数学：湖南省益阳市2024届高三下学期5月适应性考试试题（解析版）

这是一份数学：湖南省益阳市2024届高三下学期5月适应性考试试题（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则A的子集个数为（ ）
A. 4B. 7C. 8D. 16
【答案】C
【解析】由题意可得：，
可知A有3个元素，所以A的子集个数为.
故选：C.
2. 展开式中的系数为（ ）
A. B. 5C. 15D. 35
【答案】A
【解析】若要产生这一项，则
当在中取1时，再在中取2个、取4个1，
当在中取时，再在中取3个、取3个1，
所以展开式中的系数为.
故选：A.
3. 已知数列中，，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】由，得
，
，
，
，
，
，
则是以6为周期的周期数列，
所以.故选：C.
4. 已知正三棱锥 P－ABC 的底面边长为 ，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥 P－ABC 的体积为（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】A
【解析】因为球与该正三棱锥的各棱均相切，
所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面垂直的直线上，
又因为底面边长为，
所以底面正三角形的内切圆的半径为，
又因为球的半径，即，
所以棱切球的球心即为底面正三角形的中心点O，
如图，过球心O作PA的垂线交PA于H，则H为棱切球在PA上的垂足，

所以，
又因为，所以,
因为，所以，
又由题意可知，平面，所以，
所以
所以，
所以.
故选：A.
5. 秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为，但统计分析结果显示患病率为，医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为0.01，则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为（ ）
A. 0.96B. 0.97C. 0.98D. 0.99
【答案】C
【解析】设事件为“患有该疾病”，为“化验结果呈阳性”，
由题意可得，，，
因为，
所以，解得，
所以该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为，
故选：C.
6. 已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意，函数
，
当时，，显然，
且正弦函数在上单调递减，由在区间上的值域为，
得，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D
7. 已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知该球为圆柱的外接球，所以球心为圆柱的中心，设球半径为，
则，故该球的表面积为.
故选：C
8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，根据双曲线的光学性质可知，过双曲线上任意一点的切线平分.直线过交双曲线的右支于A，B两点，设的内心分别为，若与的面积之比为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. .
【答案】C
【解析】令圆切分别为点，
则，
，令点，而，
因此，解得，又，则点横坐标为，同理点横坐标为，
即直线的方程为，设，依题意，直线的方程分别为：
，，联立消去得：，
整理得，令直线的方程为，
于是，即点的横坐标为，
因此，所以双曲线的离心率.
故选：C
二、选择题
9. 已知，为复数，则（ ）
A. B. 若，则
C. 若，则的最小值为2D. 若，则或
【答案】BD
【解析】对于A，若，则，，则，故A错误；
对于B，设，则，
所以，而，
所以，故B正确；
对于C，设，因为，所以，
所以，
因为，所以，所以的最小值为1，故C错误；
对于D，若，所以，所以，
所以 或，所以至少有一个为0，故D正确.
故选：BD
10. 若函数，则（ ）
A. 的图象关于对称B. 在上单调递增
C. 的极小值点为D. 有两个零点
【答案】AC
【解析】对于函数，令，解得或，
所以函数的定义域为，
又，
所以为奇函数，函数图象关于对称，故A正确；
又，
当时，，即在上单调递减，故B错误；
当时，，即在上单调递增，
根据奇函数的对称性可知在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值点为，极大值点为，故C正确；
又，
且当趋近于1时，趋近于无穷大，当趋近于0时，趋近于无穷大，
所以在上无零点，根据对称性可知在上无零点，
故无零点，故D错误．故选：AC．
11. 如图，在直三棱柱中，，，分别是棱，上的动点（异于顶点），，为的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A. 直三棱柱体积的最大值为
B. 三棱锥与三棱锥的体积相等
C. 当，且时，三棱锥外接球的表面积为
D. 设直线，与平面分别相交于点，，若，则最小值为
【答案】BCD
【解析】A选项：由已知可得
，又，
所以，即体积的最大值为，A选项错误；
B选项：如图所示，
由点为的中点，则，设点到平面的距离为，则，，
又，所以，所以，B选项正确；
C选项：如图所示，
由已知为正三角形，设外接球球心为，中心为，中点为，则平面，且，，即，
所以外接球半径为，外接球表面积为，C选项正确；D选项：如图所示，
取中点，可知在的延长线上，在的延长线上，
则，即，
设，，
易知，，
则，，
则，,，
所以，
当且仅当，即时取等号，故D选项正确；故选：BCD.
三、填空题
12. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．则=______．
【答案】
【解析】在中，由余弦定理可得，
所以，所以，
因为，所以，所以，解得，
由，可得，
在中，由正弦定理可得，
所以.
故答案为：.
13. 已知函数，若方程有三个不相等的实数解，则实数a的取值范围为________.
【答案】
【解析】由题意可知：的定义域为，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，可得，
且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于0；
作出的图象，如图所示，
对于关于x的方程，
令，可得，整理得，
且不为方程的根，
可知方程等价于，
若方程有三个不相等的实数解，
可知有两个不同的实数根，
且或或，
构建，
若，则，解得；
若，则，解得，
此时方程为，解得，不合题意；
若，则，解得，
此时方程为，解得，不合题意；
综上所述：实数a的取值范围为.
故答案为：.
14. “序列”在通信技术中有着重要应用，该序列中的数取值于或1.设是一个有限“序列”，表示把中每个都变为，每个0都变为，每个1都变为0，1，得到新的有序实数组.例如：，则.定义，，若中1的个数记为，则的前10项和为______.
【答案】
【解析】因为，依题意得，，，
显然，中有2项，其中1项为，1项为1，中有4项，其中1项为，1项为1，2项为0，中有8项，其中3项为，3项为1，2项为0，
由此可得中共有项，其中1和的项数相同，
设中有项为0，1和的项数相同都为，所以，，
从而①，
因为表示把中每个都变为，每个0都变为，每个1都变为0，1，
得到新的有序实数组，
则②，
①②得③，
所以④，
④③得，
所以当为奇数且时，，
经检验，当时符合，所以(为奇数)，
当为偶数，则为奇数，又因为，
所以，
所以，
当为奇数时，，
所以的前10项和为
.故答案为：
四、解答题
15. 已知函数，的内角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若，求的值.
解：（1），，
，
，，
，；
（2），
法一：，
，
，
根据正弦定理得，
由余弦定理得 ①
将代入①式，得，
，；
法二：，
，
，
由余弦定理得 ①
将代入①式，得，，.
16. 已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
解：（1）设的公差为，由题意知，即，
即有，因为，可得，，
所以；
（2）设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为，
则
，
，
所以．
17. 近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．
（1）根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）中的判断结果，建立y关于x的回归方程；
（3）根据（2）的结果，估计2024年的企业利润．
参考公式及数据；，，
，，，，
解：（1）由散点图的变化趋势，知适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型；
（2）由题意得：，，
，
，
所以；
（3）令，，
估计2024年的企业利润为99.25亿元．
18. 如图，在四棱锥中，平面⊥平面，为等边三角形，，，，，M为的中点．

（1）证明：⊥平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
（1）证明：设中点为O，连接，为等边三角形，故，
由题意知平面⊥平面，平面平面，
平面，故平面，平面，
故，又，平面，
故平面，平面，故，
又M为的中点，为等边三角形，则,
平面，所以⊥平面；
（2）解：由（1）知平面，平面，故，
连接，，则，
即四边形为平行四边形，故，
故以O为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

则，
，
设平面的一个法向量为，则,
即，令，则，
设直线与平面所成角为，
则.
19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线与椭圆相切，与圆相交于两点，设为圆上任意一点，求面积最大时直线的斜率．
解：（1）由题椭圆的左焦点为，
即①；
当时，，
又过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，所以②，
由①②得：，
所以椭圆的标准方程为：.
（2）当斜率存在时，设直线方程为,与联立，消去并整理得：
已知直线与椭圆相切，所以，
化简得：；
又O到直线的距离为，
设P到直线的距离为，则，
则的面积，
令,
得,
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取得极大值也是最大值,
当斜率不存在时，可得，
此时的面积，
因为，所以，
综上：的面积最大值为，此时
故的面积最大时直线的斜率为.