式，求得当时的函数值即可判断C选项，根据C选项的解析式求得的最小值即可判断D选项．
【详解】对于A，由题意可得，当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，故A正确，
对于B，当时，，解得，
故，
当时，，解得，
故，
综上所述，，
若一次投放4个单位的，消毒时间可达8分钟，故B正确，
对于C，当时，
，当时，，
故C错误，
对于D，∵，
∴，当且仅当，即时取等号，
∴有最小值，
∴接下来的4分钟能够持续消毒，故D正确．
故选C
【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的应用，类比反比例函数求解是解题的关键．
4．B
【分析】当时，将的每一部分都加上1，可得，要使等式成立，分子相等，分母也要相等．则，可求出p得值，当时，可得 再根据一次函数的图像的性质即可作答．
【详解】解∵，
∴
∴，
①当a+b+c不等于0时，，
∴3=p+1解得：
则，
直线经过一、二、三象限（如图）．
②当a+b+c=0时，p+1=0，解得p=-1，
则y=-x-1，
直线y=-x-1经过二、三、四象限（如图），
综上：的图像一定经过二、三象限；
故选B．
【点睛】本题主要考查了等式的性质以及一次函数的图像和性质，熟练地掌握等式的性质以及一次函数的图像和性质是解题的关键．一次函数y=kx+b(k≠0)，当k>0时，图像经过一三象限，当k0时，图像与有y轴交于正半轴，当b0，即k＞1，由一次函数的图象可知0＜k＜1，两结论矛盾，故本选项错误；
C、由反比例函数的图象可知k-1＜0，即k＜1，由一次函数的图象可知k＞0，当x=-1时，y=0，故0＜k＜1，两结论一致，故本选项正确确；
D、由反比例函数的图象可知，k＜0，由一次函数的图象可知k＜0，由一次函数在y轴上的截距可知k＞0，两结论矛盾，故本选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与一次函数的图象，熟知以上知识是解答此题的关键．
9．A
【分析】根据正比例函数y=kx（k＞0）与反比例函数的图象均关于原点对称，可求出A、C两点坐标的关系，设出两点坐标再根据三角形的面积公式即可解答．
【详解】解：∵正比例函数y=kx（k＞0）与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴设A点坐标为（x， ），则C点坐标为（-x，-），
∴S△AOB=OB•AB==，
S△BOC=OB•|-|==，
∴S△ABC=S△AOB+S△BOC=+=1
故选A．
【点睛】本题考查的是反比例函数与正比例函数图象的特点，解答此题的关键是找出A、C两点坐标的关系，设出两点坐标即可．
10．
【分析】先求出直线，再确定C点的运动轨迹是以点B为圆心，为半径的圆，可知所求面积为弓形，利用扇形和等边三角形的面积公式即可求解．
【详解】
∵点B的坐标是，
∴，
∵直线经过点A，
∴，
∴直线，
∵，点D由C到O的运动过程中，线段扫过的图形是扇形，
∴当点D与重合时，点与重合，且线段扫过的图形与重叠部分是弓形，
∴当点在直线上时，，
∴是等边三角形，
∴，
∴重叠部分的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质，能够根据题意确定C点的运动轨迹是以点B为圆心，为半径的圆是解题的关键．
11．/
【分析】由等腰三角形的性质结合三角形外角的性质可得出．再根据角平分线的定义即得出，即易证，得出，设，则，从而可求出，，，．过点B作轴于点E，作轴于点G，过点C作轴于点F，作轴于点H，易证，即得出，从而得出．设，则，，，从而可求出，，进而可求出，即可求出，最后由三角形面积公式，代入数据，即可求出k的值．
【详解】解：∵，
∴．
∵，，
∴．
∵平分，
∴，
∴，即．
又∵，
∴，
∴，
∴．
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴．
如图，过点B作轴于点E，作轴于点G，过点C作轴于点F，作轴于点H，
∴，
∴
∴，
∴，即．
设，则，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题为反比例函数综合题，考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形相似的判定和性质等知识．正确的作出辅助线是解题关键．
12．4
【分析】先根据，得到点E，F的横纵坐标的关系，设出未知数，然后根据相似得到D点的横纵坐标的关系，最后列出进行解方程，即可得到的值．
【详解】连接，过作于，过作于，
连接交于，过作于，
∵在矩形中，
∴
∵
∴
∴
∵反比例函数（）的图像分别与，，交于，，三点，
∴设，
∴
∴，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴设，
∴
∴
将代入
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴，那么两点重合，
∵
∴
解得
∴
【点睛】此题考查反比例函数的几何意义，解题关键是通过相似求出各个点横纵坐标之间的数量关系，设出未知数，然后将坐标转化为三角形的边长，将已知三角形的面积用未知数表示出来，进而转化出的值．
13．
【分析】连接，作轴，设点，，根据矩形的面积得出三角形的面积，将三角形的面积转化为梯形的面积，从而得出a，b的等式，解方程得出a，b的关系，然后证明，利用相似三角形的性质求出，进一步可求得结果．
【详解】作轴于G，连接，设和交于I，
设点，，
由对称性可得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
解得（负值舍去），
∴，即，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
14．
【分析】作轴交轴于，轴交轴于，轴交轴于，轴交轴于，再设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，从而可以表示出，，，，，再根据三角形相似的判定定理得出，，，可分别表示出、、，再由直线经过原点，可以表示出及的值，最后代入即可得到答案．
【详解】解：如图所示，作轴交轴于，轴交轴于，轴交轴于，轴交轴于，
设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
则，，，，，
轴交轴于，
轴，
，
，
，
轴交轴于，
，
，
，
轴交轴于， 轴交轴于，
，
，
轴交轴于，轴交轴于，
，
，
，
直线经过原点，
，即，
，，
由图象可知，，，
，，
，，
故答案为：；．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何，相似三角形的判定与性质，正比例函数的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，正比例函数的性质，添加适当的辅助线是解题的关键．
15．(1)80 km/h
(2)km/h
【分析】（1）用两地间距离除以轿车在返回甲地过程中所用的时间，即可求解；
（2）分别求出货车离甲地距离与行驶时间的函数关系式，轿车从乙地返回甲地的函数关系式，再求出它们的交点，即可求解．
【详解】（1）解∶根据题意得∶ 轿车在返回甲地过程中的速度为km/h；
（2）解：设货车离甲地距离与行驶时间的函数关系式为，
把点（3，120）代入得：
，解得：，
∴货车离甲地距离与行驶时间的函数关系式为，
设轿车从乙地返回甲地，离甲地距离与行驶时间的函数关系式为，
把点（2，120），（3.5，0）代入得：
，解得：，
∴轿车从乙地返回甲地的函数解析式为，
联立得：，解得：，
∴当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇处离甲地的距离为km/h．
【点睛】本题主要考查了函数图象的动点问题，一次函数的应用，明确题意，准确从函数图象获取信息是解题的关键．
16．(1)，M（2，2）
(2)，在
(3)4≤ m ≤8
【分析】（1）用待定系数法可以确定直线DE的解析式，把M点的纵坐标代入一次函数解析式可求出横坐标．
（2）根据M点的坐标，可求出m的值，因为知道N的横坐标，所以根据DE的解析式可求出纵坐标，代入反比例函数式可看看结果如何．
（3）求出反比例函数的图象过B点的k值，即可求出答案．
【详解】（1）设直线DE的解析式为，
∵点D ，E的坐标为（0，3）、（6，0），
∴
解得
∴．
∵点M在AB边上，B（4，2），而四边形OABC是矩形，
∴点M的纵坐标为2．
又∵点M在直线上，
∴2 = ．∴ x = 2．∴M（2，2）．
（2）∵（x＞0）经过点M（2，2），
∴，
∴．
又∵点N在BC边上，B（4，2），
∴点N的横坐标为4．
∵点N在直线上，
∴．∴N（4，1）．
∵当时，y == 1，
∴点N在函数 的图象上．
（3）把B（4，2）代入得：k=8，
∵反比例函数过M、N点，
∴若反比例函数（x＞0）的图象与△MNB有公共点，k的取值范围是4≤k≤8．
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次和反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，矩形的性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．
17．A（2，5），B（﹣0.5，0），C（7，0）；（2）
【详解】试题分析：（1）联立两直线解析式，解方程即可得到点A的坐标，两直线的解析式令y=0，求出x的值，即可得到点A、B的坐标；
（2）根据三点的坐标求出BC的长度以及点A到BC的距离，然后根据三角形的面积公式计算即可求解．
试题解析：解：（1）直线l1：y=2x+1、直线l2：y=﹣x+7联立得：，解得，∴交点为A（2，5），令y=0，则2x+1=0，﹣x+7=0，解得：x=﹣0.5，x=7，∴点B、C的坐标分别是：B（﹣0.5，0），C（7，0）；
（2）BC=7﹣（﹣0.5）=7.5，∴S△ABC=×7.5×5=．
点睛：本题考查了两直线的相交问题，联立两直线的解析式，解方程即可得到交点的坐标，求直线与x轴的交点坐标，令y=0即可，求直线与y轴的交点坐标，令x=0求解．
18．（1）三种；（2）最小值为10200
【详解】试题分析：（1）设购买篮球x个，足球（100-x）个，根据“篮球购买的数量不少于40个，社区可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10260元”，列出不等式组，求出x的取值范围，由x为正整数，即可解答；
（2）表示出总费用y，利用一次函数的性质，即可确定x的取值，即可确定最小值．
试题解析：（1）设篮球购买x个，则足球购买（100-x）个，由题意得
，
解得：40≤x≤42，
∵x为正整数，
∴x取40，41，42；
（2）y=120x+90（100-x）=30x+9000．
当x=40时，y最小值为10200．
19．(1)点；
(2)①；②的纵坐标分别是5，7，，
【分析】(1)求得，计算即可．
（2）①如图，连接，，过点作轴，交的延长线于点，交轴于点，证明计算求解即可．
②分类求解即可．
【详解】（1）∵矩形，，，
∴，.
∵，
∴，
∴点．
（2）①如图，连接，，过点作轴，交的延长线于点，交轴于点，
易得，
∴
设，则，，.
∴，
解得：，
∴．
②∵点，点到轴的距离都为1，
∴点，点在直线或上，
当点，点在直线上时，，
∴，
设，则，
则的中点，的中点，
设的解析式为，
∴，
解得，
∴的解析式为，
设直线与的交点为R，
根据折叠的性质，得，
∵
∴四边形是平行四边形，
∴，
当时，，
解得，
∴，
解得，
∴， ，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴的解析式为，
当时，，
故Q的纵坐标为7；
当点，点在直线上时，，
∴，
设，则，
则的中点，的中点，
∴在线段上，
根据折叠的性质，得，
∵
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
解得，
∴， ，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴的解析式为，
当时，，
故Q的纵坐标为5；
∴的纵坐标分别是5，7，，
．
【点睛】后两种情况还没有得到解法．
20．(1)
(2)①②或5
【分析】（1）先求出直线的解析式，利用平移后过点，求出的解析式，进而求出的坐标，得到平移距离，即可求解；
（2）①用进行求解即可，当与点重合，再移动直至直线过点之前时，重叠部分为五边形，求出的范围即可；②分，，，，，五种情况分类讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，，
∴，，
矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，
∴，
设直线的解析式为：，
则：，
∴，
∴，
设平移后的解析式为：，
∵直线过点，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴沿轴向右平移了个单位，
∴；
（2）解：①由题意，得：，，，，
∴，，，
∴
；
如图，当与点重合，再移动直至直线过点之前时，重叠部分为五边形，
∴当与点重合时，，
∵直线的解析式为：，当直线过点时，
∴，
∴，
∴，
当时，，此时，
∴，
∴时，重叠部分为五边形；
②当时，此时重叠部分为等腰直角三角形，如图所示：
∴，
当时，，解得：，
∵，此种情况不存在；
当时，重叠部分为直角梯形，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，，解得：；
当时，如图：
此时：，
∴；
当时：由①知：，
当时，，解得：或3（不符合题意，舍去）；
当时，重叠部分为矩形，如图：
，
∴，
当时，，解得：（不合题意，舍掉）；
综上，或5．
【点睛】本题考查坐标与平移，一次函数的综合应用，等腰三角形性质，矩形的性质．属于中考压轴题，确定动点的位置，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
21．(1)，；，；
(2)见解析；
(3)或；
(4)或或或．
【分析】（1）解方程可求得交点坐标；
（2）证明即可；
（3）利用等高三角形的面积比等于底的比进行计算即可；
（4）分为边和为对角线进行讨论计算即可．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
解得，
∴，，，，
故应填，，，；
（2）证明：设的解析式为，
把，代入得∶，
解得
∴直线为，
当时，，
∴，，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴即平分；
（3）解：设，连接如下图∶
由题意得∶与同高
∴，即，
解得∶，
∴或；
（4）解：存在；
若为矩形的一边，
∵直线的解析式为，
∴设，，，，
当以为对角线时，如下图∶
∵四边形时是矩形，
∴，与互相平分，
∴，
∵，，，，，，，，
∴，，，
解得，，
∴，
∴，
当以为对角线时，同理可得，，
若为对角线时，设，，，，
∵，，，，
∴的中点坐标为，，，，
∴，，
则，
解得∶，
∴或
∴或；
综上所述∶或或或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图像及性质，矩形的性质，熟练掌握一次函数的图像及性质以及矩形的性质是解题的关键．
22．(1)，
(2)
(3)平面内存在点、、，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是美丽四边形
【分析】（1）把分别代入两个解析式计算即可；
（2）设，表示出和的面积，再根据列方程计算即可；
（3）先证明是直角三角形，只需要说明以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形即可，再利用平移计算即可．
【详解】（1）把代入得：，解得，
∴直线解析式为
把代入双曲线得：，解得，
∴双曲线解析式为；
（2）设，直线与x轴交点，则，
联立，解得或
∴，
过作轴于，过作轴于，则，
∴
∵，
∴，
解得
∴
（3）由（2）可得，，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴根据“美丽四边形”定义得，当以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，平面内存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是美丽四边形，
∵，，
∴当线段平移到时，向右平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度得到，
∴向右平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度得到，
同理，当线段平移到时，；
当线段平移到时，，
综上，平面内存在点、、，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是美丽四边形．
【点睛】此题属于反比例函数与一次函数综合题，涉及的知识有：勾股定理，坐标与图形性质，待定系数法求函数解析式，面积问题，平行四边形存在性问题，三角函数的性质，利用了分类讨论的思想，理解新定义是解本题第三问的关键．
23．(1)
(2)①见解析，②52
(3)①，②
【分析】（1）由题意可知点D为，代入，可知，再代入点E的横坐标为4，求得纵坐标即可；
（2）①根据题意设，，，可得，，进而得，，可证，进而证得，即可证；
②如图，过点D作轴于点，易证，可得，过点E作轴于点G，同理可证：，可得，即进而可得；
（3）①如图，当点恰好落在边上时，作，垂足为，易证，利用相似三角形的性质可得，，，，由勾股定理得，，可求得此时的值，由点落在矩形内部，D是边上的一个动点（不与C、B重合），可得的取值范围为；
②如图，连接，，由（2）可知，，由折叠知，，可知点在过点B且垂直于的射线上，设与交于点P，当点与点P重合时，取最小值，再证，利用其性质可得．
【详解】（1）解：∵点B为，点D是CB的中点，
∴点D为，
又∵点D在上，则，
∵点E在上，
∴点E的横坐标为4，代入得，
∴点E的坐标为；
（2）①∵点D，点E都在的图象上，设，，
则，，
∴，
∵， ，
又， ，
，
．
②如图，过点D作轴于点，则，，
∵，
∴，
可证，
∴，
过点E作轴于点G，
同理可证：，
∴，
∴；
（3）①如图，当点恰好落在边上时，作，垂足为，
∴，则，
∴
∴，
，
∵，∴，
，
，
在中，，，，
由勾股定理得，，
，
解得，（舍去），，
∵点落在矩形内部，D是边上的一个动点（不与C、B重合）
∴的取值范围为；
② 的最小值为，
理由如下：
如图，连接，，
由（2）可知，，
由折叠知，，
点在过点B且垂直于的射线上，
设与交于点P，
当点与点P重合时，取最小值，
在中，根据勾股定理得，，
∵，
∴
，
∴
，
，
∴．
【点睛】本题属于反比例函数与几何综合，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，翻折的性质，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解决问题的关键．
24．(1)
(2)
(3)是定值，
【分析】（1）把、代入解析式解题即可；
（2）连接，则有，根据，令，则解题即可；
（3）过点F作轴于点G，与x轴交于点T，设点，点F坐标为，则，根据可以得到，根据解题即可．
【详解】（1）解：∵、均在反比例函数的图象上，
∴，
解得，，
∴反比例函数表达式为；
（2）如图，连接，
∵为菱形，
∴，
∵，点C为的中点，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
令，
∵，
∴，
又∵，
∴(舍)，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
又∵点P是反比例函数图象上一点，
∴点P的坐标为．
（3）过点F作轴于点G，与x轴交于点T，
设点，点F坐标为，
则，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵,
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∵a，b异号，，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，为定值．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查反比例函数的图像上点的特点，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．