第07讲 二次函数 试卷（含答案详解）-2023年全国重点高中自主招生大揭秘

这是一份第07讲 二次函数 试卷（含答案详解）-2023年全国重点高中自主招生大揭秘，共27页。试卷主要包含了单选题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（2022·广东·九年级统考竞赛）如图，在四边形中，，，，，．动点M，N同时从点A出发，点M以的速度沿向终点B运动，点N以的速度沿折线向终点C运动．设点N的运动时间为，的面积为，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021·全国·九年级竞赛）一条抛物线的顶点为，且与轴的两个交点的横坐标为一正一负，则，，中为正数的（ ）
A．只有B．只有C．只有D．只有和
3．（2021·全国·九年级竞赛）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列代数式：ab，ac，a+b+c，a-b+c, 2a+b，2a-b中，其值为正的代数式的个数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．4个以上
4．（2021·全国·九年级竞赛）在平面直角坐标系中，作抛物线关于轴对称的抛物线，再将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线的函数解析式是，则抛物线所对应的的函数解析式是( )
A．B．
C．D．
5．（2021·全国·九年级竞赛）已知，，则（ ）．
A．4B．0C．2D．
6．（2021·全国·九年级竞赛）在平面直角坐标系中，如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，将二次函数的图象与轴所围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的整点的个数是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）二次函数的图象与x轴的两个交点为，，且，点是图象上一点，那么下列判断正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
8．（2017秋·江苏镇江·九年级竞赛）函数图像的大致位置如图所示，则ab，bc，2a+b，，，b2-a2 等代数式的值中，正数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
9．（2022·福建·九年级统考竞赛）已知二次函数的图象交x轴于A(x1，0)，B(x2，0)两点，交y轴于点C(0，3)，若，且△ABC的面积为3，则a+b（ ）
A．3B．-5C．-3D．5
二、解答题
10．（2022·福建·九年级统考竞赛）已知开口向上的抛物线与直线：yaxc，ycxa中的每一条都至多有一个公共点．
(1)求的最大值；
(2)当取最大值时，设直线交抛物线于A，B两点，C为抛物线的顶点，若△ABC内切圆的半径为1，求a的值．
11．（2023春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）已知拋物线．
(1)若此拋物线与轴只有一个公共点且过点．
①求此抛物线的解析式；
②直线与该抛物线交于点和点．若，求的取值范围．
(2)若，将此抛物线向上平移个单位得到新抛物线，当时，；当时，．试比较与1的大小，并说明理由．
12．（2022春·湖南长沙·八年级校联考竞赛）如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，在x轴上有一动点（），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
(1)求a的值和直线AB的函数表达式：
(2)设△PMN的周长为，△AEN的周长为，若求m的值．
(3)如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到，旋转角为（），连接、，求的最小值．
13．（2022·广东·九年级统考竞赛）定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则这两个函数互为“N”函数．
（1）写出的“N”函数的表达式；
（2）若题（1）中的两个“N”函数与正比例函数的图像只有两个交点，求k的值；
（3）如图，二次函数y1与y2互为“N”函数，A、B分别是“N”函数y1与y2图象的顶点，C是“N”函数与y轴正半轴的交点，连接、、，若点且为直角三角形，求点C的坐标．
14．（2021·全国·九年级竞赛）某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告. 根据经验，每年投入的广告费是x（10万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果把利润看做是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（10万元）与广告费x（10万元）的函数关系式；
（3）如果投入的年广告费为10~30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？
15．（2017秋·浙江杭州·八年级竞赛）如图1，在△OMN中，∠MON=90°，OM=6cm，∠OMN=30°.等边△ABC的顶点B与点O重合，BC在OM上，点A恰好在MN上.
（1）求等边△ABC的边长；
（2）如图2,将等边△ABC沿OM方向以1cm/s的速度平移,边AB、AC分别与MN交于点E、F,在△ABC平移的同时,点P从△ABC的顶点B出发,以2cm/s的速度沿折线B→A→C运动,当点P达到点C时,点P停止运动,△ABC也随之停止平移．设△ABC平移时间为t（s）
①用含t的代数式表示AE的长,并写出t的取值范围；
②在点P沿折线B→A→C运动的过程中,是否在某一时刻,点P、E、F组成的三角形为等腰三角形?若存在,求出此时t值；若不存在,请说明理由．
16．（2023·黑龙江哈尔滨·校考二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于点A，B，点A的横坐标为1，且为抛物线的顶点，点B的横坐标为3．
(1)求b的值；
(2)如图2，作轴，交抛物线于另一点D，交y轴于点E，若线段与x轴交于点C（点C不与点A，B重合），连接交y轴于点F，设的面积为d，求d关于c的函数关系式，并直接写出自变量c的取值范围；
(3)如图3，在（2）的条件下，在延长线上取点Q，连接并延长，交x轴于点P，连接，若，的面积为，求c与n的值．
三、填空题
17．（2023春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）已知二次函数、、为常数的图象如图所示，下列个结论．
；；；为常数，且．
其中正确的结论有___________（填写序号）．
18．（2022·广东·九年级统考竞赛）如图，一个长为5，宽为3的矩形被平行于边的两条直线所割，其中矩形的左上角是一个边长为的正方形，则阴影部分面积的最小值为________．
19．（2021·全国·九年级竞赛）设二次函数的图象顶点为，与轴交点为、，当为等边三角形时，的值为________．
20．（2021·全国·九年级竞赛）已知直线y=b（b为实数）与函数 y= 的图像至少有三个公共点，则实数b的取值范围_____________.
x（10万元）
0
1
2
…
y
1
1.5
1.8
…
参考答案：
1．B
【分析】先求出AB=cm，可知M由A到B需3秒,N由A到D需2秒,到C需3.5秒.分三种情况讨论:(1)当N在AD上时,即0＜t≤2,画出图形求解; (2) 当N在CD上且M没到达B时,即2＜t＜3, 画出图形求解; (3)当N在CD上且M与B重合时,即3≤t≤3.5, 画出图形求解.即可选出正确答案.
【详解】解: ∠A=45°，CD=3cm，
AB==cm,
∴M由A到B需3秒,N由A到D需2秒,到C需3.5秒,
下面分三种情况讨论:
(1)当N在AD上时,即0＜t≤2,如图1,
作ME⊥AD于E,
可知AN=2t,AM=,
∴EM=t,
∴
故此段图像是一条开口向上的抛物线;
(2) 当N在CD上且M没到达B时,即2＜t＜3,如图2,
作MF⊥CD于F,延长AB与DC的延长线交于O,
可知DN=2t-4,AM=,OD=4,OA= ,
∴ON=4-DN=8-2t,OM=,
∴MF=4- t,
∴,
,
,
∴,
故此段图像是一条开口向下的抛物线;
(3)当N在CD上且M与B重合时,即3≤t≤3.5,如图3,
可知BC=1,DN=2t-4,
∴CN=3-DN=7-2t ,
∴,
,
,
∴,
故此段图像是一条呈下降趋势的线段;
综上所述,答案是B.
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S与t的函数关系式．
2．A
【分析】根据b2−4ac与零的关系即可判断出二次函数的图象与x轴交点的个数；另外，与x轴的两个交点x1、x2，且x1·x2＝＜0，由这些已知条件，即可做出判断．
【详解】解：由题意，得
由③得： ⑤
由①、⑤得，＞0，即＞0
∴ ⑥
由②、⑥得，
由④、⑥得，
∴
故选：A
【点睛】在解关于二次函数与一元二次方程时，充分利用顶点坐标，和根的判别式来解答，这样会降低题的难度，提高做题效率．
3．A
【分析】根据抛物线的开口向下可判断a的符号，根据抛物线对称轴的位置可判断ab的符号，根据抛物线与y轴的交点可判断c的符号，进而可判断ac的符号；
由于x=1时，y=a+b+c，x=－1时，y=a－b+c，结合图象即可判断a+b+c与a－b+c的符号；
由对称轴为直线并结合a的符号可判断2a+b的符号，由a、b的符号即可判断2a－b的符号，从而可得答案.
【详解】解：∵图象的开口向下，∴a