人教A版高中数学必修第二册第6章6-3-2平面向量的正交分解及坐标表示6-3-3平面向量加、减运算的坐标表示学案

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6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示如图，在物理学中，一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，其作用体现在两个方向：与斜面平行的方向和与斜面垂直的方向，故在解决问题时，常常要把重力分解为使物体沿斜面下滑的力F1和垂直于斜面的力F2．在实际应用中，常常需要把一个力、速度、位移等分解为不同方向的分量的和．知识点1　平面向量坐标的相关概念知识点2　平面向量加、减运算的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有下表： 向量坐标与点的坐标的区别是什么？[提示]　意义不同．点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，向量a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向．1．设i＝(1，0)，j＝(0，1)，a＝3i＋4j，b＝－i＋j，则a＋b与a－b的坐标分别为________．[答案]　(2，5)，(4，3)2．已知点A(1，－2)，点B(4，0)，则向量AB＝________．[答案]　(3，2) 类型1　平面向量的坐标表示【例1】　已知O是坐标原点，点A在第一象限，|OA|＝43，∠xOA＝60°，(1)求向量OA的坐标；(2)若B(3，－1)，求BA的坐标．[解]　(1)设点A(x，y)，则x＝|OA|cos 60°＝43·cos 60°＝23，y＝|OA|sin 60°＝43sin 60°＝6，即A(23，6)，所以OA＝(23，6)．(2)BA＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7)．　求点、向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标．(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标．[跟进训练]1．如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j，{i，j}作为基底，分别用i，j表示OA，OB，AB，并求出它们的坐标．[解]　由题图可知，OA＝6i＋2j，OB＝2i＋4j，AB＝－4i＋2j，它们的坐标表示为OA＝(6，2)，OB＝(2，4)，AB＝(－4，2)． 类型2　平面向量的坐标运算【例2】　(1)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝(　　)A．(－7，－4)　　 B．(7，4)C．(－1，4) D．(1，4)(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1，2)，(3，－5)，求a＋b，a－b的坐标．(1)A　[法一：设C(x，y)，则AC＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以x=-4，y=-2，从而BC＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A．法二：AB＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，BC＝AC-AB＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．故选A．](2)[解]　a＋b＝(－1，2)＋(3，－5)＝(2，－3)，a－b＝(－1，2)－(3，－5)＝(－4，7)．　平面向量坐标(线性)运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，再进行向量的坐标运算．(3)向量的坐标(线性)运算可类比数的运算进行．[跟进训练]2．若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0，6)，(－8，10)，求AB+BC，BC-AC的坐标．[解]　法一：∵AB＝(－2，10)，BC＝(－8，4)，AC＝(－10，14)，∴AB+BC＝(－2，10)＋(－8，4)＝(－10，14)，BC-AC＝(－8，4)－(－10，14)＝(2，－10)．法二：∵AB＝(－2，10)，BC＝(－8，4)，AC＝(－10，14)，∴AB+BC＝AC＝(－10，14)，BC-AC＝BA＝－AB＝(2，－10)． 类型3　平面向量坐标运算的应用【例3】　已知点O(0，0)，A(1，2)．(1)若点B(3t，3t)，OP＝OA+OB，则t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？(2)若B(4，5)，P(1＋3t，2＋3t)，则四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求t值；若不能，说明理由．[解]　(1)OP＝OA+OB＝(1，2)＋(3t，3t)＝(1＋3t，2＋3t)，若点P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－23．若点P在y轴上，则1＋3t＝0，∴t＝－13．若点P在第二象限，则1+3t0， ∴－23