计数原理与排列、组合课件-2024届高考数学一轮复习

这是一份计数原理与排列、组合课件-2024届高考数学一轮复习，共59页。PPT课件主要包含了m＋n，一定的顺序，同排列，同组合，ABC，变式演练，对点训练等内容，欢迎下载使用。
【单元概述】　本单元学习了随机事件的关系和运算、概率的基本性 质、事件的相互独立性、条件概率及全概率公式，还学习了随机变量的 分布列和数字特征，并重点研究了三种概率分布，解决了一些简单的实 际问题.
【课时目标】　理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区 分“分类”和“分步”，并能利用两个计数原理解决一些简单的实际问 题；理解排列、组合的概念，掌握排列数、组合数公式，并能利用公式 解决一些简单的实际问题.【考情概述】　计数原理与排列、组合是新高考考查的内容之一，常以 选择题或填空题的形式进行考查，属于中频考点，难度中等偏下.
知识梳理1. 两个计数原理（1） 分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案 中有 m 种不同的方法，在第2类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这 件事共有 N ＝ 种不同的方法.（2） 分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有 m 种不 同的方法，做第2步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ ⁠ 种不同的方法.
2. 两个计数原理的区别与联系
3. 排列与组合的概念
4. 排列数与组合数（1） 排列数：从 n 个不同元素中取出 m （ m ≤ n ）个元素的所有 ⁠ 的个数，用符号 表示.　（2） 组合数：从 n 个不同元素中取出 m （ m ≤ n ）个元素的所有 ⁠ 的个数，用符号 表示.5. 排列数、组合数的公式及性质
n （ n －1）（ n －2）…（ n － m ＋1）　
常用结论1. 解决排列、组合问题的十种技巧：（1） 特殊元素优先安排；（2） 合理分类与准确分步；（3） 排列、组合混合问题要先选后排；（4） 相邻问题捆绑处理；（5） 不相邻问题插空处理；（6） 定序问题倍缩法处理；（7） 分排问题直排处理；（8） “小集团”排列问题先整体后局部；（9） 相同元素的问题用隔板法；（10） 正难则反，等价转化.
2. （RA选三P5例3改编）某同学逛书店，发现3本喜欢的书，决定至少 购买其中的1本，则不同的购买方案共有（　C　）
3. （多选）（RA选三P27习题6.2第13题改编）甲、乙、丙、丁、戊五人 并排站成一排，下列说法正确的是（　ABC　）
考点一　分类加法计数原理与分步乘法计数原理考向1　分类加法计数原理例1　（1） 个位数字大于十位数字的两位数共有 个.
解：由题意知，十位上的数字可以是1，2，3，4，5，6，7，8，共8 类，在每一类中符合题意的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3 个，2个，1个.由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6 ＋5＋4＋3＋2＋1＝36（个）.
（2） 如图，一只蚂蚁从点 A 到点 O 有 ⁠种不同的走法（不重复过任 何一点）.
解：分3类：第一类，由点 A 直接到点 O ，有1种走法；第二类，中间经 过一个点，有 A → B → O ， A → C → O ，共2种走法；第三类，中间经 过两个点，有 A → B → C → O ， A → C → B → O ，共2种走法.由分类加 法计数原理可知，共有1＋2＋2＝5（种）不同的走法.
1. 个位数字为偶数且小于十位数字的两位数共有 个.
解：由题意知，个位上的数字可以是0，2，4，6，8，共5类，在每一类 中符合题意的两位数分别有9个，7个，5个，3个，1个.由分类加法计数 原理可知，符合题意的两位数共有9＋7＋5＋3＋1＝25（个）.　
1. 某班级在迎新春活动中进行抽卡活动，在不透明的卡箱中有 “福”“迎”“春”卡各2张，“龙”卡3张，这些卡片除卡片内容外都 相同.每位学生从卡箱中随机抽取4张卡，其中抽到“龙”卡获得2分， 抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“龙”“迎”“春”4张卡，则额 外获得2分.（1） 学生甲最终获得5分的不同的抽法种数是 ⁠；
（2） 学生乙最终获得7分的不同的抽法种数是 ⁠.
考向2　分步乘法计数原理例2　（1） 某学校的3个班级将要去甲、乙、丙、丁4个工厂参观学 习，要求每个班只能去1个工厂参观学习，且甲工厂必须有班级参观学 习，则不同的参观方案有 种.
解：每个班级都可以从这4个工厂中选1个参观学习，各有4种情况，根 据分步乘法计数原理可知，共有43＝64（种）情况.若甲工厂没有班级参 观学习，此时每个班级都可以从其余3个工厂中选1个参观学习，各有3 种情况，根据分步乘法计数原理可知，共有33＝27（种）情况.因为甲工 厂必须有班级参观学习，所以不同的参观方案有64－27＝37（种）.
（2） 人们习惯把最后一位是6的多位数叫做“吉祥数”，则无重复数 字的四位“吉祥数”（首位不能是零）共有 个.
解：第一步，确定千位，除去0和6，有8种不同的情况；第二步，确定 百位，除去6和千位数字，有8种不同的情况；第三步，确定十位，除去 6和千位、百位上的数字，有7种不同的情况.根据分步乘法计数原理可 知，无重复数字的四位“吉祥数”（首位不能是零）共有8×8×7＝448 （个）.　
2. 正整数240的正约数有 个.
解：因为240＝24×3×5，所以240的正约数为2 i 3 j 5 k ， i ＝0，1，2，3， 4； j ＝0，1； k ＝0，1.根据分步乘法计数原理可知，240的正约数有 5×2×2＝20（个）.
3. 回文是一种修辞手法，数学中的回文数是指从左到右读和从右到左读 都一样的正整数，例如132231，则五位数中的回文数共有 个.
解：万位有9种选择，千位和百位各有10种选择.根据分步乘法计数原理 可知，五位数中的回文数共有9×10×10＝900（个）.
考向3　两个计数原理的综合应用例3　
（1） 现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的A，B，C，D四个不同 区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能涂同一种颜色，则不同的 涂法的种数是（　D　）
解：由题意，先涂A区域，共有5种涂法，再涂B区域，有4种涂法，然 后涂C区域.若C区域与A区域所涂颜色相同，则C区域共有1种涂法，D 区域有4种涂法；若C区域与A区域所涂颜色不同，则C区域有3种涂 法，D区域有3种涂法.所以不同的涂法种数是5×4×（1×4＋3×3）＝ 260.
（2） 如果一条直线与一个平面平行，那么称这条直线与这个平面构成 一个“平行线面组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与由四 个顶点确定的平面构成的“平行线面组”的个数是（　B　）
（3） 用0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成 ⁠个无重复数 字的四位偶数（用数字作答）.
4. 如图，准备用4种不同的颜色给A，B，C，D，E五个区域进行涂色，要求每个区域用一种颜色涂色，且相邻区域（有公共边的）所涂颜色不能相同，则不同的涂色方法共有（　C　）
解：先涂E区域，有4种涂色方法，再涂C区域，有3种涂色方法，然后 涂D区域，有2种涂色方法.若A区域与D区域所涂颜色相同，则A区域有 1种涂色方法，B区域有3种涂色方法；若A区域与D区域所涂颜色不相 同，则A区域有2种涂色方法，B区域有2种涂色方法.所以不同的涂色方 法共有4×3×2×（1×3＋2×2）＝168（种）.
5. 某校安排高三年级5个班[包括高三（1）班]去A，B，C，D四个劳动 教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个 班，则高三（1）班被安排到A基地的排法共有 种.
考点二　排列与组合问题考向1　排列问题例4　（1） （多选）17名同学站成两排，前排7人，后排10人，则不同 站法的种数为（　BD　）
（2） 用1，2，3，4，5这五个数字，共可以组成 个比20000大， 且百位数字不是3的没有重复数字的五位数.
6. 杭州第19届亚运会火炬于9月14日在浙江台州传递，此次火炬传递以 “和合台州，活力城市”为主题，路线全程约8公里.从和合公园出发， 途经台州市图书馆、台州市文化馆、台州市体育中心等地标建筑.某段 线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不 从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（　C　）
7. 用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成多少个满足以下条件的没有 重复数字的五位数？（1） 比21034大的偶数；
（2） 千位、十位上的数是奇数的偶数.
考向2　组合问题例5　（1） 某公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙 二人不能全部裁去，则不同的裁员方案共有 种.
（2） 从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入 选，则共有 种不同的选法.
2. 从2位女生，4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动.（1） 共有多少种不同的选择方法？
（2） 如果至少有1位女生入选，且选出的这3位学生，分别去3个不同 地方进行宣传，共有多少种不同的安排方法？
8. （2023·新课标Ⅰ卷）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修 课，学生需从这8门课中选修2门或3门，并且每类选修课至少选修1门， 则不同的选课方案共有 种（用数字作答）.
考向3　分组、分配问题例6　（1） 现有6名师范生要平均分到3所学校去实习，共有 ⁠种 不同的分派方法.
（2） 有4名本科生A，B，C，D全部被保送到甲、乙、丙3所大学读 研，若每所大学至少去一名本科生，则不同的保送方案共有 种.
（3） 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑和冰壶3个项 目上进行培训.若每名志愿者只分配到1个项目上，且每个项目上至少分 配1名志愿者，则不同的分配方案共有 种.
3. 某学校的甲、乙、丙、丁四名优秀的同学获得了保送到A，B，C这3 所大学的机会.若每所大学至少保送1人，且甲同学要求不去A大学，则 不同的保送方案共有（　A　）
9. 将6名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个 项目上进行培训，每名志愿者只分配到1个项目上，每个项目上至少分 配1名志愿者，且志愿者甲不分配到冰球项目上，则不同的分配方案共 有（　C　）
考点三　排列与组合的综合问题例7　（1） 从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶 数，组成没有重复数字的四位数的个数为 ⁠.
（2） （2022·重庆模考）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1 人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则 共有 种不同的选法（用数字作答）.
10. 7人排成一排，要求甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，甲、乙 相邻，乙、丙不相邻，则不同排法的种数是（　C　）
11. 从5男3女共8名学生中选出组长1人，副组长1人，普通组员3人组成5 人志愿组，要求志愿组中至少有3名男生，且组长和副组长性别不同， 则共有 种不同的选法（用数字作答）.