广东省2024届高三第一次学业水平考试（小高考）模拟（三）数学试卷(含答案)

这是一份广东省2024届高三第一次学业水平考试（小高考）模拟（三）数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知向量，，且，则( )
A.B.C.12D.
3．不等式的解集是( )
A.B.C.或D.或
4．函数的最小值为( )
A.2B.5C.6D.7
5．若函数在上是增函数，则( )
A.B.C.D.
6．将函数的图象向右平移个单位，得到的图象对应的解析式是( )
A.B.C.D.
7．从编号为1、2、3、4的4球中，任取2个球，则这2个球的编号之和为偶数的概率是( )
A.B.C.D.
8．函数，则的值为( )
A.-2B.2C.4D.-4
9．在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合，角的终边经过点，则( )
A.B.C.D.
10．已知幂函数的图象经过点，则该幂函数在第一象限的大致图象是( )
A.B.C.D.
11．已知事件A与B相互独立，且，，则( )
A.0.3B.0.6C.0.8D.0.9
12．已知l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的为( )
A.若，，，则B.若，，则
C.若，，则D.若，，，，则
二、填空题
13．的虚部为____________.
14．某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家，为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层随机抽样的方法，抽取的中型商店数有____________家.
15．已知函数是偶函数，其定义域为，则____________.
16．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则____________.
17．某正方体的棱长为，则该正方体内切球的表面积为____________.
18．已知函数的最小正周期为，则____________.
三、解答题
19．函数.
（1）画出函数的图象；
（2）当时，求函数的值域（直接写出值域，不要过程）.
（3）若有四个不相等的实数根，求a的取值范围.（直接写出结果，不要求过程）
20．在三棱柱中，，，点D是的中点.
(1)求证：平面；
(2)若侧面为菱形，求证：.
21．仓廪实，天下安.习近平总书记强调：“解决好十几亿人口的吃饭问题，始终是我们党治国理政的头等大事”“中国人的饭碗任何时候要牢牢端在自己手上”.粮食安全是国家安全的重要基础.从某实验农场种植的甲、乙两种玉米苗中各随机抽取5株，分别测量它们的株高如下（单位：）：
甲：29，31，30，32，28；乙：27，44，40，31，43.
请根据平均数和方差的相关知识，解答下列问题：
（1）哪种玉米苗长得高？
（2）哪种玉米苗长得齐？
22．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，.
（1）求外接圆的面积
（2）若，求的面积.
参考答案
1．答案：C
解析：.
故选：C.
2．答案：B
解析：因为向量，，且，
所以，解得.
故选：B.
3．答案：A
解析：解方程得或，
因为函数开口向上，
所以不等式的解集为.
故选：A.
4．答案：D
解析：由可得，所以，
当且仅当，即时等号成立，
故选:D.
5．答案：A
解析：因为在上是增函数，
则,即.
故选：A.
6．答案：B
解析：函数的图象向右平移个单位，
得.
故选：B.
7．答案：A
解析：从编号为1、2、3、4的4球中，任取2个球，一共有以下情况：
，，，，，，共6种情况，
其中这2个球的编号之和为偶数的情况有，，共2种情况
故这2个球的编号之和为偶数的概率为.
故选：A.
8．答案：C
解析：因为，
则；
因为，
则
所以.
故选：C.
9．答案：C
解析：由，故，，
故.
故选：C.
10．答案：B
解析：设，则，所以，所以，
所以，因为，
因为函数在上递增，且增加的速度越来越缓慢，
故该幂函数在第一象限的大致图象是B选项.
故选：B.
11．答案：C
解析：由题意，事件A与事件B相互独立，且，，
则.
故选：C.
12．答案：A
解析：l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，
对于A，若，，，则由线面垂直的性质得，故A正确；
对于B，若，，则或，故B错误；
对于C，若，，则α与γ平行或相交，故C错误；
对于D，若，，，，则m与α平行、相交或，故D错误.
故选：A.
13．答案：5
解析：由题意得，所以的虚部为5.
故答案为：5.
14．答案：5
解析：抽样比等于，
由于中型商店有75家，应抽取的中型商店数为.
故答案为：5.
15．答案：
解析：因为函数是定义域为的偶函数，
所以①，
且，即，解得,
代入①，可得，
所以.
故答案为:.
16．答案：11
解析：已知向量，的夹角的余弦值为，且，，
则，
.
故答案为：11.
17．答案：
解析：因为正方体的棱长为，所以内切球的半径为，
所以该正方体内切球的表面积为.
故答案为：.
18．答案：12
解析：由于，依题意可知.
故答案为：12.
19．答案：（1）图象见解析
（2）
（3）
解析：（1）由解析式得图象如下.
（2）由（1）图象知：在、上递增，在、上递减，
且，，，，
综上，在上值域为.
（3）由函数图象知：有四个不相等的实数根，即与有4个交点，
所以.
20．答案：(1)见解析
(2)见解析
解析：(1)证明：连接，交于点E，连接，
因为四边形为矩形，所以E为，的中点，
因为点D是的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面.
(2)证明：连接，
因为四边形为菱形，所以，
因为，，，平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以.
21．答案：（1）乙种玉米苗长得高
（2）甲种玉米苗长得齐
解析：（1）甲的平均值，
乙的平均值，
，故乙种玉米苗长得高.
（2）甲的方差，
乙的方差，
，故甲种玉米苗长得齐.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）设外接圆的半径为R，
在中，由正弦定理得，
因为，，所以，所以，
外接圆的面积为.
（2）因为，所以，所以，
因为，所以或，
因为，所以，所以，
所以，
所以的面积.