人教A版高中数学必修第二册第6章6-2-2向量的减法运算学案

这是一份人教A版高中数学必修第二册第6章6-2-2向量的减法运算学案，共13页。
6.2.2　向量的减法运算一架飞机由A地到B地，再由B地到A地．问题：飞机的两次位移分别是什么？它们之间有什么关系？知识点1　相反向量(1)定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a．(2)性质：①－(－a)＝a．②对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0．③若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0．知识点2　向量的减法 在什么条件下，|a－b|＝|a|＋|b|?[提示]　当a，b至少有一者为0或a，b非零且反向时成立．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相反向量就是方向相反的向量． (　　)(2)向量AB与BA是相反向量． (　　)(3)零向量的相反向量仍是零向量． (　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)√2．如图，在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，用a，b表示向量AC，BD，则AC＝________，BD＝________．a＋b　b－a　[由向量加法的平行四边形法则，及向量减法的运算法则可知AC＝a＋b，BD＝b－a．] 类型1　向量减法的几何意义【例1】　如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c．[解]　法一：(几何意义法)如图①所示，在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，再作OC＝c，则CB＝a＋b－c．法二：(定义法)如图②所示，在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，再作BC＝－c，连接OC，则OC＝a＋b－c．　求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．[跟进训练]1．向量MN可以写成：①MO+ON；②MO-ON；③OM-ON；④ON-OM．其中正确的是________(填序号)．①④　[①MO+ON＝MN；②MO-ON＝－OM-ON＝－(OM+ON)≠MN；③OM-ON＝NM；④ON-OM＝MN，故填①④．] 类型2　向量减法的运算【例2】　化简下列各向量的表达式：(1)AB＋BC－AD；(2)(AB－CD)－(AC－BD)；(3)(AC＋BO＋OA)－(DC－DO－OB)．[解]　(1)AB＋BC－AD＝AC－AD＝DC．(2)法一：加法法则原式＝AB－CD－AC＋BD＝(AB＋BD)－(AC＋CD)＝AD－AD＝0．法二：减法法则(利用相反向量)原式＝AB－CD－AC＋BD＝(AB－AC＋(DC－DB)＝CB＋BC＝0．法三：减法法则(创造同一起点)原式＝AB－CD－AC＋BD＝(OB－OA)－(OD－OC)－(OC－OA)＋(OD－OB)＝OB－OA－OD＋OC－OC＋OA＋OD－OB＝0．(3)(AC＋BO＋OA)－(DC-DO－OB)＝(AC＋BA)－(OC－OB)＝BC－BC＝0．　向量加减法化简的两种形式(1)首尾相连且为和．(2)起点相同且为差．解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．[跟进训练]2．化简下列向量的表达式：(1)OM-ON+MP-NA；(2)(AD-BM)＋(BC-MC)．[解]　(1)OM-ON+MP-NA＝NM+MP-NA＝NP-NA＝AP．(2)(AD-BM)＋(BC-MC)＝AD+MB+BC+CM＝AD＋(MB+BC+CM)＝AD＋0＝AD． 类型3　向量加减法的综合应用【例3】　已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，CM＝a，CA＝b.求证：(1)|a－b|＝|a|；(2)|a＋(a－b)|＝|b|．[证明]　在等腰直角三角形ABC中，由M是斜边AB的中点，得|CM|＝|AM|，|CA|＝|CB|．(1)在△ACM中，AM＝CM-CA＝a－b．于是由|AM|＝|CM|，得|a－b|＝|a|．(2)在△MCB中，MB＝AM＝a－b，所以CB＝MB-MC＝a－b＋a＝a＋(a－b)．从而由|CB|＝|CA|，得|a＋(a－b)|＝|b|．　解决此类问题要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与待证向量的转化渠道．[跟进训练]3．(1)已知O为四边形ABCD所在平面外的一点，且向量OA，OB，OC，OD满足OA+OC＝OB+OD，则四边形ABCD的形状为________．(2)如图，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别为a，b，c，则向量OD＝________．(用a，b，c表示)．(1)平行四边形　(2)a－b＋c　[(1)∵OA+OC＝OB+OD，∴OA-OD＝OB-OC，∴DA＝CB．∴|DA|＝|CB|，且DA∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形．(2)在△AOD中，AD＝OD-OA＝OD－a．在△BOC中，BC＝OC-OB＝c－b．又在▱ABCD中，AD＝BC，故OD－a＝c－b，即OD＝a－b＋c．]1．在△ABC中，D是BC边上的一点，则AD-AC等于(　　)A．CB　　B．BC　　C．CD　　D．DCC　[在△ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD-AC＝CD．故选C．]2．化简OP-QP+PS+SP的结果等于(　　)A．QP 　　　B．OQ　　　　　　C．SP　　　　D．SQB　[原式＝(OP+PQ)＋(PS+SP)＝OQ＋0＝OQ．]3．(多选)非零向量m与n是相反向量，下列正确的是(　　)A．m＝n　　　　 B．m＝－nC．|m|＝|n| D．方向相反BCD　[由条件可知，当m≠0且n≠0时，B，C，D项都成立，故选BCD．]4．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________．0　2　[若a，b为相反向量，则a＋b＝0，∴|a＋b|＝0．又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1，∵a与b共线，∴|a－b|＝2．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1． 向量减法的实质是什么？[提示]　向量减法的实质是向量加法的逆运算，即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．2．在用三角形法则作向量减法时，要注意什么？[提示]　“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量．”解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．3．以▱ABCD的两邻边AB，AD分别表示向量AB＝a，AD＝b，则两条对角线表示的向量如何表示？[提示]　 AC＝a＋b，BD＝b－a，DB＝a－b，这一结论应用非常广泛，应该加强理解并掌握．4．对于任意的向量a，b，|a|－|b|与|a±b|及|a|＋|b|三者具有什么样的大小关系？[提示]　它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|．课时分层作业(三)　向量的减法运算一、选择题1．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(　　)A．EF＝OF+OE　　 B．EF＝OF-OEC．EF＝－OF+OE D．EF＝－OF-OE[答案]　B2．已知非零向量a与b同向，则a－b(　　)A．必定与a同向B．必定与b同向C．必定与a是平行向量D．与b不可能是平行向量C　[a－b必定与a是平行向量．故选C．]3．如图，在四边形ABCD中，设AB＝a，AD＝b，BC＝c，则DC＝(　　)A．a－b＋c B．b－(a＋c)C．a＋b＋c D．b－a＋cA　[DC＝DA+AB+BC＝a－b＋c.]4．(多选)在▱ABCD中，下列结论正确的是(　　)A．AB-DC＝0 B．AD-BA＝ACC．AB-AD＝BD D．AD+CB＝0ABD　[因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝DC，AB-DC＝0，AD-BA＝AD+AB＝AC，AB-AD＝DB，AD+CB＝AD+DA＝0，故选ABD.]5．(多选)下列各式中能化简为AD的是(　　)A．(AB-DC)－CBB．AD－(CD+DC)C．－(CB+MC)－(DA+BM)D．－BM-DA+MBABC　[选项A中，(AB-DC)－CB＝AB+CD+BC＝AB+BC+CD＝AD；选项B中，AD－(CD+DC)＝AD－0＝AD；选项C中，－(CB+MC)－(DA+BM)＝-CB-MC-DA-BM＝BC+CM+AD+MB＝(MB+BC+CM)＋AD＝AD；选项D中，－BM-DA+MB＝MB+AD+MB＝2MB+AD.]二、填空题6．四边形ABCD是边长为1的正方形，则|AB-AD|＝________．2　[|AB-AD|＝|DB|＝12+12＝2.]7．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝_______，BC＝________．(用a，b表示)b－a　－a－b　[如图，DC＝AB＝OB-OA＝b－a，BC＝OC-OB＝－OA-OB＝－a－b．]8．已知向量|a|＝2，|b|＝4，且a，b不是方向相反的向量，则|a－b|的取值范围是________．[2，6)　[根据题意得||a|－|b||≤|a－b|＜|a|＋|b|，即2≤|a－b|＜6．]三、解答题9．(源自苏教版教材)如图，点O是▱ABCD的两条对角线的交点，AB＝a，DA＝b，OC＝c，求证：b＋c－a＝OA．[证明]　 因为四边形ABCD是平行四边形，所以DA＝CB．因为b＋c＝DA+OC＝OC+CB＝OB，OA＋a＝OA+AB＝OB，所以b＋c＝OA＋a，即b＋c－a＝OA．10．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2＝16，|AB+AC|＝|AB-AC|，则|AM|＝(　　)A．8　　　B．4　　　C．2　　　D．1C　[根据|AB+AC|＝|AB-AC|可知，△ABC是以A为直角的直角三角形，∵|BC|2＝16，∴|BC|＝4，又∵M是BC的中点，∴|AM|＝12|BC|＝12×4＝2.故选C.]11．(多选)下列结论正确的是(　　)A．若线段AC＝AB＋BC，则向量AC＝AB+BCB．若向量AC＝AB+BC，则线段AC＝AB＋BCC．若向量AB与BC共线，则线段AC＝AB＋BCD．若向量AB与BC反向共线，则|AB-BC|＝AB＋BCAD　[由AC＝AB＋BC得点B在线段AC上，则AC＝AB+BC，A正确；三角形内AC＝AB+BC，但AC≠AB＋BC，B错误；AB，BC反向共线时，|AC|＝|AB+BC|≠|AB|＋|BC|，也即AC≠AB＋BC，C错误； AB，BC反向共线时，|AB- BC|＝|AB＋(－BC)|＝AB＋BC，D正确．]12．(多选)对于菱形ABCD，下列各式正确的是(　　)A．AB＝BC B．|AB|＝|BC|C．|AB-CD|＝|AD+BC| D．|AD+CD|＝|CD-CB|BCD　[菱形ABCD中，如图，AB≠BC，|AB|＝|BC|，∴A不正确，B正确．又|AB-CD|＝|AB+DC|＝|AB+AB|＝2|AB|，|AD+BC|＝|AD+AD|＝2|AD|＝2|AB|，∴C正确；又|AD+CD|＝|DA+DC|＝|DB|，|CD -CB|＝|BD|＝|DB|，∴D正确，故选BCD.]13．已知菱形ABCD的边长为2，则向量AB-CB+CD的模为________；|AC|的取值范围是________．2　(0，4)　[因为AB-CB+CD＝AB+BC+CD＝AD，所以|AB-CB+CD|＝|AD|＝2.又AC＝AB+AD，在菱形ABCD中，|AB|＝|AD|＝2，所以||AB|－|AD||＜|AC|＝|AB+AD|＜|AB|＋|AD|，即0＜|AC|＜4.]14．已知△OAB中，OA＝a，OB＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|及△AOB的面积．[解]　由已知得|OA|＝|OB|，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则可知其为菱形，且OC＝a＋b，BA＝a－b，由于|a|＝|b|＝|a－b|，则OA＝OB＝BA，∴△OAB为正三角形，∴|a＋b|＝|OC|＝2×3＝23，S△OAB＝12×2×3＝3．15．如图所示，在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，先用a，b表示向量AC和DB，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？[解]　 由向量的平行四边形法则，得AC＝a＋b，DB＝AB-AD＝a－b．当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线的长度相等，四边形ABCD为矩形；当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边的长度相等，四边形ABCD为菱形；当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形．学习任务1．能通过向量的加法运算抽象出向量的减法运算．(数学抽象)2．理解相反向量的概念，了解向量加法与减法的关系．(逻辑推理)3．掌握向量的减法运算，并理解其几何意义．(直观想象)定义求两个向量差的运算，a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量作法已知向量a，b，在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b.如图所示几何意义如果把两个向量a，b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量