海南省琼海市嘉积中学2023-2024学年高一下学期教学质量监测三（月考）数学试题及答案(含答案)

这是一份海南省琼海市嘉积中学2023-2024学年高一下学期教学质量监测三（月考）数学试题及答案(含答案)，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（时间：120分钟 满分：150分）
欢迎你参加这次的考试，祝你取得好成绩。
一、单选题
1．若复数满足，则的虚部是（ ）
A．B．C．D．
2．观察下面的几何体，哪些是棱柱？（ ）
A．（1）（3）（5）B．（1）（2）（3）（5）
C．（1）（3）（5）（6）D．（3）（4）（6）（7）
3．一个圆锥底面积是侧面积的一半，那么它的侧面展开图圆心角为（ ）．
A． B． C． D．π
4．设是两个不同平面，是三条不同直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，，则 B．若，，则
C．若 , ,则 D．若，，，则
5．已知向量，，则与的夹角为（ ）
A．B． C． D．
6．如图，两点在河的两岸，在同侧的河岸边选取点，测得的距离，则两点间的距离为（ ）
A．B．C．D．
7．函数部分图象如图所示，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
8.南宋时期，秦九韶就创立了精密测算雨量、雨雪的方法，他在《数学九章》载有“天池盆测雨”题，使用一个圆台形的天池盆接雨水．观察发现体积一半时的水深大于盆高的一半，体积一半时的水面面积大于盆高一半时的水面面积，若盆口半径为，盆底半径为，根据如上事实，可以抽象出的不等关系为（ ）
A．B．C．D．
三、多选题
9.关于同一平面内的任意三个非零向量、、，下列说法正确的是 （ ）
. 若，则 . . 若∥，且∥，则∥.
. 若，则. . 若，则.
10．如图所示，在棱长为1的正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ）
A．，，三点共线 B．点C到平面的距离为
C．平面 D．直线与平面所成的角为
11.“阿基米德多面体”又称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示,将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥, 共可截去八个三棱锥, 得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体. 已知, 则下列说法正确的是（ ）
该半正多面体的顶点数V，棱数E，面数F，那么V+F-E=4；
该半正多面体的体积为；
直线AB与直线BC所成的角为60°.
该半正多面体外接球的表面积为18π；
三、填空题
12. 为虚数单位， .
13．圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图所示的是一个圆形，圆心为，、是圆上的两点，若，则 .

在中（a,b,c分别为角的对边），若，则A=
（3分）， （2分）
四、解答题
如图, 四棱锥中, 是菱形,∠DAB=60°，,PA=PD，，分别为和的中点.
(1)求证：平面；
(2)在AD上是否存在一点M，使得平面PMB⊥平面PAD？若存在请证明，若不存在请说明理由。
16.在中，（a,b,c分别为角的对边）
（1）求角C的大小；
（2）若BC=2，延长AB至点D，使得BD=，，求AB的长度。
17.如图，在正方体中，棱长为2.
（1）证明：；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
18．(17分）在中，角、、所对的边分别为、、，且满足：
(1)求角的A大小；
(2)若，，，分别为，上的两点，，，相交于点
（i）求的值；
（ii） 求证：．
19.任意一个复数z的代数形式都可写成复数三角形式，即，其中i为虚数单位，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：，，则：.如果令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题.
(1)试将写成三角形式；
(2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：；
(3)记，由棣莫弗定理得，从而得，复数，我们称其为1在复数域内的三次方根. 若为64在复数域内的6次方根.求取值构成的集合，其中,.
高一数学答案
1----8 BADD BDAD
9----11 BD AC BCD
12. i 13. 18 14. 120°或
15.（1） 证明：连接，∵底面是菱形，为的中点，
∴在上且为的中点，又是的中点，∴，
又∵平面，平面，∴平面；————6分
存在
证明如下：取AD中点M，连接PM,BM，∵PA=PD，∴PM⊥AD。
又∵ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴△ADB是等边三角形，∴BM⊥AD
而PMBM=M，PM,BM平面PMB
∴AD⊥平面PMB, AD平面PAD,∴平面PMB⊥平面PAD——————13分
(1)因为，由正弦定理得
又
————————————7分
(2)因为所以在△BCD中由余弦定理可得：BD²=BC²+CD²-2BCCDcs∠BCD，所以13=4+CD²-4，解得，
由正弦定理得，即，解得，
所以，，
在三角形ADC中由正弦定理得：，则，
解得，所以————————15分
17.
（1）连结交于点O，在正方形中，，
平面，平面，
，，，平面，
平面，又平面，.
——————————7分
（2）连结.
在正方体中，，O是线段的中点，，
在中，，，
是二面角的平面角.
在中，，，，
由余弦定理得:
.
即二面角的平面角的余弦值为.————————15分
法二：以D为原点，DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系（如图）（答卷上要作图）
（1）因为棱长为2，∴A（2,0,0）C（0,2,0）D1（0,0,2）B（2,2,0）
那么
∴AC⊥BD1————————7分
（2）由上知,平面ACB的法向量为
平面ACD1的法向量为
由
设D1-AC-B的平面角为θ，那么
又由图可知θ为钝角，∴即为所求。————————15分
18（1）因为
所以
解得或
因为，所以，所以——————7分
(2)（i）因为，，，所以由余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB. AC .csA
所以BC=.
_____12分
（ii）因为，所以，
所以，
所以，即，所以．——————17分
19.
【详解】（1）由于，故，
则；————————5分
（2）设模为1的复数为，
则
，
由复数乘方公式可得，
故；——————11分
（3）记，
由棣莫弗定理得，
从而得，所以，
所以64在复数域内的6次方根为
，
，
，
设，其中，
代入计算可得，.——————————17分