人教A版高中数学必修第二册第6章6-4-3第2课时正弦定理学案

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第2课时　正弦定理如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长，也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小，你能借助这3个量，求出AB的长吗？知识点　正弦定理 在△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC，那么这个比值有什么特殊的含义吗？[提示]　如图所示，无论怎么移动B′，都会有角B′＝B，所以在△AB′C中，bsinB'＝bsinB＝c, c是Rt△ABC，△AB′C外接圆的直径，所以对任意△ABC，均有asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B＝(　　)A．33　　　B．63　　　C．22　　　D．32A　[由asinA＝bsinB，得1532＝10sinB，解得sin B＝33.故选A．]2．已知△ABC外接圆半径是2，A＝60°，则BC的长为________．23　[因为BCsinA＝2R，所以BC＝2R sin A＝4sin 60°＝23．] 类型1　已知两角及一边解三角形【例1】　在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．[解]　因为B＝30°，C＝105°，所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°．由正弦定理，得asin45°＝4sin30°＝csin105°，解得a＝4sin45°sin30°＝42，c＝4sin105°sin30°＝2(6＋2)．　已知两角及一边解三角形的思路(1)若所给边是已知角的对边，可先由正弦定理求另一边，再由三角形的内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边．(2)若所给边不是已知角的对边，则先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．[跟进训练]1．已知△ABC中，c＝4，A＝45°，B＝60°，求a，b．[解]　由题意可得C＝180°－45°－60°＝75°．由正弦定理得a＝csinAsinC＝4sin45°sin75°．又sin 75°＝6+24，于是a＝4sin45°sin75°＝43－4．同理可得b＝csinBsinC＝4sin60°sin75°＝62－26． 类型2　已知两边和其中一边的对角解三角形【例2】　(源自湘教版教材)在△ABC中，分别求下列条件下的∠C和c．(1)a＝5，b＝53，∠A＝30°；(2)a＝5，b＝522，∠A＝45°．[解]　(1)由正弦定理得53sinB＝5sin30°，即sin B＝32，所以∠B＝60°或∠B＝120°．当∠B＝60°时，∠C＝90°，所以c＝sin 90°·5sin30°＝10．当∠B＝120°时，∠C＝30°，所以c＝a＝5．(2)由正弦定理得sin B＝522·sin45°5＝12，所以∠B＝30°或∠B＝150°．又∠A＝45°，a＞b，所以∠B＜45°．由此得到∠B＝30°，∠C＝105°．因此c＝sin 105°·5sin45°＝sin 75°·5sin45°＝53+52．　已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤(1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角．(2)用三角形内角和定理求出第三个角．(3)根据正弦定理求出第三条边．其中进行第一个步骤时要注意讨论该角是否可能有两个值．[跟进训练]2．已知B＝30°，b＝2，c＝2，求A，C，a．[解]　由正弦定理得sin C＝c·sinBb＝2sin30°2＝22，∵c>b，0°A，且0°