人教A版高中数学必修第二册第6章6-2-4第1课时向量数量积的概念及性质学案

这是一份人教A版高中数学必修第二册第6章6-2-4第1课时向量数量积的概念及性质学案，共14页。
6.2.4　向量的数量积第1课时　向量数量积的概念及性质大力士拉车，沿着绳子方向上的力为F，车的位移是s，力和位移的夹角为θ．问题：该大力士所做的功是多少？知识点1　向量的数量积1．两向量的夹角已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．当θ＝0时，向量a，b同向；当θ＝π时，向量a，b反向；当θ＝π2时，向量a与b垂直，记作a⊥b．1.如何作出向量a与b的夹角？[提示]　2．平面向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ．规定：零向量与任一向量的数量积为0．2.把“a·b”写成“ab”或“a×b”可以吗，为什么？[提示]　不可以，数量积是两个向量之间的乘法，在书写时，一定要严格，必须写成“a·b”的形式．3．投影向量设a，b是两个非零向量，AB＝a，CD＝b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称这种变换为向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量．3.如图，设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，那么OM1与e，a，θ之间有怎样的关系？[提示]　OM1＝|a|cos θe．知识点2　向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ．(2)a⊥b⇔a·b＝0．(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a．(4)|a·b|≤|a||b|．4．若a·b＝0，则a⊥b一定成立吗？[提示]　不一定，也可能a＝0或b＝0．5．a·b的符号与两向量的夹角有何关系？[提示]　a·b0时，由a·b＝|a||b|cos θ可知，两向量的夹角是锐角或0°．1．若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，则a·b＝(　　)A．－32　　B．－62　　C．62　　D．2B　[a·b＝|a||b|cos 135°＝3×4×-22＝－62．]2. 若向量a，b的夹角为60°，则向量a与－b的夹角为________．[答案]　120°3．已知|a|＝5，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则向量b在a方向上的投影向量为________．15a　[向量b在a方向上的投影向量为(|b|cos θ)aa＝2×cos 60°×15a＝15a．] 类型1　定义法求向量的夹角【例1】　已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？[解]　如图所示，作OA＝a，OB＝b，且∠AOB＝60°．以OA，OB为邻边作▱OACB，则OC＝a＋b，BA＝a－b．因为|a|＝|b|＝2，所以▱OACB是菱形，又∠AOB＝60°，所以OC与OA的夹角为30°，BA与OA的夹角为60°，即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°．　求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．[跟进训练]1．如图，已知△ABC是等边三角形．(1)求向量AB与BC的夹角；(2)若E为BC的中点，求向量AE与EC的夹角．[解]　(1)因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC＝60°.如图，延长AB至点D，使BD＝AB，则AB＝BD，所以∠DBC为向量AB与BC的夹角．因为∠ABC＝60°，所以∠DBC＝120°，所以向量AB与BC的夹角为120°．(2)因为E为BC的中点，所以AE⊥BC，所以向量AE与EC的夹角为90°． 类型2　平面向量的数量积运算【例2】　如图，在▱ABCD中，|AB|＝4，|AD|＝3，∠DAB＝60°，求：(1)AD·BC；(2)AB·DA．[解]　 (1)因为AD∥BC，且方向相同，所以AD与BC的夹角是0°，所以AD·BC＝|AD||BC|·cos 0°＝3×3×1＝9．(2)因为AB与AD的夹角为60°，所以AB与DA的夹角为120°，所以AB·DA＝|AB||DA|·cos 120°＝4×3×-12＝－6．　定义法求平面向量的数量积(1)求模：分别求|a|和|b|．(2)求夹角：注意向量a与b的方向．(3)求数量积：a·b＝|a||b|cos θ．[跟进训练]2．已知|a|＝6，|b|＝5，分别求下列情况下a与b的数量积：(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为60°．[解]　(1)当a∥b时，若a与b同向，则θ＝0°，a·b＝|a||b|cos 0°＝6×5＝30；若a与b反向，则θ＝180°，a·b＝|a||b|cos 180°＝－6×5＝－30．(2)当a⊥b时，a与b的夹角为90°，a·b＝|a||b|cos 90°＝0．(3)当a与b的夹角为60°时，a·b＝|a||b|cos 60°＝6×5×12＝15． 类型3　投影向量【例3】　已知|a|＝3，|b|＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求：(1)向量a在向量b上的投影向量；(2)向量b在向量a上的投影向量．[解]　(1)∵|b|＝1，∴b为单位向量．∴向量a在向量b上的投影向量为|a|cos 120°·b＝3×-12b＝－32b．(2)∵|a|＝3，∴aa＝13a，∴向量b在向量a上的投影向量为|b|cos 120°aa＝1·-12·13a＝－16a．　投影向量的求法方法一：用几何法作出恰当的垂线，直接得到投影向量．方法二：利用公式．向量a在向量b上的投影向量为|a|·cos θ·bb．[跟进训练]3．已知|a|＝12，|b|＝8，a·b＝24，求向量a在向量b上的投影向量．[解]　设a，b的夹角为θ，∵a·b＝|a||b|cos θ，∴cos θ＝a·bab＝2412×8＝14，∴向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ·bb＝12×14×18b＝38b．1．在▱ABCD中，∠DAB＝30°，则AD与CD的夹角为(　　)A．30°　 　B．60°　　 C．120°　　D．150°D　[如图，AD与CD的夹角为∠ABC＝150°.故选D．]2．已知|a|＝3，|b|＝6，当a∥b时，a·b＝(　　)A．18　　　B．－18　　　C．±18 　　　D．0C　[当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°，所以a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18；若a与b反向，则它们的夹角为180°，所以a·b＝|a|·|b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18.故选C．]3．设|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为________．π3　[设a，b的夹角为θ，则cos θ＝a·bab＝12，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3．]4．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为π3，则b在a方向上的投影向量为________．a　[b在a方向上的投影向量为|b|cos π3·aa＝2×12a＝a．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．向量夹角的范围是多少？[提示]　[0，π]．2．如何求两个向量的数量积？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？[提示]　 a·b＝|a||b|cos θ，从而cos θ＝a·bab．3．如何求向量b在a方向上的投影向量？如何求向量a在b方向上的投影向量？[提示]　b在a方向上的投影向量为|b|e1cos θ，a在b方向上的投影向量为|a|e2cos θ(θ为a与b的夹角，e1为a方向的单位向量，e2为b方向的单位向量)．4．设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？[提示]　a⊥b⇔a·b＝0．反之成立．5．|a·b|与|a||b|的大小关系如何？ [提示]　|a·b|≤|a||b|．课时分层作业(五)　向量数量积的概念及性质一、选择题1．已知|a|＝3，|b|＝23，a与b的夹角是120°，则a·b等于(　　)A．3　　　B．－3　　　C．－33　　　D．33B　[由数量积的定义，得a·b＝|a||b|cos 120°＝3×23×-12＝－3．]2．已知a·b＝－122，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|＝(　　)A．12　　　B．3　　　C．6 　　　D．33C　[因为a·b＝|a||b|cos 135°＝－122，又|a|＝4，则4×-22×|b|＝－122，解得|b|＝6．]3．已知|a|＝8，与a同向的单位向量为e，|b|＝4，a，b的夹角为120°，则向量b在向量a方向上的投影向量为(　　)A．4e　　　B．－4e　　　C．2e 　　　D．－2eD　[向量b在向量a方向上的投影向量为|b|·cos 120°e＝4×cos 120°e＝－2e.故选D．]4．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12AB，则AB与BC的夹角是(　　)A．30°　　　B．60°　　　C．120° 　　　D．150°C　[如图，作向量AD＝BC，则∠BAD是AB与BC的夹角，在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝12AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即AB与BC的夹角是120°．]5．(多选)下列命题正确的是(　　)A．0·a＝0B．若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0C．若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0D．若a与b是两个单位向量，则a2＝b2AD　[A正确，因为0的长度为0，结合数量积的定义可知0·a＝0．B，C错误，当非零向量a⊥b时，有a·b＝0．D正确，因为|a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝b2＝1，故a2＝b2．]二、填空题6．如图所示，△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，则AB·BC＝________．－32　[因为△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，所以BC＝3.所以AB·BC＝1×3×cos 150°＝－32．]7．已知|a|＝2，且a与b的夹角为60°，与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为________．e　[因为a与b的夹角为60°，a在b上的投影向量为|a|cos 60°e＝2×12e＝e．]8．已知向量a，b均为单位向量，a·b＝22，则a与b的夹角为________．π4　[设a与b的夹角为θ，由题意知|a|＝|b|＝1，则cos θ＝a·bab＝22，又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4．]三、解答题9．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e．(1)求a·b；(2)求a在b上的投影向量．[解]　(1)a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 120°＝－10．(2)a在b上的投影向量为|a|cos θe＝5×cos 120°e＝－52e．10．如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角．则当小车向前运动10 m时，力F做的功为(　　)A．100 J　　　B．50 J　　　C．503 J 　　　D．200 JB　[由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W＝F·s＝10×10×cos 60°＝50(J)，故选B．]11．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC+BC·CA+CA·AB的值为(　　)A．－7　　　B．7　　　C．25 　　　D．－25D　[由条件知∠ABC＝90°，所以原式＝0＋4×5cos (180°－C)＋5×3cos (180°－A)＝－20cos C－15cos A＝－20×45－15×35＝－16－9＝－25．]12．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于(　　)A．8　　　B．－8　　　C．8或－8 　　　D．6A　[cos θ＝a·bab＝-62×5＝－35，∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝45.∴|a×b|＝2×5×45＝8.故选A．]13．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，AB·AC＝8，则△ABC的形状是________，AB·BC＝________．等边三角形　－8　[AB·AC＝|AB||AC|·cos ∠BAC，即8＝4×4cos ∠BAC，于是cos ∠BAC＝12，因为0°