第11讲 圆 试卷（含答案详解）-2023年全国重点高中自主招生大揭秘

这是一份第11讲 圆 试卷（含答案详解）-2023年全国重点高中自主招生大揭秘，共25页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2022·福建·九年级统考竞赛）如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为______．
2．（2022·广东·九年级统考竞赛）古希腊数学家希波克拉底曾研究过如图所示的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为的斜边，直角边，．若以，为直径的两个半圆的弧长总长度为，则以斜边为直径的半圆面积的最小值为________．
3．（2018·全国·九年级竞赛）已知是内一点，是的中点，，，，，则__________．
4．（2022春·湖南长沙·八年级校联考竞赛）如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10=______．
5．（2016秋·山东泰安·九年级竞赛）如图是“横店影视城”的圆弧形门，妙可同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，cm，cm，且与水平地面都是垂直的．根据以上数据，你帮助妙可同学计算这个圆弧形门的最高点离地面的高度是_________．
6．（2015秋·山东临沂·九年级竞赛）已知正六边形的边心距为，则它的周长是______．
7．（2015秋·山东临沂·九年级竞赛）如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，则圆锥的母线长是________．
8．（2015秋·山东泰安·九年级竞赛）如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，点D、E、F是⊙O上三个点，EF//AB，若EF=2，则∠EDC的度数为__________
二、单选题
9．（2016秋·山东临沂·九年级竞赛）如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O直径BE上，连结AE，若∠E=36°，则∠ADC的度数是（ ）
A．44°B．53°C．72°D．54°
10．（2017秋·江苏镇江·九年级竞赛）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，且为半圆的，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积分别为、、，则下列结论正确的是（ ）．
A．B．C．D．
11．（2016秋·山东泰安·九年级竞赛）在平面直角坐标系中有两点A（-1,2）,B（3,2），若点C是坐标轴上的一点，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C的个数为( )
A．3B．4C．5D．6
12．（2015秋·山东临沂·九年级竞赛）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（ ）
A．2B．2C．2D．8
13．（2015秋·山东泰安·九年级竞赛）如图1，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1cm的圆形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥，则圆锥的高为（ ）.
A．cmB．4cmC．cmD．cm
14．（2015秋·山东泰安·九年级竞赛）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D，则点A 的坐标是（ ）.
A．（3，5）B．（4，5）C．（5，3）D．（5，4）
15．（2016·全国·九年级竞赛）如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE．若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（ ）
A．12B．15C．16D．18
三、解答题
16．（2023春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）如图1，菱形ABCD的边长为12cm，∠B＝60°，M，N分别在边AB，CD．上，AM＝3cm，DN＝4cm，点P从点M出发，沿折线MB﹣BC以1cm/s的速度向点C匀速运动（不与点C重合）；△APC的外接圆⊙O与CD相交于点E，连接PE交AC于点F．设点P的运动时间为ts．
(1)∠APE＝ °；
(2)若⊙O与AD相切，
①判断⊙O与CD的位置关系；
②求的长；
(3)如图3，当点P在BC上运动时，求CF的最大值，并判断此时PE与AC的位置关系；
(4)若点N在⊙O的内部，直接写出t的取值范围．
17．（2022·福建·九年级统考竞赛）已知矩形ABCD的边AB=21，BC=19，r是给定的小于1的正实数．
(1)在矩形ABCD内任意放入114个直径为1的圆．证明：在矩形ABCD内一定还可以放入一个直径为r的圆，它和这114个圆都没有交点（也不在某个圆的内部）；
(2)在矩形ABCD内任意放入95个单位正方形（边长为1的正方形）．证明：在矩形ABCD内一定还可以放入一个直径为r的圆，它和这95个正方形都没有交点（也不在某个正方形的内部）．
18．（2012·全国·九年级竞赛）已知抛物线的顶点为，与轴的正半轴交于、两点，与轴交于点，是的外接圆的切线．设，若，求抛物线的解析式．
19．（2013·全国·九年级竞赛）在中，，、分别是的外心和内心，且满足．求证：
（1）；
（2）．
20．（2022·广东·九年级统考竞赛）已知的两边分别与圆相切于点，，圆的半径为．
（1）如图1，点在点，之间的优弧上，，求的度数；
（2）如图2，点在圆上运动，当最大时，要使四边形为菱形，的度数应为多少？请说明理由；
（3）若交圆于点，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含的式子表示）．
21．（2015秋·山东临沂·九年级竞赛）如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．
（1）求证：CT为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为2，CT=，求AD的长．
参考答案：
1．
【分析】连接，并延长交圆于点，连接，，可得，从而可得BD//CE，得到，所以BE=CD，由勾股定理可得AE的长，从而可求出圆O的面积．
【详解】解：如图，连接，并延长交圆于点，连接，．
则，．
∵，
∴//，
∴
∴BE=CD，
∵
∴．
在Rt△中，AB=10，
所以，由勾股定理得，
∴．
所以圆的面积为．
【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角以及在同圆或等圆中平行弦所夹弧相等等知识，正确作出辅助线构造直角是解答本题的关键．
2．
【分析】设AB=a，AC=b，由题意可得．根据勾股定理可得：．以斜边BC为直径的半圆面积 ，再利用基本不等式的性质即可得出．
【详解】解：设AB=a，AC=b，
∵以AB，AC为直径的两个半圆的弧长总长度为2π，
则，
化简为：a+b=4．
∵∠，
∴．
∴以斜边BC为直径的半圆面积
，
当且仅当a=b=2时取等号．
∴以斜边BC为直径的半圆面积的最小值为π．
故答案为：π．
【点睛】本题考查了圆的性质、勾股定理、基本不等式，考查了推理能力与计算能力．
3．4
【分析】延长至，使，则有A，F，B，四点共圆，得到△BCF是等腰三角形，利用三线合一可得，进而用勾股定理求出，再利用中位线性质求出．
【详解】延长至，使，则且，
∴，
∴A，F，B，四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴．
又，
∴，
∴．
故答案为：4
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，四点共圆，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是能够构建四点共圆．
4．π.
【详解】
图1,过点O做OE⊥AC,OF⊥BC,垂足为E. F,则∠OEC=∠OFC=90°
∵∠C=90°
∴四边形OECF为矩形
∵OE=OF
∴矩形OECF为正方形
设圆O的半径为r,
则OE=OF=r,
AD=AE=3−r,
BD=4−r
∴3−r+4−r=5,r==1
∴S1=π×12=π
图2,由S△ABC=×3×4=×5×CD
∴CD=
由勾股定理得：AD=
,BD=5−=，
由(1)得：
⊙O的半径=,
⊙E的半径=，
∴S1+S2=π×()2+π×()2=π.
图3,由S△CDB=××=×4×MD
∴MD=，
由勾股定理得：CM=,
MB=4−=，
由(1)得：⊙O的半径=,
⊙E的半径=，
∴⊙F的半径=，
∴S1+S2+S3=π×()2+π×()2+π×()2=π
5．520cm．
【详解】试题解析：连接OF，交AD于点E，
∵BC是⊙O的切线，
∴OF⊥BC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴OE⊥AD，EF=AB，
设圆O的半径为R，在Rt△AOE中，AE==100
OE=R-AB=R-20，
∵AE2+OE2=OA2，
∴1002+（R-20）2=R2，
解之R=260．
260×2=520（cm）．
答：这个圆弧形门的最高点离地面的高度为520cm．
考点：垂径定理的应用；勾股定理．
6．12
【分析】首先由题意画出图形，易证得△OAB是等边三角形，又由正六边形的边心距利用三角函数的知识即可求得OA的长，即可得AB的长，继而求得它的周长．
【详解】如图，连接OA，OB，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=×360°=60°，
∵OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAH=60°，
∵OH⊥A，OH=，
∴，
∴AB=OA=2，
∴它的周长是：2×6=12
考点：正多边形和圆
点评：此题考查了圆的内接正多边形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用
7．30
【分析】圆锥的底面周长即为侧面展开后扇形的弧长，已知扇形的圆心角，所求圆锥的母线即为扇形的半径，利用扇形的弧长公式求解．
【详解】解：∵圆锥的底面周长是20π
∴侧面展开后所得的扇形的弧长是20π
∵侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°
∴侧面展开后所得的扇形的半径为：
∵圆锥的母线就是侧面展开后所得的扇形的半径
∴圆锥的母线长度为30.
故答案为30.
【点睛】本题考查了圆锥的计算．关键是体现两个转化，圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长．
8．
【详解】分析：连接OC、OE，由切线的性质知OC⊥AB，而EF∥AB，则OC⊥EF；设OC交EF于M，在Rt△OEM中，根据垂径定理可得到EM的长，OE即⊙O的半径已知，即可求出∠EOM的正弦值，进而可求得∠EOM的度数，由圆周角定理即可得到∠EDC的度数．
解：连接OE、OC，设OC与EF的交点为M；
∵AB切⊙O于C，
∴OC⊥AB；
∵EF∥AB，
∴OC⊥EF，则EM=MF=；
Rt△OEM中，EM=，OE=2；
则sin∠EOM=，∴∠EOM=60°；
∴∠EDC=∠EOM=30°．
9．D
【分析】根据直径所对的圆周角为直角可得∠BAE=90°，再根据直角三角形的性质和平行四边形的性质可得解.
【详解】根据直径所对的圆周角为直角可得∠BAE=90°，
根据∠E=36°可得∠B=54°，
根据平行四边形的性质可得∠ADC=∠B=54°.
故选D
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、圆的基本性质.
10．D
【分析】连接AC，根据△AOC的面积=△BOC的面积，得S2＜S1，再由S1占半圆面积的，可得S3大于半圆面积的 ，即可求解．
【详解】解：连接AC，
∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，点O为AB的中点，
∴△AOC的面积=△BOC的面积，
∵S1大于△AOC的面积，
∴S2＜S1，
∵S1占半圆面积的，
∴S2小于半圆面积的
∴S3大于半圆面积的，
∴．
故选：D
【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，直径所对的圆周角是直角，根据题意得到△AOC的面积=△BOC的面积是解题的关键．
11．C
【分析】分三种情况考虑：即当点A为直角顶点时；当点B为直角顶点时；当点C为直角顶点时，分别画图，据此即可解答．
【详解】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：
分三种情况考虑：当点A为直角顶点时，过点A作AC⊥x轴于点C1，连接BC1，此时满足题意的点为C1；
当点B为直角顶点时，过点B作BC⊥x轴于点C2，连接AC2，此时满足题意的点为C2；
当点C为直角顶点时，以AB为直径作圆，由A（-1，2），B（3，2），得到AB=4，可得此圆与x轴相切，
∴此圆与坐标轴有三个交点，分别为C3，C4，C5，
如图所示，根据直径所对的圆周角为直角可得此3点满足题意，
综上，所有满足题意的点C有5个．
故选：C．
【点睛】此题考查了圆周角定理，切线的性质，勾股定理，以及坐标与图形性质，利用了分类讨论及数形结合的思想．
12．B
【详解】试题分析：由OD⊥AB，根据垂径定理得到AC=BC=AB=4，设AO=x，则OC=OD﹣CD=x﹣2，在Rt△ACO中根据勾股定理得到x2=42+（x﹣2）2，解得x=5，则AE=10，OC=3，再由AE是直径，根据圆周角定理得到∠ABE=90°，利用OC是△ABE的中位线得到BE=2OC=6，然后在Rt△CBE中利用勾股定理可计算出CE．
试题解析：连结BE，如图，
∵OD⊥AB，
∴AC=BC=AB=×8=4，
设AO=x，则OC=OD﹣CD=x﹣2，
在Rt△ACO中，∵AO2=AC2+OC2，
∴x2=42+（x﹣2）2，解得 x=5，
∴AE=10，OC=3，
∵AE是直径，
∴∠ABE=90°，
∵OC是△ABE的中位线，
∴BE=2OC=6，
在Rt△CBE中，CE=．
考点：1、垂径定理；2、勾股定理；3、三角形中位线定理；4、圆周角定理
13．C
【详解】利用已知得出底面圆的半径为：1，周长为2π，进而得出母线长，即可得出答案．
解：∵半径为1cm的圆形，
∴底面圆的半径为：1，周长为2π，
扇形弧长为：2π=，
∴R=4，即母线为4cm，
∴圆锥的高为：=（cm）．
故选C．
此题主要考查了圆锥展开图与原图对应情况，以及勾股定理等知识，根据已知得出母线长是解决问题的关键．
14．D
【详解】试题分析：连接AB，作AE⊥BC于点E，由点B、C的坐标可求得OE的长，即可得到AB，再根据勾股定理即可求得结果.
连接AB，作AE⊥BC于点E
∵B（2，0）、C（8，0）
∴OE=5，BE=3
∴AB=5
∴
∴点A 的坐标是（5，4）
故选D.
考点：勾股定理，垂径定理
点评：勾股定理与垂径定理的结合使用是初中数学的重点，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.
15．A
【详解】∵⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，AB=8，
∴AC=BC=AB=4．
设OA=r，则OC=r﹣2，
在Rt△AOC中，
∵AC2+OC2=OA2，即42+（r﹣2）2=r2，解得r=5，
∴AE=10，
∴BE= ，
∴△BCE的面积=BC•BE=×4×6=12．
故选A．
16．(1)60°
(2)①⊙O与CD相切；②
(3)CF的最大值为3cm，此时AC⊥PE
(4)当0