人教A版数学--圆锥曲线的方程专题五

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典例1、已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线的右顶点在圆上，且．
（1）求双曲线的方程；（2）动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，设为坐标原点．求证：的面积为定值．
随堂练习：已知双曲线C：的离心率为，焦点到其渐近线的距离为1．
（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知直线l：与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为，求△OAB的面积．
典例2、已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为．
（1）求双曲线的方程；（2）经过点的直线与双曲线的右支交与两点，与轴交与点，点 关于原点的对称点为点，求证：．
随堂练习：已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，的左､右焦点分
别为，，且到的一条渐近线的距离为1.
（1）求的标准方程；（2）若是与在第一象限的交点，与的另一个交点为P，与的另一个交点为，与的面积分别为，，求.
典例3、已知双曲线：的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1．
（1）求双曲线的标准方程与离心率；（2）已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的A，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为，求的面积．
随堂练习：在平面直角坐标系中中，已知双曲线的一条渐近线方程为，
过焦点垂直于实轴的弦长为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线交于两点，且，若的面积为，求直线的方程.
知识点二 直线与抛物线交点相关问题,根据韦达定理求参数
典例4、已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线l交抛物线C于A（x1，y1）和B（x2，y2）两点.
（1）当x1+x2＝8时，求直线l的方程；（2）若过点P（2，0）且垂直于直线l的直线l'与抛物线C交于M，N两点，记△ABF与△MNF的面积分别为S1与S2，求S1S2的最小值.
随堂练习：已知抛物线的焦点为，斜率为2的直线与抛物线相交于、两点．
（1）若直线与抛物线的准线相交于点，且，求直线的方程；
（2）若直线不过原点，且，求的周长．
典例5、已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点．
（1）当l的倾斜角为时，若，求；（2）设点，且，求l的方程．
随堂练习：已知抛物线的焦点为，直线过点，且与抛物线交于、两点，．
（1）求的取值范围；（2）若，点的坐标为，直线与抛物线的另一个交点为，直线与抛物线的另一个交点为，直线与轴交于点，求的取值范围．
典例6、已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于M，N两点，交y轴于P点，点N位于点M和点P之间.
（1）若，求直线l的斜率；（2）若，证明：为定值.
随堂练习：已知抛物线的焦点为．
（1）如图所示，线段为过点且与轴垂直的弦，动点在线段上，过点且斜率为1的直线 与抛物线交于两点，请问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；
（2）过焦点作直线与交于两点，分别过作抛物线的切线，已知两切线交于点，求证：直线､、的斜率成等差数列．
人教A版数学--高考解析几何复习专题五答案
典例1、答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）不妨设 , 因为,
从而 故由 , 又因为, 所以 ,
又因为 在圆 上, 所以
所以双曲线的标准方程为：
（2）设直线与轴交于点，双曲线的渐近线方程为
由于动直线与双曲线恰有1个公共点, 且与双曲线的两条渐近线分别交于点,
当动直线的斜率不存在时, ,，,
当动直线的斜率存在时, 且斜率, 不妨设直线 ,
故由
依题意，且 , 化简得 ,
故由 , 同理可求,,
所以 又因为原点到直线的距离,
所以,又由 所以,
故的面积是为定值,定值为
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）双曲线C：的焦点坐标为，其渐近线方程为，
所以焦点到其渐近线的距离为． 因为双曲线C的离心率为，
所以，解得， 所以双曲线C的标准方程为．
（2）设，， 联立，得，，
所以，．
由， 解得t＝1（负值舍去），
所以，． 直线l：，所以原点O到直线l的距离为，
， 所以△OAB的面积为．
典例2、答案：（1）；（2）证明见解析．
解：（1）由题意得，，
解得所以双曲线的方程为：
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：，得，，
设，， 联立，整理可得
， 所以
所以
直线与双曲线右支有两个交点，所以
所以，设，

所以
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）双曲线的离心率为： 故椭圆的离心率为：
双曲线的一条渐近线方程为：
设的坐标为：，则，解得
又，解得， 故椭圆的标准方程为：
（2）联立方程组： 解得：，即点坐标为：
直线的斜率为： 则直线的方程为：
联立方程组： 解得：或
即点坐标为，点到的距离为
联立方程组： 解得：或
即点坐标为，点到的距离为 则，即
典例3、答案： （1），离心率为 （2）
解：（1）由题意知焦点到渐近线的距离为， 则
因为一条渐近线方程为，所以， 又，解得，，
所以双曲线的标准方程为， 离心率为．
（2）设直线：，，， 联立
则， 所以，
由
解得或（舍去）， 所以，
：，令，得，
所以的面积为

随堂练习：答案： （1） （2）或
解：（1）过C的焦点垂直于实轴的弦长为6，将代入双曲线，得，则①，
又C的一条渐近线方程为，则②， 由①②解得，，
所以双曲线C的方程为．
（2）显然，当直线OA斜率为0或不存在时均不符合题意．
当直线OA斜率存在且不为0时，设直线OA的斜率为k，则方程为．
联立，整理得，于是得
则，同理可得，
因为 整理得，解得．
即或 （满足）．
考虑到，只需分以下两种情形：
①当OA、OB的斜率为、时，
结合得或，
同理可得或，
于是由点、，据直线的两点式方程并化简可得AB方程，
同理可得AB的方程为或或．
②同理，当OA、OB的斜率为、时，
直线AB的方程为，或或或
综上，直线AB的方程为或
典例4、答案：（1）x﹣y﹣2＝0或x+y﹣2＝0；（2）12.
解:（1）直线l过定点P（2，0），在x轴上，且直线l与抛物线相交，则斜率一定不为0，
可设直线l的方程为x＝my+2，联立抛物线的方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣8＝0，
可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，所以x1+x2＝my1+2+my2+2＝m（y1+y2）+4＝4m2+4，
因为x1+x2＝8，所以4m2+4＝8，解得m＝±1，
所以直线l的方程为x﹣y﹣2＝0或x+y﹣2＝0；
（2）设直线l的方程为x＝my+2，联立抛物线的方程可得y2﹣4my﹣8＝0，
可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，则S1|PF||y1﹣y2|2，
因为直线MN与直线l垂直，且当m＝0时，直线l的方程为x＝2，此时直线l'的方程为x＝0，
但此时直线l'与抛物线C没有两个交点，所以不符题意，所以m≠0，所以直线l的斜率为，
因此直线MN的斜率为﹣m（m≠0），由点斜式方程可得直线l'的方程为y﹣0＝﹣m（x﹣2），
即mx+y﹣2m＝0， 联立抛物线的方程y2＝4x，消去y，可得m2x2﹣（4m2+4）x+4m2＝0，
设M（x3，y3），N（x4，y4），可得x3+x4，x3x4＝4，
则y3﹣y4＝m（2﹣x3）﹣m（2﹣x4）＝﹣m（x3﹣x4），
因此|y3﹣y4|＝|m||x3﹣x4|＝|m||m|，
所以S2|PF||y3﹣y4|1，
所以S1S2＝2444412，
当且仅当2m2即m＝±1时等号恒成立，所以S1S2的最小值为12.
随堂练习：答案： （1）；（2）.
解:（1）由抛物线可知，准线为，
设直线的方程为，则点的坐标为，
联立方程，消去后整理为，
又由，可得，
由点的坐标为，有，
解得或（舍去），故直线的方程为．
（2）设直线的方程为， 点、的坐标分别为，，
联立方程，消去后整理为， 可得，，
又由，可得． 又由，，
可得，
得（舍去）或．由，可得，，
所以，
， 故的周长为．
典例5、答案： （1） （2）或
解：（1）当l的倾斜角为时，l的斜率为1， 又，所以直线，
将代入，得，即，
设，，则，，
根据抛物线的几何性质可知，，，
因为， 可知，
， 所以．
（2）当轴时，，，，此时PA不垂直于PB．
当l不垂直于x轴时，设l的斜率为k，则直线，
将代入，得，即，．
设，，则，，
又，，，
所以，
即，
所以，化简有，解得，
所以l的方程为或．
随堂练习：答案： （1）（2）
解:（1）依题意，设直线为，
代入得，其判别式为， ∴．
设，为交点， ∴，．
∵焦点的坐标为， ∴，．
∵， ∴，
∴， ∴或．
∵成立． ∴．
（2）若，则，
设点，为直线、直线与抛物线的交点．
设直线为，代入得， ∴，∴，
同理可得， ∴点和的坐标分别为，．
又∵在直线上， ∴，共线，
∴， ∴．
∵，∴， ∴，设，
∴在时恒成立， ∴在单调递增，
∴的取值范围为．
典例6、答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）设，
因为过点的直线l交抛物线C于M，N两点，所以直线斜率存在，且不为0，
设直线l为， 联立与得：，
则，， 因为，所以，
故，解得：，
当时，，此时，解得：，
直线l的斜率为，满足点N位于点M和点P之间，
当时，，此时，解得：，
直线l的斜率为，满足点N位于点M和点P之间，
综上：直线l的斜率为；
（2）设，
因为过点的直线l交抛物线C于M，N两点，所以直线斜率不为0，
设直线l为，令得：，故，
联立与得：， 则，，
因为， 所以，，
解得：，， 所以，
故为定值-1.
随堂练习：答案： （1）是定值;定值为4. （2）证明见解析.
解：（1）依题意知 ，将 代入可得，
设，所以直线l的方程为 ，
联立方程 ，得： ,当不满足题意舍去，
则是定值.
（2）证明：依题意设直线的方程为； ，设点 ,
联立方程 得： ，， ，
又,点F坐标为,∴ ,
，，
，
所以直线､、的斜率成等差数列．