北京市海淀区2023-2024学年高三下学期期末练习（二模）数学试卷(含答案)

这是一份北京市海淀区2023-2024学年高三下学期期末练习（二模）数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，.若，则a的最大值为( )
A.2B.0C.D.-2
2．在的展开式中，x的系数为( )
A.40B.10C.D.
3．函数是( )
A.偶函数，且没有极值点B.偶函数，且有一个极值点
C.奇函数，且没有极值点D.奇函数，且有一个极值点
4．已知抛物线的焦点为F，点A在抛物线上，，则线段的中点的纵坐标为( )
A.B.C.3D.4
5．在中，，，，则的长为( )
A.6或B.6C.D.3
6．设a，，，且，则( )
A.B.C.D.
7．在中，，，点P满足，且，则( )
A.B.C.D.
8．设是公比为的无穷等比数列，为其前n项和，.则“”是“存在最小值”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
9．设函数的定义域为D，对于函数图象上一点，若集合只有1个元素，则称函数具有性质.下列函数中具有性质的是( )
A.B.C.D.
10．设数列的各项均为非零的整数，其前n项和为.若为正偶数，均有，且，则的最小值为( )
A.0B.22C.26D.31
二、填空题
11．若，则___________.
12．已知函数.
①若，则函数的最小正周期为___________.
②若函数在区间上的最小值为，则实数___________.
13．二维码是一种利用黑､白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一款由个黑白方块构成的二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成个不重复的二维码，为确保一个二维码在1分钟内被破译的概率不高于，则n的最小值为___________.
14．如图，在正方体中，P为棱上的动点，平面，Q为垂足.给出下列四个结论：
①；
②线段的长随线段的长增大而增大；
③存在点P，使得；
④存在点P，使得平面.
其中所有正确结论的序号是___________.
三、双空题
15．已知双曲线，则C的离心率为___________；以C的一个焦点为圆心，且与双曲线C的渐近线相切的圆的方程为___________.（写出一个即可）
四、解答题
16．已知函数，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定.
（1）求的值；
（2）若不等式在区间内有解，求m的取值范围.
条件①：；
条件②：的图象可由的图象平移得到；
条件③：在区间内无极值点，且.
17．在三棱锥中，，M为的中点.
（1）如图1，若N为棱上一点，且，求证：平面平面；
（2）如图2，若O为延长线上一点，且平面，直线与平面所成角为，求直线与平面所成角的正弦值.
18．图象识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了200张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）：
假设用频率估计概率，且该程序对每张照片的识别都是独立的.
（1）从这200张照片中随机抽取一张，已知这张照片的识别结果为女性，求识别正确的概率；
（2）在新一轮测试中，小组同学对3张不同的男性人脸照片依次测试，每张照片至多测一次，当首次出现识别正确或3张照片全部测试完毕，则停止测试.设X表示测试的次数，估计X的分布列和数学期望；
（3）为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案：
方案一：将无法识别的照片全部判定为女性；
方案二：将无法识别的照片全部判定为男性；
方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性的概率为50%，判定为女性的概率为）.
现从若干张不同的人脸照片（其中男性､女性照片的数量之比为）中随机抽取一张，分别用方案一､方案二､方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为，，.试比较，，的大小.（结论不要求证明）
19．已知椭圆E的焦点在x轴上，中心在坐标原点.以E的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为.
（1）求栯圆E的方程；
（2）设过点的直线l（不与坐标轴垂直）与椭圆E交于不同的两点A，C，与直线交于点P.点B在y轴上，D为坐标平面内的一点，四边形是菱形.求证：直线过定点.
20．已知函数.
（1）若，
①求曲线在点处的切线方程；
②求证：函数恰有一个零点；
（2）若对恒成立，求a的取值范围.
21．设正整数，，，，这里，2，…，n.若，且，则称，，…，具有性质P.
（1）当时，若，，具有性质P，且，，，令，写出m的所有可能值；
（2）若，，…，具有性质P：
①求证：；
②求的值.
参考答案
1．答案：C
解析：由于，所以，
故a的最大值为，
故选：C.
2．答案：A
解析：设的通项，则，化简得，
令，则x的系数为，即A正确.
故选：A.
3．答案：B
解析：当时，，则，
当时，，则，
所以函数是偶函数，由图可知函数有一个极大值点.
故选：B.
4．答案：C
解析：抛物线的焦点，又，解得，
故线段的中点的纵坐标为.
故选：C.
5．答案：A
解析：由余弦定理可得，
故或，
故选：A.
6．答案：C
解析：对于A，取，，则，故A错误，
对于B，，，则，故B错误，
对于C，由于，，故在单调递减，故，因此，，
由于，所以，故，C正确，
对于D，，，则，故D错误，
故选：C.
7．答案：B
解析：由题可知，，
故，
故，解得.
故选：B.
8．答案：A
解析：若且公比，则，所以单调递增，存在最小值，故充分条件成立.
若且时，，
当n为奇数时，，单调递减，故最大值为时，，而，
当n为偶数时，，单调递增，故最小值为，，
所以的最小值为，
即由，存在最小值得不到公比，故必要性不成立.
故公比“”是“存在最小值”的充分不必要条件.
故选：A.
9．答案：D
解析：根据题意，要满足性质，则的图象不能在过点的直线的上方，且这样的直线只有一条；
对A：的图象，以及过点的直线，如下所示：
数形结合可知，过点的直线有无数条都满足题意，故A错误；
对B：的图象，以及过点的直线，如下所示：
数形结合可知，不存在过点的直线，使得的图象都在该直线的上方，故B错误；
对C：的图象，以及过点的直线，如下所示：
数形结合可知，不存在过点的直线，使得的图象都在该直线的上方，故C错误；
对D：的图象，以及过点的直线，如下所示：
数形结合可知，存在唯一的一条过点的直线，即，满足题意，故D正确.
故选：D.
10．答案：B
解析：因为，所以，互为相反数，不妨设，，
为了取最小值，取奇数项为正值，取偶数项为负值，且各项尽可能小，
由题意知：满足，取的最小值；
满足，因为，，故取的最小值；
满足，取的最小值；
同理，取的最小值；
所以，
满足，取的最小值；
满足，因为，所以，取的最小值；
满足，因为，所以，取的最小值；
同理，取的最小值；
所以，
所以，
因为数列的各项均为非零的整数，所以当时，有最小值22.
故选：B.
11．答案：1
解析：因为，
所以，即，
所以，解得.
故答案为：1.
12．答案：①π；②
解析：当时，，所以最小正周期为，
，
当时，，且二次函数开口向下，
要使得在区间上的最小值为，则需要，
且当时取最小值，故，解得，
故答案为：π，.
13．答案：7
解析：由题意可知的二维码共有个，
由可得，故，
由于，所以，
故答案为：7.
14．答案：①②④
解析：在正方体中，令，以点D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，，，
令平面的法向量，则，取，得，
由平面于Q，得，即，
，显然，解得，
于是，
对于①，，①正确；
对于②，在上单调递增，②正确；
对于③，而，，，，
若，
显然，即不存在，使得，③错误；
对于④，平面的一个法向量，而，
由，得，即，整理得，
令，，显然函数在上的图象连续不断，
而，，因此存在，使得，此时平面，
因此存在点P，使得平面，④正确.
所以所有正确结论的序号是①②④.
故答案为：①②④.
15．答案：/；或（）
解析：的离心率为，又渐近线为，即，
故焦点与到的距离均为，
则以C的一个焦点为圆心，且与双曲线C的渐近线相切的圆的方程为或，
故答案为：；或（）.
16．答案：（1）条件选择见解析，
（2）
解析：（1）依题意，，
选条件①，由，得，即，
于是，或，，显然的值不唯一，
因此函数不唯一，不符合题意.
选条件②，的图象可由的图象平移得到，
因此的最小正周期为函数的最小正周期π，而，则，
所以.
选条件③，在区间内无极值点，且，
则，即函数分别在，时取得最大值､最小值，
于是的最小正周期，
由在区间内无极值点，得的最小正周期，
因此，而，
所以.
（2）由（1）知，由，得，
由不等式在区间内有解，即在区间内有解，
则有，解得，
所以m的取值范围是.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）连接，，.
因为，M为的中点，所以.
又，，，平面，所以平面.
因为平面，
所以平面平面.
（2）因为平面，平面，平面，
所以，，为直线与平面所成的角.
因为直线与平面所成角为，
所以.
因为，所以，.
因为，所以.
又，故.
所以.
如图建立空间直角坐标系.
则，，，，.
所以，，.
设平面的法向量为，则
即令，则.
设与平面所成角为，则
.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18．答案：（1）
（2）分布列见解析；
（3）
解析：（1）根据题中数据，共有张照片被识别为女性，其中确为女性的照片有60张，所以该照片确为女性的概率为.
（2）设事件输入男性照片且识别正确.
根据题中数据，可估计为.
由题意知X的所有可能取值为1，2，3.
，，.
所以X的分布列为
所以.
（3）.
19．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题意可设椭圆E的方程为，.
因为以E的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为，
所以，且，
所以，.所以.
所以椭圆E的方程为.
（2）设直线l的方程为，
令，得，即.
由得.
设，，则，.
设的中点为，则.
所以.
因为四边形为菱形，
所以N为的中点，.
所以直线的斜率为.
所以直线的方程为.
令得.所以.
设点D的坐标为，则，，
即.
所以直线的方程为，即.
所以直线过定点.
20．答案：（1）①；②证明见解析
（2）
解析：（1）当时，.
①.
所以，.
所以曲线在点处的切线方程为.
②由①知，，，且.
当时，因为，所以；
当时，因为，所以.
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.
因为，，，
所以函数恰有一个零点.
（2）由得.
设，，则.
所以是上的减函数.
因为，，
所以存在唯一，.
所以与的情况如下：
所以在区间上的最大值是
.
当时，因为，所以.
所以.
所以，符合题意.
当时，因为，所以.
所以，不合题意.
综上所述，a的取值范围是.
21．答案：（1）27或32
（2）①证明见解析②
解析：（1）对集合S，记其元素个数为.先证明2个引理.
引理1：若，，…，具有性质P，则.
引理1的证明：假设结论不成立.
不妨设，则正整数，但，
故一定属于某个，不妨设为.
则由知存在正整数k，使得.
这意味着对正整数，有，
，但，矛盾.
所以假设不成立，从而一定有，从而引理1获证.
引理2：若，，…，具有性质P，则，且.
证明：取集合.
注意到关于正整数k的不等式等价于，
而由引理1有，即.
结合是正整数，知对于正整数k，当且仅当，
这意味着数列恰有项落入集合T，即.
而，，…，两两之间没有公共元素，且并集为全体正整数，
故T中的元素属于且仅属于某一个，故.
所以，
从而，这就证明了引理2的第一个结论；
再考虑集合T中全体元素的和.
一方面，直接由知T中全体元素的和为，即.
另一方面，的全部个元素可以排成一个首项为，公差为的等差数列.
所以的所有元素之和为.
最后，再将这n个集合的全部元素之和相加，
得到T中全体元素的和为.
这就得到，所以有
.
即，从而，这就证明了引理2的第二个结论.
综上，引理2获证.
回到原题.
将，，从小到大排列为，则，
由引理2的第一个结论，有.
若，则，
所以每个不等号都取等，从而，故；
情况1：若，则，矛盾；
情况2：若，则，所以，得.
此时如果，则，矛盾；
如果，则，从而，故；
如果，由于，设，，则，.
故对于正整数对，有，
从而，这与矛盾.
综上，m的取值只可能是27或32.
当时，；当时，.
所以的所有可能取值是27和32.
（2）①由引理1的结论，即知；
②由引理2的第二个结论，即知.
识别结果真实性别
男
女
无法识别
男
90
20
10
女
10
60
10
X
1
2
3
P
x
+
0
-
极大