数学：上海市2024届高考模拟测试卷04（临考押题卷01）（解析版）

这是一份数学：上海市2024届高考模拟测试卷04（临考押题卷01）（解析版），共14页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，集合，则 ．
【答案】
【解析】因为，，
所以，
故答案为：
2．已知为虚数单位，复数，则 .
【答案】
【解析】由可得，
故，
故答案为：
3．若，则 .
【答案】
【解析】根据导数的定义：，
因为，所以.故答案为：
4．方程的解集为 ．
【答案】
【解析】因为,
则，解得，
所以方程的解集为.
故答案为：
5．已知直线与直线相互平行，则实数的值是 ．
【答案】
【解析】因为直线与直线相互平行，
则，即，解得.
故答案为：.
6．已知一组成对数据的回归方程为，则该组数据的相关系数 （精确到0.001）．
【答案】
【解析】由条件可得，
，
，
一定在回归方程上，代入解得，
，
，
，
，
故答案为：
7．等差数列的前9项和为18，第9项为18，则的通项公式为 ．
【答案】
【解析】设等差数列的首项为，公差为，前项和为，由题意知:，又，联立解得:，，故答案为:
8．4名志愿者全部分到3所学校支教，要求每所学校至少有1名志愿者，则不同的分法共有 种.
【答案】36
【解析】先选两名志愿者看成一个整体，共有种，
再与剩余志愿者一起排列，共有种，
所以不同的分法共有种.故答案为：36.
9．已知为抛物线的焦点，过点的直线l交抛物线于，两点，若，则线段的中点到直线的距离为 ．
【答案】5
【解析】如图，抛物线的焦点为，准线为，即．
分别过，作准线的垂线，垂足为，，则有 .
过的中点作准线的垂线，垂足为，则为直角梯形中位线，
，即到准线的距离为5．
故答案为：5
10．如图所示，有边长为2的正方体为正方体表面的一个动点．若三棱锥的体积为，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】设点到平面的距离为，
则，所以，
如图在上取点，使得，过点作平面平面，分别在上，
故点在四边形的边上，
则当点在点的位置时，最小，为，
当点在点的位置时，最大，为，
所以的取值范围是.
故答案为：.
11．已知平面向量，，，满足，，且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，实数的最大值为 .
【答案】
【解析】令，
所以如图，

所以点A的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，取OB中点E，
则，
又因为，所以点C在直线上，故时，的值最小，
当情况下，直线与相切时最大，取最大，
此时，，故答案为：.
12．已知，函数的最小值为，则由满足条件的的值组成的集合是 ．
【答案】
【解析】分以下三种情况讨论：
①若时，即当时，，
所以，函数在上单调递减，且，
当时，，所以，解得；
②若时，即当时，，
当时，，当时，．
因为，所以，整理可得，
因为，解得（舍去）；
③当时，即当时，，
当时，，
当时，．
因为，所以，整理可得，
，解得或（舍去）．
综上所述，实数的取值集合为．故答案为：．
二、选择题
13．“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】由可得，解得或，
“”可以推出“或”，“或”不能推出“”，例如，
故“”是“”的充分非必要条件，故选：A.
14．设，将函数的图像沿轴向右平移个单位，得到函数的图像，则（ ）
A．函数是偶函数
B．函数的图像关于直线对称
C．函数在上是严格增函数
D．函数在上的值域为
【答案】D
【解析】因为，
将函数的图像沿轴向右平移个单位得到，
又，所以为奇函数，故A错误；
因为，所以函数的图像不关于直线对称，故B错误；
当时，因为在上单调递减，
所以函数在上是严格增减函数，故C错误；
当时，所以，
则，即函数在上的值域为，故D正确.故选：D.
15．如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则（ ）
A．，且直线是相交直线
B．，且直线是相交直线
C．，且直线是异面直线
D．，且直线是异面直线
【答案】B
【解析】如图所示， 作于，连接，过作于．
连，平面平面．
平面，平面，平面，
与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知，
．，故选B．
16．若在曲线上，若存在过的直线交曲线于点，交直线于点，满足或，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是（ ）
A．曲线上所有点都是点
B．曲线上仅有有限多个点是点
C．曲线上所有点都不是点
D．曲线上有无穷多个点（但不是全部）是点
【答案】D
【解析】由题意，、的位置关系对称，
于是不妨设此时.
由相似三角形，即: ①
设，与椭圆联立方程组， 消得 解得②
，③
联立①②③，得，而，
即，即1，
而当时，，故此时不存在点又因为的位置可以和互换 （互换后即，所以点的横坐标取值为.故选:D.
三、解答题
17．在中，，，边中线.
(1)求的值；
(2)求的面积．
解：(1)因为，所以由正弦定理可得
因为，所以，因为，所以.
(2)因为，，可知为等腰三角形.
在中，由余弦定理可得
即，解得.
所以的面积为.
18．如图，线段是圆柱的母线，是圆柱下底面的直径.

(1)若是弦的中点，且，求证：平面；
(2)若，直线与平面所成的角为，求异面直线与所成角的大小.
(1)证明：因为是弦的中点，
且，可知是线段的中点，
故在中，为边的中位线，
则，又面，且直线不在面，
则平面；
(2)解：取线段的中点，连接，
在中，线段是的中位线，
故，则即为异面直线与所成角，
由题意知，，
因为平面，平面，
所以，
因为是圆柱下底面的直径，所以，
又平面，所以平面，
所以平面，
又因平面，所以，
在中，，故，故，
故，
则异面直线与所成角的大小为.

19．某公司全年圆满完成预定的生产任务，为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力，公司决定在联欢晚会后，拟通过摸球兑奖的方式对500位员工进行奖励，规定：每位员工从一个装有4种面值的奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额．
(1)若箱子中所装的4种面值的奖券中有1张面值为80元，其余3张均为40元，试比较员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率的大小；
(2)公司对奖励总额的预算是6万元，预定箱子中所装的4种面值的奖券有两种方案：第一方案是2张面值20元和2张面值100元；第二方案是2张面值40元和2张面值80元．为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请问选择哪一种方案比较好？并说明理由．
解：(1)用X表示员工所获得的奖励额．
因为，，所以，
故员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率相等．
(2)第一种方案为，
设员工所获得的奖励额为，则的分布列为
所以的数学期望为，
的方差为；
第二种方案为，
设员工所获得的奖励额为，则的分布列为
所以的数学期望为，
的方差为，
又因为（元），
所以两种方案奖励额的数学期望都符合要求，但第二种方案的方差比第一种方案的小，
故应选择第二种方案．
20．已知椭圆：过点记椭圆的左顶点为M，右焦点为
(1)若椭圆C的离心率，求的范围；
(2)已知，过点作直线与椭圆分别交于，两点（异于左右顶点）连接，，试判定与是否可能垂直，请说明理由；
(3)已知，设直线的方程为，它与相交于，.若直线与的另一个交点为.证明：.
(1)解：在椭圆上, 可得
；
(2)解： 且椭圆过, 因此椭圆方程为
由题意得，假设设,
则,由得
即①
又点在椭圆上，②
①②联立消去，得
则 （为左项点不符合题意舍）,
所以与垂直.
(3)证明：设,
由(2)知椭圆方程为与直线的方程 联立消去，
并整理得，可得
又点A 在直线上，
又直线 AD 的方程为与椭圆方程为联立消去，
整理得,
所以于是可得 ，即,
从而B , D 两点关于 x 轴对称，因此.
21．定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系．
(1)判断函数和是否具有C关系；
(2)若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围；
(3)若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围．
解：(1)与是具有C关系，理由如下：
根据定义，若与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在，使得，
因为，，，
所以，
令，即，解得，
所以与具有C关系.
(2)令，
因为，，所以，
令，则，故，
因为与不具有C关系，所以在上恒为负或恒为正，
又因为开口向下，所以在上恒为负，即在上恒成立，
当时，显然成立；
当时，在上恒成立，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，所以，
综上：，即.
(3)因为和，
令，则，
因为与在上具有C关系，所以在上存在零点，
因为，
当且时，因为，所以，
所以在上单调递增，则，
此时在上不存在零点，不满足题意；
当时，显然当时，，
当时，因为在上单调递增，且，
故在上存在唯一零点，设为，则，
所以当；当；又当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上存在唯一极小值点，因为，所以，
又因为，所以在上存在唯一零点，
所以函数与在上具有C关系，
综上：，即.40
120
200
P
80
120
160
P