内蒙古呼伦贝尔市2024届高三下学期一模数学（理）试卷(含答案)

这是一份内蒙古呼伦贝尔市2024届高三下学期一模数学（理）试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．设,则在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．已知是正项等比数列,且,则( )
A.B.2C.4D.
4．经调查,在某商场扫码支付的老年人,中年人,青年人的比例为2:3:6,取了一个容量为n的样本进行调查,其中中年人的人数为12,则( )
A.36B.44C.56D.64
5．设x满足约束条件,则的最小值为( )
A.8B.2C.D.
6．已知函数的图象如图所示,则函数的解析式可能为( )
A.B.
C.D.
7．已知l,m是两条不同的直线,,是两个不同的平面,且,,现有下列四个结论:①若,则;
②若,则;
③若,则;
④若,则,其中所有正确结论的序号是( )
A.①④B.②④C.①②③D.②③
8．若,,则的最小值为( )
A.B.6C.8D.12
9．已知P是抛物线上的一点,F是抛物线C的焦点,O为坐标原点,当时,,则抛物线C的方程为( )
A.B.C.D.
10．在中,,,,则( )
A.B.6C.D.
11．已知三棱锥的顶点都在球O上,且,,,,,点Q为PB中点,则过Q的平面截球O所得的截面面积最小值为( )
A.B.C.D.
12．已知函数,的定义域均为R,为奇函数,为偶函数,,,则( )
A.B.1C.2023D.2024
二、填空题
13．的展开式中的系数为________.
14．已知函数的图像的一条对称轴为直线,则________.
15．双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点F,则双曲线C的离心率为________.
16．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究·杨辉之后一般被称为“垛积术”.现有高阶等差数列前几项分别为1,4,8,14,23,36,54,则该数列的第21项为________.
(注:)
三、解答题
17．在锐角的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,
（1）求;
（2）若,求的面积.
18．当AIGC(生成式人工智能)领域的一系列创新性技术有了革命性突破,全球各大科技企业积极拥抱AIGC,我国有包括A在内的5家企业加码布局AIGC生成算法赛道,有包括B,C在内的5家企业加码布局AIGC的自然语言处理赛道,某传媒公司准备发布（2023年中国AIGC发展研究报告）,先期准备从上面的10家企业中随机选取4家进行采访.
（1）若在布局不同的赛道中各选取2家企业,求选取的4家企业中,企业A,B,C至少有2家的概率.
（2）记选取的4家科技企业中布局AIGC的是生成算法赛道的企业个数为X,求X的分布列与期望.
19．如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD为菱形,平面ABCD,,,,.
（1）证明:平面平面BDEF;
（2）试问线段CD上是否存在一点P,使得平面AEF与平面BFP夹角的余弦值为?若存在,请判断点P的位置;若不存在,请说明理由.
20．已知椭圆的焦距为6,圆9与椭圆C有且仅有两个公共点
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）已知动直线l过曲线C的左焦点F,且与椭圆C分别交于P,Q两点,试问x轴上是否存在定点R,使得为定值?若存在,求出该定点坐标;若不存在,请说明理由.
21．已知函数.
（1）判断函数的单调性
（2）证明:①当时,;
②,.
22．在平面直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为
（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程;
（2）已知点,直线l与曲线C交于A,B两点,求的值.
23．已知函的最小值为m.
（1）求m的值;
（2）若a,b为正数,且,求的最大值.
参考答案
1．答案：A
解析：不等式,解得,
则有,又,
所以.
故选:A
2．答案：D
解析：因为,
所以,对应点坐标为,位于第四象限.
故选:D
3．答案：C
解析：是正项等比数列,由,
得,得.
故选:C
4．答案：B
解析：用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中中年人的人数为12,
则,解得.
故选:B
5．答案：D
解析：不等式组对应的可行域如图所示,当动直线平移到A时取最小值.
由可得,故.
故,
故选:D.
6．答案：B
解析：对于A,函数的定义域为R,而题设函数的图象中在自变量为0时无意义,不符合题意,排除;
对于C,当时,,不符合图象,排除;
对于D,当时,,不符合图象,排除.
故选:B
7．答案：A
解析：对于①若,由于,故,①正确;
对于②若,则l可能在内,②错误;
对于③若,则l,m可能平行,③错误;
对于④若,则设过m的平面与交于n,则,
由于,故,而,故,④正确,
故选:A
8．答案：C
解析：由题意,设函数,,直线,
设直线与函数的切点为
可得,可得,解得,可得,
即切点坐标为,则切点到直线的距离为,
又因为表示点P到直线的距离为平方,
所以的最小值为.
故选:C.
9．答案：A
解析：过P作准线的垂线,垂足为,过F作的垂线,垂足为D,
则,
又,则,
所以,
解得,所以抛物线C的方程为.
故选:A.
10．答案：A
解析：,有,
由,得.
由,
得,
所以,即.
故选:A
11．答案：D
解析：取PC的中点为M,连接MA,MB,
中,因为,,,所以.
中,,,,所以.
中,,,,所以,从而,故.
因为,,,平面ABC,平面ABC,
所以平面ABC,而平面ABC,故,
而,,PA,平面PAB,故平面PAB,
而平面PAB,故,所以,
故M为三棱锥外接球的球心,故M即为O,连接QO,
当过Q的截面与OQ垂直时,截面面积最小,
因为平面PAB,且,所以平面PAB,
所以截面半径,所以截面面积的最小值为.
故答案为:.
12．答案：A
解析：因为为偶函数,所以①,
因为,所以,
结合①有②,
因为为奇函数,所以,所以,
结合②有,所以,所以,
所以的周期为8.因为,所以,
同理,由,得,
所以,,
因为,所以,即,
因为,所以,
所以,所以,
所以的周期为8,所以,
由,得,
由,得,所以,
所以.
故选:A.
13．答案：
解析：的展开式的通项,
令,解得,
所以,
所以展开式中的系数为.
故答案为:
14．答案：
解析：由题意可得,则函数,其中,
由于函数的一条对称轴的方程为,
故有,即,
则,,故.
故答案为:.
15．答案：2
解析：由点在双曲线C的一条渐近线上,可得,
记坐标原点为O,则,即.
因为,所以,故双曲线C的离心率为.
故答案为:2
16．答案：1391
解析：设题设高阶等差数列为,
令,设数列的前n项和为,则数列的前几项分别为3,4,6,9,13,18,,
令,设数列的前n项和为,则数列的前几项分别为1,2,3,4,5,,
易得,所以,故,
则,
所以,所以.
故答案为:1391
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为为锐角三角形,则A,B,
因为,则,
因为,可得,
所以.
（2）因为,
由余弦定理可得,即,
整理得.则或(舍去);
所以的面积为.
18．答案：（1）;
（2）分布列见解析,2.
解析：（1）因为从上面的10家科技企业布局的两条赛道中各随机选取2家共有种不同的选法,
选取的4家科技企业中,企业A,B,C至少有2家共有种不同的选法,
所以选取的4家科技企业中,企业A,B,C至少有2家的概率为.
（2）
X可以取0,1,2,3,4,
,,
,,,
所以X的分布列为
所以.
19．答案：（1）证明见解析
（2）存在,P为CD的中点
解析：（1）证明:因为四边形ABCD为菱形,所以.
因为平面ABCD,平面ABCD,所以.
又因为,且平面BDEF,所以平面BDEF.
因为平面FAC,所以平面平面BDEF.
（2）设,以O为坐标原点,,的方向分别为x,y
轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,,
设,,则
设平面AEF的法向量为,因为,,
所以,令,则.
设平面BFP的法向量为,因为,,
所以,令,则.
因为平面AEF与平面BFP夹角的余弦值为,
所以,
解得或(舍去),
所以存在P满足题意,且P为CD的中点.
20．答案：（1）;
（2）存在,
解析：（1）根据题意得,所以,
所以椭圆C的标准方程为.
（2）①当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为,联立椭圆C的方程,可得,设,,则,.
设,则
,
若为定值,则,解得.
此时,R点的坐标为.
②当直线的斜率不存在时,直线l的方程为,代入,得不妨设,,若,则,,.
综上,在x轴上存在点,使得为定值.
21．答案：（1）答案见解析;
（2）①证明见解析;②证明见解析.
解析：（1）由于,定义域为,
则,
①当时,,令,得,令,得,
所以在上单调递增,在上单调递减;
②当时,时,;当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减;
③当时,时,,时,,
所以在,上单调递增,在上单调递减;
④当时,,所以在上单调递增;
⑤当时,时,,
时,,
所以在,上单调递增,在上单调递减.
综上,当时,在上单调递增,在上单调递减;
当时,在,上单调递增,在上单调递减;
当时,在上单调递增;
当时,在,上单调递增,在上单调递减.
（2）证明:①由（1）知,当时,在上单调递增,在上单调递减,
所以,故;
②由（1）可得,当时,,即,则,
仅当时等号成立,
所以,所以,即得,
令,则,所以,即,
令,则,且不恒为零,
所以在上单调递增,所以,所以,
所以,,
所以.
22．答案：（1）,;
（2）.
解析：（1）由(为参数),
消参得曲线C的直角坐标方程为.
由得,
则直线l的直角坐标方程为.
（2）易知点在直线l上,直线l的参数方程可写为(t为参数),
代入,得.
设A,B对应的参数分别为,,则
.
23．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）,
当时,,
当时,,
当时,,
,即.
（2）由（1）可得,
,
因为,所以,
所以的最大值为,
当且仅当,即,时,等号成立.
综上所述:最大值为.
X
0
1
2
3
4
P