安徽省阜阳市皖江名校联盟2024届高三下学期模拟预测数学试卷(含答案)

这是一份安徽省阜阳市皖江名校联盟2024届高三下学期模拟预测数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知双曲线的焦距为4，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为( )
A.B.C.D.
3．记，，，则( )
A.B.C.D.
4．已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面内”是“m，n，l两两相交”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5．已知复数z满足，则下列结论正确的是( )
A.B.C.D.
6．在二项式的展开式中，下列说法正确的是( )
A.常数项为B.各项的系数和为64
C.第3项的二项式系数最大D.奇数项二项式系数和为-32
7．在平面直角坐标系xOy中，已知向量与关于y轴对称，若向量满足，记A的轨迹为E，则( )
A.E是一条垂直于x轴的直线B.E是两条平行直线
C.E是一个半径为1的圆D.E是椭圆
8．设正数数列的前n项和为，且，则( )
A.是等差数列B.是等差数列C.单调递增D.单调递增
二、多项选择题
9．设离散型随机变量X的分布列如表，若离散型随机变量Y满足，则( )
A.B.，
C.，D.，
10．已知函数（，，）的部分图象如图所示，且图中阴影部分的面积为，则( )
A.
B.点是曲线的一个对称中心
C.直线是曲线的一条对称轴
D.函数在区间内单调递减
11．抛物线的焦点为F，准线为直线l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作抛物线的切线交于点P，于点，于点，则( )
A.点P在直线上B.点P在直线AB上的投影是定点
C.以为直径的圆与直线AB相切D.的最小值为
三、填空题
12．已知，则的最小值为______.
13．已知三棱锥的外接球为球O，PC为球O的直径，且，，，则三棱锥的体积为______.
四、双空题
14．“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍.寻找“完全数”用到函数，为n的所有正因数之和，如，则______；______.
五、解答题
15．已知函数的最小正周期为，且函数的图象向左平移个单位后得到的函数为偶函数.
（1）求函数的解析式，并通过列表、描点在给定坐标系中作出函数在上的图象；
（2）在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，求的值域.
16．篮球运动深受青少年喜爱，2024《街头篮球》全国超级联赛赛程正式公布，首站比赛将于4月13日正式打响，于6月30日结束，共进行13站比赛.
（1）为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100名进行调查，得到列联表如下：
依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关？
（2）某校篮球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记甲第次触球的概率为，则.
（i）证明：数列是等比数列；
（ii）判断第24次与第25次触球者是甲的概率的大小.
附：.
17．如图，在圆台中，，AB分别为上、下底面直径，且，，为异于，的一条母线.
（1）若M为AC的中点，证明：平面；
（2）若，，，求二面角的正弦值.
18．已知函数，其中.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求的最小值；
（2）若对于任意均成立，且的最小值为1，求实数k.
19．如图，各边与坐标轴平行或垂直的矩形ABCD内接于椭圆，其中点A，B分别在第三、四象限，边AD，BC与x轴的交点为，.
（1）若，且，为椭圆E的焦点，求椭圆E的离心率；
（2）若是椭圆E的另一内接矩形，且点也在第三象限，若矩形ABCD和矩形的面积相等，证明：是定值，并求出该定值；
（3）若ABCD是边长为1的正方形，边AB，CD与y轴的交点为，，设（，，…，）是正方形ABCD内部的100个点，记，其中，2，3，4.证明：，，，中至少有两个小于81.
参考答案
1．答案：A
解析：依题意，，因此，选项A正确
2．答案：B
解析：因为双曲线的焦距为4，所以，解得，所以则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为，选项B正确.
3．答案：C
解析：显然，，，故选项C正确.
4．答案：B
解析：已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，若m，n，l在同一平面内，则m，n，l两两相交或m，n，l有两条平行，另外一条直线与它们相交或三条直线两两平行，故充分性不成立.
若m，n，l两两相交，则m，n，l在同一平面内，故必要性成立.
故“m，n，l在同一平面内”是“m，n，l两两相交”的必要不充分条件.故选B.
5．答案：D
解析：因为，所以，从而，选项D正确.
6．答案：A
解析：的展开式通项为，
当时，常数项为，选项A正确；
令，得各项的系数和为，选项B错误；
展开式共7项，二项式系数最大应为第4项，故选项C错误；
依题意奇数项二项式系数和为，选项D错误.
7．答案：C
解析：不妨设点A的坐标为，，，由可得，即，故选项C正确.
8．答案：D
解析：依题意，
令，解得，从而，，，易知选项D正确.
9．答案：BD
解析：因为，所以，A选项错误；
由，而，
故，
因此选项B正确；
又，所以，，，故C错D对.
10．答案：ABC
解析：由题意，，，所以，即，
又，所以，可得，因此.
显然，函数周期为，，选项A正确；
因为，所以选项B正确，
，选项C正确；
若，即，则，函数先减再增，D错误.
11．答案：BCD
解析：依题意焦点F的坐标为，准线为直线，
不妨设，，直线AB的方程为，
联立与，得，从而，，
由题意，，，
故抛物线过点A，B的切线方程分别为，，
解得点P的坐标为，故A错误；
因为，所以，
即点P在直线AB上的投影是点F（定点），故选项B正确；
可证，，因此，
即以为直径的圆与直线AB相切，选项C正确；
对于选项D，因为，，
从而，
令，由函数单调性易知，，函数取最小值.D正确.
12．答案：20
解析：依题意，，，所以，等号成立当且仅当
13．答案：
解析：如图，易知，，
作于点H，易知，，
，
，
故三棱锥的体积为.
14．答案：42，.
解析：
.
15．答案：（1）答案见解析；（2）
解析：（1）函数的最小正周期，，
向左平移后为偶函数，且，，
故解析式为.
列表如下：
在上的图象如图所示：
（2），，
即，解得，即，
又因为是锐角三角形，所以，
故，即.
16．答案：（1）答案见解析；（2）答案见解析
解析：（1）假设：喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱篮球运动与性别无关.
根据列联表数据，经计算得，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即能认为喜爱篮球运动与性别有关，从此推断犯错误的概率不超过0.001.
（2）（i）由题意，
，
所以
又，所以是以为首项，为公比的等比数列.
（ii）由（i），，
所以，.
故甲第25次触球者的概率大.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）如图，连接.因为在圆台中，上，下底面直径分别为，AB，且，所以，，为圆台母线且交于一点P，所以A，，，C四点共面.在圆台中，平面平面.由平面平面，平面平面，得.又，，所以.
所以，即为PC中点.
在中，又M为AC的中点，所以.
因为平面，平面，所以平面
（2）以O为坐标原点，OB，分别为y，z轴，过O且垂直于平面的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，所以.则，，.
因为，所以.所以，
所以
设平面的法向量为，所以，
所以，令，则，所以
又，设平面的法向量为，所以，所以
令，则，
所以
所以
设二面角的大小为，则，所以.所以二面角的正弦值为
18．答案：（1）1；（2）
解析：（1）①由题意，且的定义域为
，
依题意，即，从而，.
故，，
从而函数在上单调递减，在上单调递增，
所以.
（2）依题意，，其中，记，则，
因为，，即是的极小值也是最小值，故，
而，所以，解得，
此时，
若，则时，，，，，
即，与矛盾！
若，，
则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
符合题意.故.
所以，其中.
若即时，则函数在上最小值为，
依题意，解得，符合题意；
若即时，则函数在上最小值为，
依题意，即，无解，不符合题意.
所以，.
19．答案：（1）；（2）证明见解析，定值为；（3）证明见解析
解析：（1）依题意，，，
所以.
（2）设，，由题意，矩形ABCD和矩形的面积相等，
所以，
即，而，（*）
从而上式化为，
整理可得，
代入（*）式，，
故，
即为定值，且该定值为.
（3）如图，以AD，BC的中点为焦点构造经过A，B，C，D的椭圆，对于点，连接并延长，与该椭圆交于点Q，连接，
则.
因而，中至少有一个小于81，
同理，中至少有一个小于81，
故，，，中至少有两个小于81.
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.4
x
0.2
0.2
喜爱篮球运动
不喜爱篮球运动
合计
男性
60
40
100
女性
20
80
100
合计
80
120
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
x
0
0
1
0
-1
0