人教版高中数学选择性必修第二册 基本初等函数的导数 分层作业(含解析)

这是一份人教版高中数学选择性必修第二册 基本初等函数的导数 分层作业(含解析)，共9页。试卷主要包含了给出下列结论，已知函数f＝2－x，则f′＝，故选AB等内容，欢迎下载使用。

eq \f(基础对点练,基础考点 分组训练)
知识点1 几个常用函数的导数公式的应用
1．(5分)已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝eq \f(1,4)，则α等于( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,2)
C．eq \f(1,8) D．eq \f(1,4)
2．(5分)给出下列结论：
①若f(x)＝eq \f(1,x3)，则f′(x)＝－eq \f(3,x4)；
②若f(x)＝eq \r(3,x)，则f′(x)＝eq \f(1,3)eq \r(3,x)；
③若f(x)＝3，则f′(1)＝0.
其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．0
3．(5分)(多选)在曲线f(x)＝eq \f(1,x)上切线的倾斜角为eq \f(3,4)π的点的坐标为( )
A．(1,1) B．(－1，－1)
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－2))
4.(5分)已知抛物线C：y＝x2，过第一象限的点(a，a2)作抛物线C的切线l，则直线l与y轴的交点的坐标为________．
知识点2 基本初等函数的导数
5．(5分)若函数f(x)＝csx，则f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝( )
A．0 B．1
C．－1 D．eq \f(π,2)
6．(5分)已知函数f(x)＝2－x，则f′(x)＝( )
A．－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))xln 2
B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))xln 2
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))xlg2e
D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))xeq \f(1,ln 2)
7．(5分)给出下列结论：
①(csx)′＝sinx；
②eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(π,3)))′＝cseq \f(π,3)；
③若y＝eq \f(1,x2)，则y′＝－eq \f(1,x)；
④eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(x))))′＝eq \f(1,2x\r(x)).
其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
8.(5分)已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________．
9.(5分)已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.
10.(5分)直线y＝eq \f(1,2)x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b＝________.
eq \f(能力提升练,能力考点 适度提升)
11．(5分)设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 020(x)＝( )
A．sinx B．－sinx
C．csx D．－csx
A．64 B．32
C．16 D．8
13.(5分)点P是f(x)＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是________．
14.(5分)下列结论正确的有________．
①若f(x)＝x4，则f′(2)＝32；
②若f(x)＝eq \f(1,\r(x))，则f′(2)＝－eq \f(\r(2),2)；
③若f(x)＝eq \f(1,x2·\r(x))，则f′(1)＝－eq \f(5,2)；
④若f(x)＝x－5，则f′(－1)＝－5.
15.(5分)曲线f(x)＝ln x在点M(e，1)处的切线的斜率是______，切线方程为________．
16.(5分)已知f(x)＝a2(a为常数)，g(x)＝ln x，若2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝1，则x＝________.
17.(10分)求下列函数的导数．
(1)y＝eq \f(1,x4)；
(2)y＝xeq \r(x)；
(3)y＝2sineq \f(x,2)cseq \f(x,2).
18.(10分)已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点．
(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程；
(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
人教版高中数学选择性必修第二册 基本初等函数的导数 分层作业(解析版)
(60分钟 100分)
eq \f(基础对点练,基础考点 分组训练)
知识点1 几个常用函数的导数公式的应用
1．(5分)已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝eq \f(1,4)，则α等于( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,2)
C．eq \f(1,8) D．eq \f(1,4)
D 解析：∵f(x)＝xα，
∴f′(x)＝αxα－1，
∴f′(1)＝α＝eq \f(1,4).
2．(5分)给出下列结论：
①若f(x)＝eq \f(1,x3)，则f′(x)＝－eq \f(3,x4)；
②若f(x)＝eq \r(3,x)，则f′(x)＝eq \f(1,3)eq \r(3,x)；
③若f(x)＝3，则f′(1)＝0.
其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．0
3．(5分)(多选)在曲线f(x)＝eq \f(1,x)上切线的倾斜角为eq \f(3,4)π的点的坐标为( )
A．(1,1) B．(－1，－1)
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－2))
AB 解析：切线的斜率k＝tan eq \f(3,4)π＝－1，
设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－1，
又f′(x)＝－eq \f(1,x2)，∴－eq \f(1,x\\al(2,0))＝－1，∴x0＝1或－1，
∴切点坐标为(1,1)或(－1，－1)．故选AB．
4.(5分)已知抛物线C：y＝x2，过第一象限的点(a，a2)作抛物线C的切线l，则直线l与y轴的交点的坐标为________．
(0，－a2) 解析：显然点(a，a2)为抛物线C：y＝x2上的点，∵y′＝2x，∴直线l的方程为y－a2＝2a(x－a)．
令x＝0，得y＝－a2，∴直线l与y轴的交点的坐标为(0，－a2)．
知识点2 基本初等函数的导数
5．(5分)若函数f(x)＝csx，则f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝( )
A．0 B．1
C．－1 D．eq \f(π,2)
C 解析：∵f′(x)＝－sinx，
∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝－sineq \f(π,2)＝－1.
6．(5分)已知函数f(x)＝2－x，则f′(x)＝( )
A．－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))xln 2
B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))xln 2
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))xlg2e
D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))xeq \f(1,ln 2)
A 解析：∵f(x)＝2－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，
∴f′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))xlneq \f(1,2)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))xln 2.
7．(5分)给出下列结论：
①(csx)′＝sinx；
②eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(π,3)))′＝cseq \f(π,3)；
③若y＝eq \f(1,x2)，则y′＝－eq \f(1,x)；
④eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(x))))′＝eq \f(1,2x\r(x)).
其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
B 解析：因为(csx)′＝－sinx，所以①错误．sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2)，而eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))′＝0，所以②错误.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)))′＝(x－2)′＝eq \f(－2,x3)，所以③错误.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－1,\r(x))))′＝＝eq \f(1,2x\r(x))，所以④正确.
8.(5分)已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________．
eln 3 解析：设切点为(x0，y0)．
因为y′＝3xln 3，①
所以k＝3x0ln 3，
所以y＝3x0ln 3·x.
又因为(x0，y0)在曲线y＝3x上，
所以3x0ln 3·x0＝3x0，②
所以x0＝eq \f(1,ln 3)＝lg3e.
所以k＝eln 3.
9.(5分)已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.
1 解析：因为f(x)＝x2，g(x)＝ln x，
所以f′(x)＝2x，g′(x)＝eq \f(1,x)且x>0，
f′(x)－g′(x)＝2x－eq \f(1,x)＝1，即2x2－x－1＝0，
解得x＝1或x＝－eq \f(1,2)(舍去)．故x＝1.
10.(5分)直线y＝eq \f(1,2)x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b＝________.
ln 2－1 解析：设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝ln x0.
∵y′＝(ln x)′＝eq \f(1,x)，
∴eq \f(1,x0)＝eq \f(1,2)，
∴x0＝2，y0＝ln 2.
由ln 2＝eq \f(1,2)×2＋b，得b＝ln 2－1.
eq \f(能力提升练,能力考点 适度提升)
11．(5分)设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 020(x)＝( )
A．sinx B．－sinx
C．csx D．－csx
C 解析：f0(x)＝sinx，
f1(x)＝f′0(x)＝(sinx)′＝csx，
f2(x)＝f′1(x)＝(csx)′＝－sinx，
f3(x)＝f′2(x)＝(－sinx)′＝－csx，
f4(x)＝f′3(x)＝(－csx)′＝sinx，所以4为最小正周期，故f2 020(x)＝f4(x)＝csx.
A．64 B．32
C．16 D．8
13.(5分)点P是f(x)＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是________．
eq \f(3\r(2),8) 解析：与直线y＝x－1平行的f(x)＝x2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最小．设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0＝1，
∴x0＝eq \f(1,2)，y0＝eq \f(1,4).即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,4)))到直线y＝x－1的距离最短．
∴d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,4)－1)),\r(12＋12))＝eq \f(3\r(2),8).
14.(5分)下列结论正确的有________．
①若f(x)＝x4，则f′(2)＝32；
②若f(x)＝eq \f(1,\r(x))，则f′(2)＝－eq \f(\r(2),2)；
③若f(x)＝eq \f(1,x2·\r(x))，则f′(1)＝－eq \f(5,2)；
④若f(x)＝x－5，则f′(－1)＝－5.
①③④ 解析：对于①，f′(x)＝4x3，f′(2)＝4×23＝32，正确；
15.(5分)曲线f(x)＝ln x在点M(e，1)处的切线的斜率是______，切线方程为________．
eq \f(1,e) x－ey＝0 解析：∵f′(x)＝(ln x)′＝eq \f(1,x)，
∴f′(e)＝eq \f(1,e).
∴切线方程为y－1＝eq \f(1,e)(x－e)，即x－ey＝0.
16.(5分)已知f(x)＝a2(a为常数)，g(x)＝ln x，若2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝1，则x＝________.
1 解析：因为f′(x)＝0，g′(x)＝eq \f(1,x)(x>0)，
所以2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝2x－eq \f(1,x)＝1，
解得x＝1或x＝－eq \f(1,2).
因为x＞0，所以x＝1.
17.(10分)求下列函数的导数．
(1)y＝eq \f(1,x4)；
(2)y＝xeq \r(x)；
(3)y＝2sineq \f(x,2)cseq \f(x,2).
解：(1)∵y＝eq \f(1,x4)＝x－4，∴y′＝－4x－5＝－eq \f(4,x5).

(3)∵y＝2sineq \f(x,2)cseq \f(x,2)＝sinx，
∴y′＝csx.
18.(10分)已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点．
(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程；
(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
解：(1)因为y′＝2x，P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点．
过P点的切线的斜率k1＝－2，
过Q点的切线的斜率k2＝4，
过P点的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，
即2x＋y＋1＝0，
过Q点的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝eq \f(4－1,2＋1)＝1，
设切点坐标为M(x0，y0)，则切线的斜率k＝2x0＝1，
所以x0＝eq \f(1,2)，所以切点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,4)))，
与PQ平行的切线方程为y－eq \f(1,4)＝x－eq \f(1,2)，
即4x－4y－1＝0.