2024年广东省肇庆市高要区中考二模数学试题

这是一份2024年广东省肇庆市高要区中考二模数学试题，共20页。

1．答题前，考生务必认真核对条形码上姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上．
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．请按照题号在各题答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了求倒数，根据倒数的定义即可求解．
【详解】解：的倒数是．
故选：C．
2. 下列关于体育运动的图标是轴对称图形的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用轴对称图形的定义进行判断即可．
【详解】沿一条直线对折，两部分完全重合的图形称为轴对称图形，选项A中沿中间竖直线对折，两部分完全重合，其他选项图形均无法找到符合条件的对折直线，故只有A选项图形为轴对称图形，
故选A．
【点睛】本题考查轴对称图形定义的应用，须注意图形细节的不同之处．
3. 计算的结果为（ ）
A. B. C. 5D. 6试卷源自 每日更新，不到1元，欢迎访问。【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的乘法，根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可求解．
【详解】，
故选：B．
4. 以下燕尾槽的主视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查三视图，根据从正面看到图形为主视图，即可解题．
【详解】解：由题知，从正面看燕尾槽其主视图为A，
故选：A．
5. 一元二次方程的根的情况为（ ）
A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 无法判断
【答案】B
【解析】
【分析】求出判别式Δ＝b2−4ac，判断其的符号就即可．
【详解】解：∵Δ＝22−4×1×1＝0，
∴有两个相等的实数根，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式Δ=0时，方程有两个相等的实数根是解决问题的关键．
6. 已知．清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“荅花如米小，也学牡丹开”．其中荅花的花粉直径约为．则用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：．
故选：A．
7. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ）
A. 8B. 12C. 0.4D. 0.6
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，理解并熟练运用概率公式是解题关键．
【详解】解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影频率稳定在左右，
∴点落在阴影部分的概率为，
设阴影部分面积为S，则，
即：，
∴黑色阴影面积为12，
故选：B．
8. 如图，是的直径，弦交于点，连接．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理；连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，等弧所对的圆周角相等可得，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴
∵，
∴，
∴
故选：B．
9. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的性质，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
由题意知，，由平行线的性质可得，，即，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
由平行线的性质可得，，即，
∴，
故选：C．
10. 如图，为正方形内的一点，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，实数的运算，过点作于点，证明得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴
∵
∴
∴
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 分解因式：___________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了多项式分解因式，先提取公因式2，再根据平方差公式分解因式，正确掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】
故答案为．
12. 一元一次不等式组的解集为：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
故答案为：．
13. 如图，菱形中，，则的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理；根据菱形的性质可得，，勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：菱形中，，
∴，
∴
∴，
故答案为：．
14. 如图，在中，，动点以的速度从向移动，（不与重合），动点以的速度从向移动，（不与重合），现同时出发，则经过_______秒后，是等腰三角形．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，等腰三角形的定义；可用表示出，，，由于，当是等腰三角形，则只有一种可能，据此列出一元一次方程，解方程，即可求解．
【详解】解：设秒后是等腰三角形，则，，，
解得：
故答案为：．
15. 已知二次函数图象的一部分如图所示，经过点，对于下列结论，其中正确的为_______．
①
②对任意实数，满足
③
④多项式可因式分解为
【答案】①②##②①
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值，由抛物线的开口方向判断与的关系，然后根据即可判断①；根据抛物线的对称性即可判断②；把解析式化成交点式即可判断③；根据函数的最值即可判断④．
【详解】解：抛物线的开口方向下，
；
对称轴为直线，
，
即，
故结论①正确；
当时，
∴，即
故结论③不正确；
抛物线过点，，
，
多项式可因式分解为 ，
故结论④不正确；
当时，，
当时，
有最大值：，
无论为何值时，
则有
故结论②正确，
故答案为：①②．
三、解答题（每小题8分，共24分）
16. （1）先化简，再求值：，其中；
（2）已知点在一次函数的图象上，求代数式的值．
【答案】（1）；；（2）
【解析】
【分析】本题考查了整式乘法，一次函数的性质；
（1）根据完全平方公式，单项式乘以多项式进行计算，然后代入字母的值，即可求解；
（2）将点代入，得出，整体代入，即可求解．
【详解】（1）解：原式
当时，原式
（2）解：将点代入，
得
17. 如图，在中，是边上的一点．

（1）请用尺规作图法，在内，求作，使，交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据要求，利用基本作图（作一个角等于已知角）；
（2）根据，则可判断出利用相似三角形的性质求解．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18. 数学兴趣小组利用无人机测量旗杆的高度，在距离旗杆水平距离处，无人机垂直上升到处，此时测得点的俯角为点的仰角为，求旗杆的高度约为多少米？（结果保留整数）参考数据：
【答案】旗杆的高度约为米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作，垂足为，分别解，，得出，，根据，即可求解．
【详解】解：过点作，垂足为
由题意得：，在中，
在中，
旗杆的高度约为16米．
四、解答题（19～21每小题7分，22题9分，共30分）
19. 随着新能源的发展，电动汽车的使用越来越广泛，已知某品牌国标电动车蓄电池的电压为，使用该蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）满足反比例函数关系：．回答下列问题：
（1）这个反比例函数的关系式是：_______．
（2）如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过，那么用电器的可变电阻的取值范围是：_______；
（3）补全下方表格，并在平面直角坐标系中，画出相应的函数图象．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用；
（1）根据题意列出解析式，即可求解；
（2）根据（1）所求可得I随R增大而减小，因此求出当I=10A时，R的值即可得到答案；
（3）根据解析式，填表并画出函数图象，即可求解．
【小问1详解】
解：电池的电压为，使用该蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）满足反比例函数关系：．
∴，
∴电流I（单位：A）与电阻R（单位：）得到反比例函数关系式为；
【小问2详解】
解：∵在中，，
∴I随R增大而减小，
当时，则，解得，
∴当时，，
故答案为：．
【小问3详解】
解：补全表格
20. 如图，在矩形中，，点在边上，，垂足为．
（1）求证：；
（2）若，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质；
（1）根据矩形的性质得出，根据，即可求解；
（2）根据勾股定理求得，进而根据相似三角形的性质，即可求解．
【小问1详解】
证明：四边形为矩形，
，
，
，
【小问2详解】
解：在中，
即
解得
21. 某中学持续开展了“：青年大学习；：青年学党史记；：中国梦宣传教育；：社会主义核心价值观培养践行”等一系列活动，学生可以任选一项参加．为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求出参加活动的人数，补全条形统计图；
（2）若该校共有学生名，请估计参加项活动的学生数；
（3）小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率．
【答案】（1）的人数为名，画图见解析
（2）名
（3）树状图见解析，
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图综合，列表或画树状图法求概率，样本估计总体；
（1）用的人数除以占比，求得总人数，进而求得的人数，即可求解；
（2）根据样本估计总体，即可求解；
（3）根据画树状图法求概率，即可求解．
【小问1详解】
解：在这次调查中，一共抽取学生为：（名）
的人数为：（名）
【小问2详解】
（名）
【小问3详解】
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有种，
小杰和小慧参加同一项活动的概率为
22. 为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目，滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环与水平地面相切于点，推杆与铅垂线的夾角为，点在同一平面内．当推杆与铁环相切于点时，手上的力量通过切点传遥到铁环上，会有较好的启动效果．
（1）求证：．
（2）实践中发现，切点只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点是该区域内最低位置，此时点距地面的距离最小，测得，已知铁环的半径为，推杆的长为，求此时的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形的应用；
（1）过点作，分别交于点，交于点，根据切线的性质可得，进而得出，根据为的切线得出，得出，等量代换得出，即可得证；
（2）在中，根据含30度角的直角三角形的性质得出，解得出，根据矩形的性质可得，进而根据，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图1，过点作，分别交于点，交于点．
图1
与相切于点
，
为的切线，
；
【小问2详解】
解：如图1，在中
由（1）知，
在中，
四边形为矩形，
．
五、解答题（23题10分，24题11分，共21分）
23. 某水果商店准备购进苹果和荔枝两种水果，苹果每千克的进价为10元，荔枝每千克的进价为20元，商店为了获得利润，将苹果每千克的售价定为20元，荔枝每千克的售价定为50元．
（1）商店计划用不超过1400元的资金购进苹果和荔枝共100千克，问荔枝的进货数量不超过多超少千克？
（2）因荔枝的保鲜期较短，商店准备对荔枝每千克的售价优惠元，但苹果的售价不变，已知荔枝的进货数量不低于30千克，在（Ⅰ）的条件下，求销售这100千克水果获得利润最大时的进货方案．
【答案】（1）荔枝的进货数量不超过千克
（2）当苹果购买千克，荔枝购买千克，且荔枝每千克优惠元时，商店的利润最大
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一次函数的应用；
（1）设荔枝的进货数量为千克，根据题意列出不等式即可求解；
（2）根据题意得出，根据（1）的结论，当时，，当时，，当时，结合一次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：设荔枝的进货数量为千克，
依题意，得：，
解得：，
答：荔枝的进货数量不超过40千克。
【小问2详解】
依题意，得：，
当时，，
随的增大而增大，
，
时，即苹果购买60千克，荔枝购买40千克时利润最大，元，
且，
∴当时，元
当时，，
随的增大而减小，
当时，即苹果购买70千克，荔枝购买30千克利润最大，元
，
，
当时，元；
综上所述，当苹果购买60千克，荔枝购买40千克，且荔枝每千克优惠15元时，商店的利润最大
24. 如图，已知在矩形中，，点为边上一点（不与点、点重合），将矩形沿折叠，使点落在点处，交于点．

（1）写出图1中一个与相似的三角形；
（2）如图2，当与的交点恰好是的中点时，求阴影部分的面积；
（3）如图3，当点的对应点落在边的垂直平分线上时，求的长．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查相似三角形综合应用，矩形的折叠问题；
（1）由，，可得，故，从而；
（2）由点是的中点，得，，故，证明，可得，，根据三角形面积公式得阴影部分的面积是；
（3）设的中点为，的中点为，直线为矩形的对称轴，当在上时，求出，，设，则，证明，可得，即可解得
【小问1详解】
解：四边形是矩形，
，
将矩形沿折叠，使点落在点处，交于点，
，
，
，
，
，
故答案为：或（写出一个即可）；
【小问2详解】
解：点是的中点，
，
，
，
，，
，
，即，
，
，
阴影部分的面积是；
【小问3详解】
解：设的中点为，的中点为，直线为矩形的对称轴，当在上时，如图所示：

，，，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，即，
解得；
……
3
6
12
18
……
……
12
6
4
2
……
……
3
6
12
18
……
……
12
6
4
2
……