四川省资阳市2024届高三二模数学（文）试卷(含答案)

这是一份四川省资阳市2024届高三二模数学（文）试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．复数，则( )
A.1B.C.2D.4
3．已知向量，，则( )
A.10B.18C.D.
4．已知命题，，则为( )
A.，B.，
C.，D.，
5．甲、乙两人进行了10轮的投篮练习，每轮各投10个，现将两人每轮投中的个数制成如下折线图：
下列说法正确的是( )
A.甲投中个数的平均数比乙投中个数的平均数小
B.甲投中个数的中位数比乙投中个数的中位数小
C.甲投中个数的标准差比乙投中个数的标准差小
D.甲投中个数的极差比乙投中个数的极差大
6．执行如图所示的程序框图，若输入的x值为2023，则输出的y值为( )
A.B.C.D.
7．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则( )
A.2B.C.D.
8．已知，为双曲线的左、右焦点，点A在C上，若，，的面积为，则C的方程为( )
A.B.
C.D.
9．若直线与曲线相切，则( )
A.B.C.D.
10．函数的图象经过点，将该函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象关于原点对称，则的最小值是( )
A.B.C.3D.
11．在正方体中，下列结论正确的是( )
A.与所成的角为B.与所成的角为
C.与所成的角为D.与所成的角为
12．已知O为坐标原点，，是椭圆的左、右焦点，A，B分别为C的左、右顶点.P为C上一点，且轴，直线与y轴交于点M，直线与交于点Q，直线与y轴交于点N.若，则C的离心率为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．已知函数为偶函数，则实数__________.
14．已知实数x，y满足，则的最大值为__________.
15．在正四棱台内有一个球与该四棱台的每个面都相切，若，，则该四棱台的高是__________.
16．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，四日织24尺，且第七日所织尺数为前两日所织尺数之积.则第十日所织尺数为？译为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，前4天织了24尺布，且第7天所织布尺数为第1天和第2天所织布尺数的积.问第10天织布尺数为__________.
三、解答题
17．某工厂注重生产工艺创新，设计并试运行了甲、乙两条生产线.现对这两条生产线生产的产品进行评估，在这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了300件进行测评，并将测评结果（“优”或“良”）制成如下所示列联表：
（1）通过计算判断，是否有的把握认为产品质量与生产线有关系？
（2）现对产品进行进一步分析，在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取了6件产品.若在这6件产品中随机抽取2件，求这2件产品中至少有一件产自于甲生产线的概率.
附表及公式：
其中，.
18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若为锐角三角形，，求面积的取值范围.从①；②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19．已知O为坐标原点，过点的动直线l与抛物线相交于A，B两点.
（1）求；
（2）在平面直角坐标系中，是否存在不同于点P的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
20．如图，在三棱柱中，直线平面，平面平面.
（1）求证：；
（2）若，在棱上是否存在一点P，使得四棱锥的体积为？若存在，指出点P的位置；若不存在，请说明理由.
21．已知函数.
（1）若，判断在上的单调性，并说明理由；
（2）当，探究在上的极值点个数.
22．在直角坐标系中，已知曲线（其中），曲线（t为参数，），曲线（t为参数，，）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求C的极坐标方程；
（2）若曲线C与，分别交于A，B两点，求面积的最大值.
23．设函数.
（1）解不等式；
（2）令的最小值为T，正数a，b满足，证明：.
参考答案
1．答案：B
解析：，
则.
故选：B.
2．答案：C
解析：，则，
故选：C.
3．答案：A
解析：因为向量，，
所以，
故选:A.
4．答案：D
解析：因为命题，，
则为：，.
故选：D.
5．答案：C
解析：甲的数据：8，10，9，6，7，9，6，9，10，8，乙的数据：9，5，10，5，3，6，4，3，6，10，
A.甲投中个数的平均数为，
乙投中个数的平均数为，故错误；
B.甲的数据从小到大排序为：6，6，7，8，8，9，9，9，10，10，则中位数为，
乙的数据从小到大排序为：3，3，4，5，5，6，6，9，10，10，则中位数为，故错误；
C.由折线图知：甲的波动相对乙的波动较小，所以甲投中个数的标准差比乙投中个数的标准差小，故正确；
D.甲投中个数的极差为，乙投中个数的极差为：，故错误，
故选：C.
6．答案：D
解析：第1次循环：；
第2次循环：；
第3次循环：；
由以上可知，第次循环：；
当时，一直循环，所以由，且，解得；
因此，第506次循环：，即，
则，输出.
故选：D.
7．答案：C
解析：由题意可得，解得，
所以.
故选：C.
8．答案：B
解析：因为，所以，
又因为点A在C上，所以，
即，所以，，
在中，由正弦定理得，
所以，
又，所以，故，
则，所以，
则，所以，
所以，
所以C的方程为.
故选：B.
9．答案：C
解析：设切点为，则由题意可知，
所以.
故选：C.
10．答案：A
解析：因为函数的图象经过点，
所以，
又，所以，
将的图象向右平移个单位长度后，
所得函数图象的解析式为，
因为的函数图象关于原点对称，
所以，，得，，
因为，所以当时，取得最小值.
故选：A.
11．答案：A
解析：如图正方体中，设其棱长为1，
易知直线与直线平行，所以与所成的角即为与所成的角，
即为，而三角形为正三角形，所以，所以A正确；
同理与平行，与所成的角即为与所成角，即为，三角形为正三角形，所以，所以C错误；
因为，，，平面，平面，
所以平面，所以与所成的角即为，则B错误；
因为与平行，所以与所成角与与所成的角相等，
即为，三角形中，，，，
所以不为，则D错误；
故选：A.
12．答案：B
解析：不妨令点P在第一象限，设，
因为，
在中，则，
即，所以，
在中，则，
即，所以，
在中，则，
所以，所以，
因为，
所以，所以，
即C的离心率为.
故选：B.
13．答案：0
解析：函数的定义域是R，定义域R关于原点对称；
，
由于为偶函数，
得到恒成立；
即对于，恒成立，
所以.
故答案是：0.
14．答案：11
解析：由约束条件，画出可行域，如图：
令，化为斜截式方程得，
由图可知，当直线过点B时，直线在y轴上的截距最大.
由得，即.
所以点代入目标函数可得最大值，即最大值为.
故答案为：11.
15．答案：
解析：设球O与上底面、下底面分别切于点，，
与面，面分别切于点E、F，
作出其截面如图所示，则，，
于是，
过点M作于点H，则，
由勾股定理可得︰，
所以，
所以该四棱台的高是.
故答案为：.
16．答案：21
解析：由题，每天织布尺数为等差数列，设为，公差为d，则，
因为，，
所以，解得，.
故答案为：21.
17．答案：（1）见解析，有的把握认为产品质量与生产线有关系
（2）见解析，
解析：（1），
所以有的把握认为产品质量与生产线有关系.
（2）在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取6件产品，
则应在甲生产线抽取件产品，记为A，B，
在乙生产线抽取件产品，记为a，b，c，d，
在这6件产品中随机抽取2件，共有，，，，，，，，，，，，，，共15种，其中2件产品中至少有一件产自于甲生产线的有，，，，，，，，共有9种，
故所求概率，
所以这2件产品中至少有一件产自于甲生产线的概率为.
18．答案：选择①，面积的取值范围为；选择②，面积的取值范围为
解析：若选择①，由正弦定理，，
同理，
，
又为锐角三角形，，，，
解得，
，即，
所以，
所以面积的取值范围为.
若选择②，由正弦定理，，
，
又为锐角三角形，，，，
解得，，即，
，
所以面积的取值范围为.
19．答案：（1）
（2）存在，
解析：（1）显然直线l不垂直于y轴，设直线l的方程为，，，
由消去x并整理得，显然，于是，
所以.
（2）由（1）知，，
假定存在不同于点P的定点Q，使得恒成立，由抛物线对称性知，点Q在x轴上，设，
则直线，的斜率互为相反数，即，即，
整理得，即，亦即，而t不恒为0，则，
所以存在不同于点P的定点Q，使得恒成立，点Q的坐标为.
20．答案：（1）证明见讲解
（2）当点P为中点时，四棱锥的体积为，理由见详解
解析：（1）过点B作，垂足为D，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
又因为平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以.
（2）当点P为中点时，四棱锥的体积为，理由如下：
过点P作，交于点Q，
因为平面，平面，所以，
又，所以，
由（1）可知，，
所以，即，所以，
设点P到平面的距离为h，
则，
所以，即P到平面的距离为1，
在三棱柱中，，
由（1）可知，平面，所以平面，
又，所以，
又，平面，平面，
所以平面，
所以Q到平面的距离为1，即，
故Q为中点，所以P为中点时，四棱锥的体积为.
21．答案：（1）时，在上单调递增.理由见解析
（2）当时，在上的极值点个数为0；当时，在上的极值点个数为1
解析：（1）时，，，，，所以在上单调递增.
（2）由，得，
依题意，只要探究在上的变号零点个数即可，
令，，则，
①当，即时，，此时在上恒成立，
则即单调递增，，在上无零点，
在上的极值点个数为0.
②当，即时，
，使得，即，
当，；当，，
所以即在上单调递增，在上单调递减，
由于，，
若，即时，在上无零点，
在上的极值点个数为0.
若，即时，在上有1个变号零点，
在上的极值点个数为1.
综上所述，当时，在上的极值点个数为0；
当时，在上的极值点个数为1.
22．答案：（1），
（2）1
解析：（1）因为曲线（其中），且，，
所以C的极坐标方程为，，即，.
（2）由题意可知：曲线（t为参数，）表示过坐标原点，倾斜角为的直线，
所以曲线的极坐标方程为；
曲线（t为参数，，），即，
表示过坐标原点，倾斜角为的直线，所以曲线的极坐标方程为；
可得，，，
注意到，则，
可得面积，
当且仅当，即时，等号成立，
所以面积的最大值为1.
23．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）依题意，函数，
当时，化为，解得，因此，
当时，化为，解得，因此，
当时，化为，解得，无解，
所以不等式的解集为.
（2）由（1）知，当时，，当时，，当时，，
因此，则，，，即有，
显然，当且仅当时取等号，
因此，即，
所以.
良
优
合计
甲生产线
40
80
120
乙生产线
80
100
180
合计
120
180
300
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635