人教A版高中数学必修第二册第6章6-2-4第2课时向量数量积的运算律学案

这是一份人教A版高中数学必修第二册第6章6-2-4第2课时向量数量积的运算律学案，共13页。
第2课时　向量数量积的运算律我们已经知道，很多运算都满足一定的运算律．例如，向量的加法满足交换律，数乘向量对加法满足分配律，即对任意向量a，b以及实数λ，有a＋b＝b＋a，λ(a＋b)＝λa＋λb．根据向量数量积的定义，探讨向量数量积的运算满足哪些运算律，并说明理由．知识点1　向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．知识点2　数量积运算的常用公式(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2．(2)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2．(3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a·b＝b·c推不出a＝c． (　　)(2)对于向量a，b，c，等式(a·b)c＝(b·c)a都成立． (　　)[答案]　(1)×　(2)×2．已知|a|＝3，|b|＝4，则(a＋b)·(a－b)＝________．[答案]　－7 类型1　求数量积【例1】　已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a＋3b)．[解]　(a＋2b)·(a＋3b)＝a·a＋5a·b＋6b·b＝|a|2＋5a·b＋6|b|2＝|a|2＋5|a||b|cos 60°＋6|b|2＝62＋5×6×4×cos 60°＋6×42＝192．　根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．[跟进训练]1．已知两个单位向量e1，e2的夹角为π3，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________．－6　[由题设知|e1|＝|e2|＝1，且e1·e2＝12，所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e12-2e1·e2-8e22＝3－2×12－8＝－6．] 类型2　与向量模有关的问题【例2】　(源自人教B版教材)(1)已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，求|a＋2b|；(2)已知|a＋b|＝|a－b|，求a·b．[解]　(1)由题意可知a2＝4，b2＝1，a·b＝2×1×cos 60°＝1，所以|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×1＋4×1＝12，因此|a＋2b|＝23．(2)由题意可知|a＋b|2＝|a－b|2，即(a＋b)2＝(a－b)2，因此a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，因此a·b＝0．　a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．[跟进训练]2．已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝10，求|b|．[解]　因为|2a＋b|＝10，所以(2a＋b)2＝10，所以4a2＋4a·b＋b2＝10．又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1，所以4×12＋4×1×|b|×22＋|b|2＝10，整理得|b|2＋22|b|－6＝0，解得|b|＝2或|b|＝－32(舍去)． 类型3　与向量垂直、夹角有关的问题【例3】　(1)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，m与n夹角的余弦值为13，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　)A．4　　　B．－4　　　C．94　　　D．－94(2)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，求k的取值范围．(1)B　[由题意知，m·nmn＝m·n34n2＝13，所以m·n＝14|n|2＝14n2，因为n·(tm＋n)＝0，所以tm·n＋n2＝0，即14tn2＋n2＝0，所以t＝－4．](2)[解]　∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke12+ke2 2＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0．当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0°，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围为k＞0且k≠1．[母题探究]将本例(2)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围．[解]　∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为钝角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke12+ke22＋(k2＋1)e1·e2＝2k＜0，∴k＜0．当k＝－1时，e1＋ke2与ke1＋e2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围是k＜0且k≠－1．　求两向量夹角的方法(1)一般是利用夹角公式：cos θ＝a·bab．(2)注意：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角；数量积等于0说明两向量的夹角为直角；数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．[跟进训练]3．已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．[解]　由已知条件得a+3b·7a-5b=0，a-4b·7a-2b=0，即7a2+16a·b-15b2=0，　　　①7a2-30a·b+8b2=0，　　 　②②－①得23b2－46a·b＝0，∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，∴|a|＝|b|，∴cos θ＝a·bab＝12b2b2＝12．∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3．1．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)A．4　　　B．3　　　C．2　　　D．0B　[∵|a|＝1，知a2＝|a|2＝1，又a·b＝－1，∴a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3．]2．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ等于(　　)A．32　　　B．－32　　　C．±32 　　　D．1A　[∵3a＋2b与λa－b垂直，∴(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0，∴λ＝32．]13．(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝3，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________．3　[因为|a＋b|＝|2a－b|，即(a＋b)2＝(2a－b)2，则a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得a2－2a·b＝0，又|a－b|2＝3，即(a－b)2＝3，则a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以|b|＝3．]4．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为________．π6　[|a－b|＝a-b2＝a2+b2-2a·b＝3，设向量a与a－b的夹角为θ，则cos θ＝a·a-baa-b＝22-12×3＝32，又θ∈[0，π]，所以θ＝π6．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．向量的数量积满足哪些运算律？[提示]　(1)a·b＝b·a．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．2．向量的夹角与其数量积之间存在什么关系？[提示]　向量a，b的夹角为锐角，得到a·b>0；反之，a·b>0不能说明a·b的夹角为锐角，因为a，b夹角为0°时也有a·b>0.同理，向量a，b的夹角为钝角，得到a·b0，得t>－74，当a，b共线时，存在唯一的实数λ，使a＝λb，即3e1＋2e2＝λ(te1＋2e2)，所以3=λt，2=2λ，解得λ=1，t=3，所以当t≠3时，a，b不共线，综上，t的取值范围为t>－74且t≠3，即t的取值范围为-74，3∪3，+∞．15．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°．(1)求证：(a－b)⊥c；(2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围．[解]　(1)证明：因为|a|＝|b|＝|c|＝1，且a，b，c之间的夹角均为120°，所以(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0，所以(a－b)⊥c．(2)因为|ka＋b＋c|>1，所以(ka＋b＋c)2>1，即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1，因为a·b＝a·c＝b·c＝cos 120°＝－12，所以k2－2k>0，解得k2．所以实数k的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)．学习任务1．掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．(逻辑推理)2．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．(数学运算)