人教版高中数学选择性必修第二册第5章 一元函数的导数及其应用 质量评估(含解析)

这是一份人教版高中数学选择性必修第二册第5章 一元函数的导数及其应用 质量评估(含解析)，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1．曲线f(x)＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标为( )
A．－9 B．－3
C．9 D．15
2．下列结论正确的个数是( )
①若f(x)＝ln 2，则f′(x)＝eq \f(1,2)；②若f(x)＝eq \f(1,x2)，则f′(3)＝－eq \f(2,27)；③若f(x)＝2x，则f′(x)＝2xln 2；④若f(x)＝lg2x，则f′(x)＝eq \f(1,xln 2).
A．0 B．1
C．2 D．3
3．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
4．函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在(1，f(1))处切线的斜率为( )
A．－eq \f(1,4) B．2
C．4 D．－eq \f(1,2)
5．如果函数f(x)＝2x3＋ax2＋1(a为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，且在区间(0,2)上单调递减，则a的值为( )
A．1 B．2
C．－6 D．－12
6．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( )
A．2 B．3
C．6 D．9
7．已知函数f(x)的导函数的图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则一定成立的是( )
A．f(sinA)>f(csB)
B．f(sinA)f(sinB)
D．f(csA)0得x>2.所以函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．
4．函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在(1，f(1))处切线的斜率为( )
A．－eq \f(1,4) B．2
C．4 D．－eq \f(1,2)
C 解析：∵y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y＝2x＋1.∴g′(1)＝k＝2，
又f′(x)＝g′(x)＋2x，∴f′(1)＝g′(1)＋2＝4，故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处切线的斜率为4.
5．如果函数f(x)＝2x3＋ax2＋1(a为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，且在区间(0,2)上单调递减，则a的值为( )
A．1 B．2
C．－6 D．－12
C 解析：令f′(x)＝6x2＋2ax＝0，得x＝0或x＝－eq \f(a,3)，由题意，知f′(x)＝0的两根为0,2，所以2＝－eq \f(a,3)，所以a＝－6.
6．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( )
A．2 B．3
C．6 D．9
D 解析：∵f′(x)＝12x2－2ax－2b，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.又a>0，b>0，∴a＋b≥2eq \r(ab)，∴2eq \r(ab)≤6，∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立．
7．已知函数f(x)的导函数的图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则一定成立的是( )
A．f(sinA)>f(csB)
B．f(sinA)f(sinB)
D．f(csA)0时，f′(x)>0，即f(x)单调递增．
又△ABC为锐角三角形，则A＋B>eq \f(π,2)，即eq \f(π,2)>A>eq \f(π,2)－B>0，故sinA>sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－B))>0，即sinA>csB>0.故f(sinA)>f(csB)．
8．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数具有T性质的是( )
A．y＝sinx B．y＝ln x
C．y＝ex D．y＝x3
A 解析：∵(ln x)′＝eq \f(1,x)>0，(ex)′＝ex>0，(x3)′＝3x2≥0.
∴选项B，C，D中的曲线不存在两点，其切线的斜率之积为－1，只有A项符合．
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a可取的范围有( )
A．(－∞，－3]
B．(－∞，－3)
C．[6，＋∞)
D．(6，＋∞)
BD 解析：依题意f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，对应的判别式Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＝4a2－12a－72>0，即a2－3a－18>0，即(a－6)(a＋3)>0，解得a6.故选BD．
10．如图是函数y＝f(x)导函数y＝f′(x)的图象，下列选项中正确的是( )
A．在x2处导函数y＝f′(x)有极大值
B．在x1，x4处导函数y＝f′(x)有极小值
C．在x3处函数y＝f(x)有极大值
D．在x5处函数y＝f(x)有极小值
ABCD 解析：根据导函数f′(x)的图象可知：x1，x4的两侧f′(x)左减右增，所以在x1，x4处导函数y＝f′(x)有极小值；x2的两侧f′(x)左增右减，所以在x2处导函数y＝f′(x)有极大值．
根据导函数f′(x)的图象可知：x3的左侧导数大于零，右侧导数小于零，所以在x3处函数y＝f(x)有极大值. x5的左侧导数小于零，右侧导数大于零，所以在x5处函数y＝f(x)有极小值．故选ABCD．
11．对于函数f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，下列正确的是( )
A．x＝3是函数f(x)的一个极值点
B．f(x)的单调递增区间是(－1,1)，(2，＋∞)
C．f(x)在区间(1,2)上单调递减
D．直线y＝16ln 3－16与函数y＝f(x)的图象有3个交点
ACD 解析：由题得f′(x)＝eq \f(16,1＋x)＋2x－10＝eq \f(2x2－8x＋6,1＋x)，x>－1.令2x2－8x＋6＝0，可得x＝1或3，则f(x)在(－1,1)，(3，＋∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减，所以x＝3是函数f(x)的一个极值点，故AC正确，B错误．
因为f(1)＝16ln(1＋1)＋12－10＝16ln 2－9，f(3)＝16ln(1＋3)＋32－10×3＝16ln 4－21，又y＝16ln 3－16＝f(2)，根据f(x)在(1,3)上单调递减得f(1)>f(2)>f(3)，得16ln 3－1616ln 4－21，
所以直线y＝16ln 3－16与函数y＝f(x)的图象有3个交点，故D正确．故选ACD．
12．已知函数f(x)＝x2－3x＋m－2ln x，( )
A．m＝3时，f(x)有两个零点
B．m＝3时，f(x)的极小值点为2
C．m＝3时，f(x)≥0恒成立
D．若f(x)只有一个零点，则m＝2＋2ln 2
ABD 解析：对于选项A，当m＝3时，f(x)＝x2－3x＋3－2ln x，其定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－3－eq \f(2,x)＝eq \f(2x2－3x－2,x)＝eq \f(2x＋1x－2,x).
令f′(x)＝0，得x＝2，当00，∴f(x)在定义域内有两个零点，故选项A正确．对于选项B，由上面的推导过程可知，当m＝3时，f(x)的极小值点为2，故选项B正确．对于选项C，由上面的推导过程可知，f(2)0，则函数g(x)的图象与直线y＝－m只有一个交点．g′(x)＝eq \f(2x＋1x－2,x)，
令g′(x)＝0, ∴x＝2，当00，所以a≥eq \f(x2,2x＋3)对x∈[－1,2]恒成立，容易求得a≥1.
15.已知曲线f(x)＝ax3＋ln x，若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为4，则a＝________；若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
1 (－∞，0) 解析：f′(x)＝3ax2＋eq \f(1,x).
令f′(1)＝3a＋1＝4，得a＝1.
∵f(x)存在垂直于y轴的切线，
∴f′(x)＝0有解，
即3ax2＋eq \f(1,x)＝0有解，
∴3a＝－eq \f(1,x3)，而x>0，
∴a∈(－∞，0).
16.已知矩形的两个顶点A，D位于x轴上，另两个顶点B，C位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大时的边长为________．
eq \f(4\r(3),3)，eq \f(8,3) 解析：由题意，设矩形边长AD＝2x，则AB＝4－x2，
∴矩形面积为S＝2x(4－x2)＝8x－2x3(0