河北省沧州市部分示范性高中2024届高三下学期三模数学试题（原卷版+解析版）

这是一份河北省沧州市部分示范性高中2024届高三下学期三模数学试题（原卷版+解析版），共26页。试卷主要包含了 已知函数，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A. B.
C. D.
2. 若复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 公差不为零的等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A. 4B. 6C. 7D. 9
4. 自“”横空出世，全球科技企业掀起一场研发大模型的热潮，随着算力等硬件底座逐步搭建完善，大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用．函数和函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数，函数的解析式为，经过某次测试得知，则当把变量减半时，（ ）
A. B. 3C. 1D. 或3
5. 已知抛物线的焦点为，斜率为的直线经过点与抛物线交于两点，为坐标原点，若的面积为，则（ ）
A 1B. C. D. 2
6. 对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边中，，以三条边为直径向外作三个半圆，是三个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（ ）
A. B. C. 1D.
7. 《几何补编》是清代梅文鼎撰算书，其中卷一就给出了正四面体，正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种正多面体的体积求法.若正四面体的棱长为，为棱上的动点，则当三棱锥的外接球的体积最小时，三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数的值域与函数的值域相同，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某社区有甲、乙两队社区服务小组，其中甲队有3位男士、2位女士，乙队有2位男士、3位女士．现从甲队中随机抽取一人派往乙队，分别以事件和表示从甲队中随机抽取一人抽到的是男士和女士；以事件B表示从乙队（甲队已经抽取一人派往乙队）中随机抽取一人抽到的是男士，则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 对任意实数，都有，则
B. 若，函数在上单调递增函数，则
C. 若，函数在上的最大值为，最小值为，则的最小值为
D. 若，函数在上有最小值，则实数的取值可以为
11. 已知椭圆上顶点、左顶点为为椭圆上异于点的两个不同点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若直线的斜率之和为，则直线恒过定点
B. 若直线的斜率之积为，则直线恒过定点
C. 若直线的斜率之和为，则直线恒过定点
D. 若直线的斜率之积为.则直线恒过定点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知的二项展开式中常数项为60，则______.
13. 光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对介质1的折射率.如图，一个折射率为的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以的入射角从空气中射入点，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为______.
14. 若不等式，对于恒成立，则的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15 已知数列满足，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：.
16. 双十一网购狂欢节源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的促销活动，当时参与的商家数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是11月11日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期.某工厂现有工人50人，将他们的年产量进行统计，将所得数据按照，，，分成4组，制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值及年产量的第75百分位数；
（2）假设年产量在中的工人中有名女性，从该区间的人中随机抽取10人进行奖励，其中女性恰有人，记，则当为何值时，取得最大值.
17. 如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点.

（1）证明：平面平面；
（2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.
18. 已知双曲线左焦点为，经过点的直线交双曲线于点，，当直线轴时，.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知点，直线与双曲线交于两点，且的面积为，证明：点在双曲线上.
19. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若有两个极值点，证明：.
高三数学考试
本试卷满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合A，根据集合的运算求解.
【详解】，
，
图中阴影部分表示的集合是,
．
故选：B．
2. 若复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】求出，化简复数，利用复数的几何意义可得出结论.
【详解】由题得，
，，其对应的点位于第四象限.
故选：D．
3. 公差不为零的等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A. 4B. 6C. 7D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列的前n项和公式结合等差数列的性质即可得解.
【详解】设公差为，
，
，∴，．
故选：C．
4. 自“”横空出世，全球科技企业掀起一场研发大模型的热潮，随着算力等硬件底座逐步搭建完善，大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用．函数和函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数，函数的解析式为，经过某次测试得知，则当把变量减半时，（ ）
A. B. 3C. 1D. 或3
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由得到求解.
详解】解：，
，，（舍）．
，
．
故选：A
5. 已知抛物线的焦点为，斜率为的直线经过点与抛物线交于两点，为坐标原点，若的面积为，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】联立直线与抛物线方程，利用韦达定理表示，再根据面积求得的值.
【详解】设直线的方程为，设的坐标分别为
联立直线与抛物线的方程，得，消去，得.
则
，.
故选：C.
6. 对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边中，，以三条边为直径向外作三个半圆，是三个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点作，设，，得到，再由，求得，结合圆的性质，当与半圆相切时，最大，分别求得的长，即可求解.
【详解】如图所示，过点作，交直线于点，
则，可得.
设，，则，
因为，所以，
由图可知，当与半圆相切时，最大，
又由，，可得，
所以，即最大为，所以的最大值为.
故选：B.
7. 《几何补编》是清代梅文鼎撰算书，其中卷一就给出了正四面体，正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种正多面体的体积求法.若正四面体的棱长为，为棱上的动点，则当三棱锥的外接球的体积最小时，三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意确定三棱锥的外接球的体积最小时球心的位置，由此可求出三棱锥的高，利用体积公式，即可求得答案.
【详解】如图，在正四面体中，假设底面，则点为外心.
在上取一点，满足，则，
则为三棱锥的外接球球心，
当取得最小值时，最小，三棱锥的外接球体积最小，
此时点与点重合.作，垂足为，，
为三棱锥的高.
由正四面体的棱长为，知，，
，.
设，则，故，.
由，得，
解得.，
.
故选：A.
8. 已知函数的值域与函数的值域相同，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用导数求出函数的值域，再根据条件列不等式，解得结果.
【详解】因为，，定义域为.
所以.
当时，，即在单调递增，
当时，，即在单调递减，
所以当时，取得最大值为.
所以函数的值域为.
令，则，
要使函数的值域为，
则，解得或，
综上，.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某社区有甲、乙两队社区服务小组，其中甲队有3位男士、2位女士，乙队有2位男士、3位女士．现从甲队中随机抽取一人派往乙队，分别以事件和表示从甲队中随机抽取一人抽到的是男士和女士；以事件B表示从乙队（甲队已经抽取一人派往乙队）中随机抽取一人抽到的是男士，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】事件，事件不能同时发生，求出，，，，，根据条件概率、全概率公式计算逐项判断可得答案.
【详解】对于A，依题意，事件，事件不能同时发生，，故A正确；
对于B，，，，故B正确；
对于C，，
，故C正确；
对于D，，故D错误．
故选：ABC．
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 对任意实数，都有，则
B. 若，函数在上是单调递增函数，则
C. 若，函数在上的最大值为，最小值为，则的最小值为
D. 若，函数在上有最小值，则实数的取值可以为
【答案】ACD
【解析】
【分析】A由，可求的值；B求出单调区间为，则是的一个子区间，可求的范围；C由，令，，则问题转化为在上的最大值为，最小值为，根据的图象求解；D由，有，可解的取值范围.
【详解】选项A，易知为最大值或最小值，则是的一条对称轴的方程.
，，，，，正确；
选项B，令，解得.
在区间上是单调递增函数，则是的一个子区间.
当时，，则，错误；
选项C，当时，.
令，，则问题转化为在上的最大值为，最小值为.
要使最小，则的最大值或最小值点是区间的中点.
根据的图象特点，由周期性不妨取或，解得或.
当时，，，；
当时，，，，正确；
选项D，，，
根据正弦函数图象知，在上有最小值，则，解得，正确.
故选：ACD.
11. 已知椭圆的上顶点、左顶点为为椭圆上异于点的两个不同点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若直线的斜率之和为，则直线恒过定点
B. 若直线的斜率之积为，则直线恒过定点
C. 若直线的斜率之和为，则直线恒过定点
D. 若直线的斜率之积为.则直线恒过定点
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项，设直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，根据得到方程，求出，得到直线恒过定点；B选项，在A选项基础上，得到方程，求出，得到恒过定点；C选项，根据斜率公式得到方程，求出或，求出恒过定点；D选项，根据斜率之积为-1得到方程，求出直线恒过定点.
【详解】A选项，易知，，设，.
依题意，设直线的方程为.
，，，.
联立得.
，.
，
，
.
代入整理，得.
，，
.
直线恒过定点，A正确；
B选项，，
代入整理，得，解得或（舍去）.
直线恒过定点，B正确；
C选项，
，
代入整理，得，
或，恒过定点或，
由于，故舍去，C正确；
D选项，.代入整理，得，
解得或，恒过定点或.
由于，故舍去，
直线恒过定点，D错误.
故选：ABC.
思路点睛：处理定点问题
（1）确定题目中的核心变量（此处设为），
（2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，
①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知的二项展开式中常数项为60，则______.
【答案】
【解析】
【分析】求出二项展开式的通项，再令的指数等于零，即可得解.
【详解】展开式的通项为，
令，得，则的常数项为，
当常数项为60时，.
故答案为：.
13. 光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对介质1的折射率.如图，一个折射率为的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以的入射角从空气中射入点，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】依题意入射角，设折射角为，求出，即可求出点坐标，再求出所在直线的倾斜角，即可求出斜率，再由点斜式计算可得.
【详解】如图，入射角，设折射角为，，，
则，，
所以，则，，
所以，且.
该光线再次返回空气中时，其所在直线的倾斜角为，
则其所在直线的斜率为
，
直线的方程为，整理得.
故答案为：
14. 若不等式，对于恒成立，则的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】令，利用导数求得的单调性和最小值，根据题意转化为，再令，利用导数求得的单调性和最大值，即可求解.
【详解】令函数，则，
由，解得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，
也是最小值为，
由不等式，可得，
所以，
令，则，
当时，；当时，，
所以上单调递增，在上单调递减，
即，即，所以的最大值为.
故答案为：.
方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知数列满足，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由数列的递推公式，利用累乘法即可求解；
（2）对进行不等式放缩，即可证明不等式.
【小问1详解】
，，，
，两式相除，得，
当，时，，，即；
当，时，，，即，
综上所述，数列的通项公式为；
【小问2详解】
，
，
又，
.
16. 双十一网购狂欢节源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的促销活动，当时参与的商家数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是11月11日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期.某工厂现有工人50人，将他们的年产量进行统计，将所得数据按照，，，分成4组，制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值及年产量的第75百分位数；
（2）假设年产量在中的工人中有名女性，从该区间的人中随机抽取10人进行奖励，其中女性恰有人，记，则当为何值时，取得最大值.
【答案】（1）0.010，180
（2）6
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质即可求得a的值，结合百分位数的含义即可求得第75百分位数；
（2）求出产量在中的工人人数，根据超几何分布的概率计算可求出的表达式，判断其单调性，即可求得答案.
【小问1详解】
由题意得，
设产量的第75百分位数为，前两组频率之和为0.6，前三组频率之和为0.9，
则，，解得，
年产量的第75百分位数为180；
【小问2详解】
产量在中的工人有（人），
，，
若，则，
解得，
若，则，
故当时，；当时，，
故当时，取得最大值.
17. 如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点.

（1）证明：平面平面；
（2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；
（2）存在，1.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明推理即得.
（2）由（1）中坐标系，假定存在，利用线面角的向量求法列式计算即得.
【小问1详解】
在直三棱柱中，，则直线两两垂直，
以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，

，，，，，，
，，，，
设平面的法向量为，则，令，得 ，
设平面的法向量为，则，令，得 ，
显然，点平面，所以平面平面.
【小问2详解】
假设线段上存在点满足条件，，，
设直线与平面所成的角为，
则，
化简得，而，解得，
所以存在点符合题意，此时.
18. 已知双曲线左焦点为，经过点的直线交双曲线于点，，当直线轴时，.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知点，直线与双曲线交于两点，且的面积为，证明：点在双曲线上.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）代入点的坐标即可求解；
（2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理表示出的面积，再证明满足双曲线方程即可.
【小问1详解】
依题意，双曲线过点，
代入双曲线解析式，得，解得，
所以双曲线的标准方程为；
【小问2详解】
证明：直线与双曲线方程联立得消去并整理可得，
所以，则，
设，，则，，
所以
，
点到直线的距离为，
所以的面积为，
令，则，，，，
则，所以，则点在双曲线上.
19. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若有两个极值点，证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）当时，求得，利用导数的几何意义，求得切线方程，求得在坐标轴上的截距，进而求得围成三角形的面积；
（3）根据题意，得到有两个不等正根，设，得到得单调性，求得，，令，求得为单调递增，结合，得到，令，求得函数在上单调递减，得到，即可得证.
【小问1详解】
当时，函数，可得，
所以，，所以切线方程为，
当时，；当时，，
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为.
【小问2详解】
依题意，有两个不等正根，不妨设，
由得，设，则，
令，得；令，得；
所以在上单调递减，在上单调递增，
且当时，，可得，，
且，，
令，所以，
当时，，可得，
当时，，可得，
所以在上单调递增，
因为，所以，，
再令，可得，
当时，，上单递减；
当时，，在上单递减，
所以，所以，所以，
令，，可得，
所以在上单调递减，所以，即，
所以，所以，，
所以.
方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.