四川省南充市嘉陵第一中学2023-2024学年高一下学期第三次月考数学试题（Word版附解析）

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注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将答题卡交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知平面平面，过平面内的一条直线a的平面，与平面相交，交线为直线b，则a、b的位置关系是（ ）
A. 平行B. 相交C. 异面D. 不确定
3. 已知向量，且，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，，，则原平面图形的面积为（ ）
A. B.
C. D.
5. 若一个圆台的两个底面半径分别为1和2，体积为，则它的侧面积为（ ）
A B. C. D.
6. 已知点P在所在平面内，若，则点P是的（ ）
A. 外心B. 垂心C. 重心D. 内心
7. 如图，为了测量某铁塔高度，测量人员选取了与该塔底B在同一平面内的两个观测点C与D，现测得，，米，在点C处测得塔顶A的仰角为，则该铁塔的高度约为（ ）
（参考数据：，，，）
A. 40米B. 44米
C. 48米D. 52米
8. 在三棱锥中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知m，n是不同的直线，，是不重合的平面，则下列命题中，真命题有（ ）
A. 若，，，则
B 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
10. 在中，角所对的边分别是，若，，且满足条件的三角形有且仅有两个，则a的取值可能为（ ）
A. 9B. 10C. 11D. 12
11. 已知棱长为2的正方体，点是的中点，点在线段上，满足，则下列表述正确的是（ ）
A. 时，平面
B. 不存在，使得平面
C. 任意，三棱锥体积为定值
D. 过点的平面分别交于，则的范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，若与共线，则实数______.
13. 中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”.在如图所示的堑堵中，，则阳马的外接球的体积与表面积之比是__________.
14. 记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的取值范围是__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 设复数．
（1）在复平面内，复数对应的点在第二象限，求a的取值范围；
（2）若是纯虚数，求.
16. 如图，四棱锥中，，，E为PB的中点．
（1）求证：平面PAD；
（2）过D点是否存在一个与PA，AB相交，且与平面PBC平行的平面？若存在，指出交点位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
17. 在中，内角所对的边分别为，其外接圆的半径为，且．
（1）求角；
（2）若的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积．
18. 如图，在四棱锥中，底面菱形，，，，平面，点M，N，H分别在棱PB，PD，PC上，且．
（1）证明：；
（2）连接AC交BD于点O，连接OP.求证：平面；
（3）若H为PC的中点，PA与平面所成角为60°，四棱锥被平面截为两部分，记四棱锥体积为，另一部分体积为，求.
19. 如图，点分别是矩形的边上的两点，，.

（1）若是线段靠近的三等分点、是的中点，求；
（2）若，求的范围；
（3）若，连接交的延长线于点为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大.若存在，求的长；若不存在，说明理由.