人教版高中数学选择性必修第二册 函数的极值 分层作业(含解析)

这是一份人教版高中数学选择性必修第二册 函数的极值 分层作业(含解析)，共9页。试卷主要包含了下列四个函数，函数f＝1－x＋x2的极小值为，设函数f＝x·ex，则等内容，欢迎下载使用。

eq \f(基础对点练,基础考点 分组训练)
知识点1 函数极值的概念与求法
1．(5分)设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝xf′(x)的图象的一部分如图所示，则正确的是( )
A．f(x)的极大值为f(eq \r(3))，极小值为f(－eq \r(3))
B．f(x)的极大值为f(－eq \r(3))，极小值为f(eq \r(3))
C．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3)
D．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3)
2．(5分)下列四个函数：①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x.
在x＝0处取得极小值的有( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①③
3．(5分)函数y＝x＋eq \f(1,x)(－2A．－2 B．2
C．－eq \f(5,2) D．不存在
4．(5分)函数f(x)＝1－x＋x2的极小值为( )
A．1 B．eq \f(3,4)
C．eq \f(1,4) D．eq \f(1,2)
5．(5分)设函数f(x)＝x·ex，则( )
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
知识点2 与函数极值有关的参数问题
6．(5分)若x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则有( )
A．a＝－2，b＝4
B．a＝－3，b＝－24
C．a＝1，b＝3
D．a＝2，b＝－4
7.(5分)若函数f(x)＝eq \f(x2＋a,x＋1)在x＝1处取得极值，则a＝________.
8.(5分)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．
9.(5分)若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于________．
知识点3 函数极值的综合问题
10.(10分)求函数y＝x3－3ax＋2的极值，并讨论方程x3－3ax＋2＝0何时有三个不同的实根，何时有唯一的实根(其中a>0)．
eq \f(能力提升练,能力考点 适度提升)
11.(5分)若函数f(x)＝x·2x在x0处有极小值，则x0等于( )
A．eq \f(1,ln 2) B．－eq \f(1,ln 2)
C．－ln 2 D．ln 2
12．(5分)已知三次函数，当x＝1时有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( )
A．y＝x3＋6x2＋9x
B．y＝x3－6x2＋9x
C．y＝x3－6x2－9x
D．y＝x3＋6x2－9x
13.(5分)若x＝2是函数f(x)＝x(x－m)2的极大值点，则函数f(x)的极大值为________．
14.(5分)函数f(x)＝x3－3x的图象与直线y＝a有三个不同的交点，则a的取值范围是________．
15.(5分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下列说法中不正确的有________．
①当x＝eq \f(3,2)时，函数取得极小值；
②函数有两个极值点；
③当x＝2时，函数取得极小值；
④当x＝1时，函数取得极大值．
16.(10分)设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围；
(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围．
人教版高中数学选择性必修第二册 函数的极值 分层作业(解析版)
(60分钟 90分)
eq \f(基础对点练,基础考点 分组训练)
知识点1 函数极值的概念与求法
1．(5分)设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝xf′(x)的图象的一部分如图所示，则正确的是( )
A．f(x)的极大值为f(eq \r(3))，极小值为f(－eq \r(3))
B．f(x)的极大值为f(－eq \r(3))，极小值为f(eq \r(3))
C．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3)
D．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3)
D 解析：当x∈(－∞，－3)时，xf′(x)>0，即f′(x)<0；
当x∈(－3,0)时，xf′(x)<0，即f′(x)>0；
当x∈(0,3)时，xf′(x)>0，即f′(x)>0；
当x∈(3，＋∞)时，xf′(x)<0，即f′(x)<0.
故函数f(x)在x＝－3处取得极小值，在x＝3处取得极大值．
2．(5分)下列四个函数：①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x.
在x＝0处取得极小值的有( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①③
B 解析：作出各函数的图象，由极值的定义可知函数y＝x2＋1，y＝|x|在x＝0处取得极小值．
3．(5分)函数y＝x＋eq \f(1,x)(－2A．－2 B．2
C．－eq \f(5,2) D．不存在
A 解析：y′＝1－eq \f(1,x2)＝eq \f(x2－1,x2).令y′＝0得x＝－1.
在(－2，－1)上，y′>0；在(－1,0)上，y′<0，故函数在x＝－1处取得极大值－2.
4．(5分)函数f(x)＝1－x＋x2的极小值为( )
A．1 B．eq \f(3,4)
C．eq \f(1,4) D．eq \f(1,2)
B 解析：f′(x)＝－1＋2x＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，令f′(x)＝0，得x＝eq \f(1,2).
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
当x＝eq \f(1,2)时，f(x)有极小值feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(3,4).故选B．
5．(5分)设函数f(x)＝x·ex，则( )
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
D 解析：f′(x)＝ex(x＋1)．令f′(x)＝0，则x＝－1，且当x<－1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>－1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以x＝－1是f(x)的极小值点．
知识点2 与函数极值有关的参数问题
6．(5分)若x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则有( )
A．a＝－2，b＝4
B．a＝－3，b＝－24
C．a＝1，b＝3
D．a＝2，b＝－4
B 解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0的两根为x＝－2与x＝4，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2＋4＝－\f(2,3)a，,－2×4＝\f(b,3).))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝－24.))
7.(5分)若函数f(x)＝eq \f(x2＋a,x＋1)在x＝1处取得极值，则a＝________.
3 解析：f′(x)＝eq \f(2xx＋1－x2＋a,x＋12)＝eq \f(x2＋2x－a,x＋12)，由题意得f′(1)＝eq \f(3－a,4)＝0，解得a＝3.经检验，a＝3符合题意.
8.(5分)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．
(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，因为原函数既有极大值又有极小值，所以方程f′(x)＝0有两个不同的实根，即(6a)2－4×3×3(a＋2)>0，解得a>2或a<－1.
9.(5分)若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于________．
－19 解析：y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，
易知当x＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19.
知识点3 函数极值的综合问题
10.(10分)求函数y＝x3－3ax＋2的极值，并讨论方程x3－3ax＋2＝0何时有三个不同的实根，何时有唯一的实根(其中a>0)．
解：函数的定义域为R，其导函数为y′＝3x2－3a.
由y′＝0可得x＝±eq \r(a)，列表讨论如下：
由此可得，函数在x＝－eq \r(a)处取得极大值2＋2aeq \f(3,2)；在x＝eq \r(a)处取得极小值2－2aeq \f(3,2).
根据列表讨论，可作函数的草图(如图)．
因为极大值f(－eq \r(a))＝2＋2aeq \f(3,2)>0，故当极小值f(eq \r(a))＝2－2aeq \f(3,2)<0，即a>1时，方程x3－3ax＋2＝0有三个不同的实根；当极小值f(eq \r(a))＝2－2aeq \f(3,2)>0，即0eq \f(能力提升练,能力考点 适度提升)
11.(5分)若函数f(x)＝x·2x在x0处有极小值，则x0等于( )
A．eq \f(1,ln 2) B．－eq \f(1,ln 2)
C．－ln 2 D．ln 2
B 解析：f′(x)＝2x＋x·2xln 2＝2x(1＋xln 2)，
由已知f′(x0)＝0得2x0(1＋x0ln 2)＝0，
即1＋x0ln 2＝0，∴x0＝－eq \f(1,ln 2).
12．(5分)已知三次函数，当x＝1时有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( )
A．y＝x3＋6x2＋9x
B．y＝x3－6x2＋9x
C．y＝x3－6x2－9x
D．y＝x3＋6x2－9x
B 解析：由已知三次函数过原点可设y＝f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)，
则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
又由已知可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f′1＝3a＋2b＋c＝0，,f′3＝27a＋6b＋c＝0，,f1＝a＋b＋c＝4，,f3＝27a＋9b＋3c＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－6，,c＝9.))
故函数为y＝x3－6x2＋9x.
13.(5分)若x＝2是函数f(x)＝x(x－m)2的极大值点，则函数f(x)的极大值为________．
32 解析：f′(x)＝3x2－4mx＋m2＝(x－m)·(3x－m)．
令f′(x)＝0，则x＝m或x＝eq \f(m,3)，
由题设知m＝2或m＝6.
当m＝2时，极大值点为x＝eq \f(2,3)，与题意不符；
当m＝6时，极大值为f(2)＝32.
14.(5分)函数f(x)＝x3－3x的图象与直线y＝a有三个不同的交点，则a的取值范围是________．
(－2,2) 解析：令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，
可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2.
y＝f(x)的大致图象如图所示，观察图象得当－215.(5分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下列说法中不正确的有________．
①当x＝eq \f(3,2)时，函数取得极小值；
②函数有两个极值点；
③当x＝2时，函数取得极小值；
④当x＝1时，函数取得极大值．
① 解析：从图象上可以看到：
当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)有两个极值点1和2，且当x＝2时，函数取得极小值；当x＝1时，函数取得极大值．
只有①不正确.
16.(10分)设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围；
(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，
解得x1＝－eq \r(2)，x2＝eq \r(2).
∵当x>eq \r(2)或x<－eq \r(2)时，f′(x)>0；
当－eq \r(2)∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－eq \r(2))，(eq \r(2)，＋∞)；单调递减区间为(－eq \r(2)，eq \r(2))．
当x＝－eq \r(2)时，f(x)有极大值5＋4eq \r(2)；
当x＝eq \r(2)时，f(x)有极小值5－4eq \r(2).
(2)由(1)知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示，当5－4eq \r(2)(3)f(x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)．
∵x>1，∴k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝x2＋x－5，g(x)在(1，＋∞)上是增函数．
∴g(x)>g(1)＝－3.
∴k的取值范围是(－∞，－3]．
x
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))
eq \f(1,2)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
极小值
单调递增
x
(－∞，－eq \r(a))
－eq \r(a)
(－eq \r(a)，eq \r(a))
eq \r(a)
(eq \r(a)，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增