人教A版高中数学必修第二册第8章8-3-1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积学案

这是一份人教A版高中数学必修第二册第8章8-3-1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积学案，共16页。

8.3　简单几何体的表面积与体积8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积胡夫大金字塔底边原长230米，高146.59米，经风化腐蚀，现降至136.5米，塔的底角为51°51′.假如把建造金字塔的石块分成均等的小块，平均每块重2.5吨，像一辆小汽车那样大．问题：(1)如何计算建此金字塔需用多少石块？(2)如果在金字塔的表面涂上一层保护液以防止风化腐蚀，如何计算保护液的使用量？知识点1　棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和． 几何体的侧面积与表面积有何区别？[提示]　侧面积指的是几何体侧面的面积，而表面积是指整个几何体表面的面积．知识点2　棱柱、棱锥、棱台的体积1．一般地，如果棱柱的底面积是S，高是h，那么这个棱柱的体积V棱柱＝Sh．2．一般地，如果棱锥的底面面积是S，高是h，那么该棱锥的体积V棱锥＝13Sh．3．如果棱台的上、下底面面积分别为S′，S，高是h，那么这个棱台的体积V棱台＝_13h(S′＋S'S＋S)．1．正三棱锥的高为3，侧棱长为23，则这个正三棱锥的体积为________．[答案]　9342．棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积等于________．[答案]　6＋22 类型1　棱柱、棱锥、棱台的表面积【例1】　已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为3 cm和6 cm，高为32 cm，求此正三棱台的表面积．[解]　如图所示，画出正三棱台ABC-A1B1C1，其中O1，O为正三棱台上、下底面的中心，D，D1分别为BC，B1C1的中点，则OO1为正三棱台的高，DD1为侧面梯形BCC1B1的高，四边形ODD1O1为直角梯形，所以DD1＝OO12+OD-O1D12＝322+3-322＝3，所以此三棱台的表面积S表＝S侧＋S底＝3×12×(3＋6)×3＋34×32＋34×62＝9934 (cm2)．　求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积．[跟进训练]1．(1)侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是(　　)A．3+34a2　 B．34a2C．3+32a2 D．6+34a2(2)现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，则该直四棱柱的侧面积为________．(1)A　(2)160　[(1)∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于22a，∴S表＝34a2＋3×12×22a2＝3+34a2．(2)如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56．∵该直四棱柱的底面是菱形，∴AB2＝AC22＋BD22＝a2+b24＝200+564＝64，∴AB＝8．∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160．] 类型2　棱柱、棱锥、棱台的体积【例2】　如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.截面A1DB将正方体分成两部分，其体积分别为V1，V2，且V2＞V1, 求V1，V2以及V1∶V2．[解]　截面将正方体化为两个几何体，其中较小部分是一个三棱锥A1-ABD，其中底面△ABD是腰长为a的等腰直角三角形，其面积S＝12×AB×AD＝12a2．底面ABD上的高为h＝AA1＝a．所以其体积V1＝13Sh＝13×12a2×a＝16a3．正方体的体积V＝a3，所以V2＝V－V1＝a3－16a3＝56a3，所以V1∶V2＝1∶5．[母题探究]在本例条件不变的情况下，求点A到平面A1BD的距离d．[解]　三棱锥A1-ABD与三棱锥A-A1BD是同一个几何体．在△A1BD中，A1B＝BD＝A1D＝2a，取BD的中点H，连接A1H，则A1H⊥BD，BH＝HD＝12BD＝22a，所以A1H＝A1B2-BH2＝2a2-22a2＝62a．则△A1BD的面积S2＝12BD·A1H＝12×2a×62a＝32a2．因为VA1-ABD＝VA-A1BD，即16a3＝13S2·d，所以16a3＝13×32a2×d，解得d＝33a，即点A到平面A1BD的距离为33a．　求几何体体积的常用方法[跟进训练]2．在三棱台ABC-A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1-ABC，三棱锥B-A1B1C，三棱锥C-A1B1C1的体积之比．[解]　设三棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S．∴VA1-ABC＝13S△ABC·h＝13Sh，VC-A1B1C1＝13S△A1B1C1·h＝43Sh．又V台＝13h(S＋4S＋2S)＝73Sh，∴VB-A1B1C＝V台-VA1-ABC -VC-A1B1C1 ＝73Sh－Sh3－4Sh3＝23Sh，∴三棱锥A1-ABC，B-A1B1C与C-A1B1C1的体积比为1∶2∶4． 类型3　简单组合体的表面积与体积【例3】　现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？[解]　由PO1＝2 m，知O1O＝4PO1＝8(m)．因为A1B1＝AB＝6(m)，所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥＝13·A1B12·PO1＝13×62×2＝24(m3)，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)，所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3)，故仓库的容积是312 m3．　求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成、其表面有哪些底面和侧面、各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．[跟进训练]3．若正方体的棱长为2，求以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积和体积．[解]　所求凸多面体的表面积是两个底面边长为1，高为22的四棱锥的侧面积之和，如图，四棱锥的侧棱长l＝222+222＝1，所以，以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积S＝8×12×1×1×sin 60°＝23.因为以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是由两个全等的正四棱锥组合而成，该棱锥的高是正方体棱长的一半，底面面积是正方体一个面面积的一半，则该凸多面体的体积为V＝2×13×12×2×2×22＝23．1．若正方体的表面积为96，则正方体的体积为(　　)A．486　　　B．64　　　C．16　　　D．96B　[设正方体的棱长为a，则6a2＝96，解得a＝4，故V＝a3＝43＝64．]2．已知一个正棱台的上、下底面是边长分别为2、8的正方形，侧棱长为5，则该棱台的表面积为(　　)A．148　　　B．168　　　C．193 　　　D．88A　[棱台的侧面是等腰梯形，高h＝52-8-222＝4, ∴一个侧面积S′＝12(2＋8)×4＝20, ∴该棱台的表面积为：S＝20×4＋2×2＋8×8＝148.故选A．]3．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为________．16　[VD1-EDF＝VF-DD1E＝13S△D1DE·AB＝13×12×1×1×1＝16．]4．一个正四棱锥的底面边长为32 cm，侧棱长为5 cm，则它的体积为________ cm3，表面积为________ cm2．24　18＋641　[如图，∵正四棱锥P-ABCD的底面边长为32 cm，∴S正方形ABCD＝18 cm2．连接AC，BD，交于点O，连接PO，则PO⊥底面ABCD，OC＝12AC＝12×32×2＝3(cm)，又棱长PC＝5 cm，∴OP＝52-32＝4(cm)，∴VP-ABCD＝13×18×4＝24(cm3)．取BC边的中点E，连接PE，则PE为等腰三角形PBC的高，在Rt△PBE中，PE＝PB2-BE2＝52-3222＝822(cm)．S侧＝4×12×32×822＝641(cm2)，S表＝(18＋641)(cm2)．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．如何求空间几何体的表面积？[提示]　空间几何体的表面积的求法技巧：(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．2．求几何体体积的常用方法有哪些？[提示]　求几何体体积的常用方法有公式法、等积法、补体法、分割法等，在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”．课时分层作业(二十四)　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积一、选择题1．长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则长方体的体积与表面积分别为(　　)A．6，22　　　 B．3，22C．6，11 D．3，11A　[V＝1×2×3＝6，S＝2(1×2)＋2(1×3)＋2(2×3)＝22．]2．若棱台的上、下底面面积分别为4，16，高为3，则该棱台的体积为(　　)A．26　　　B．28　　　C．30　　　D．32B　[所求棱台的体积V＝13×(4＋16＋4×16)×3＝28．]3．如图，ABC-A′B′C′是体积为1的三棱柱，则四棱锥C-AA′B′B的体积是(　　)A．13 B．12C．23 D．34C　[∵V三棱锥C-A′B′C′＝13V三棱柱ABC-A′B′C′＝13，∴V四棱锥C-AA′B′B＝1－13＝23．]4．如图，已知ABCD-A1B1C1D1为正方体，则正四面体D-A1BC1的表面积与正方体的表面积之比是(　　)A．22　　　B．33　　　C．3 　　　D．2B　[设正方体的棱长为1，则正方体的表面积为6，正四面体D-A1BC1的棱长为2，表面积为4×12×2×2sin 60°＝23，∴正四面体D-A1BC1的表面积与正方体的表面积之比是33.故选B．]5．(多选)(2022·哈尔滨九中月考)正三棱锥底面边长为3，侧棱长为23，则下列叙述正确的是(　　)A．正三棱锥高为3B．正三棱锥的斜高为392C．正三棱锥的体积为2734D．正三棱锥的侧面积为9394ABD　[设E为等边三角形ADC的中心，F为CD的中点，连接PF，EF，PE，则PE为正三棱锥的高，PF为斜高，又PF＝12-94＝392，EF＝32×3×13＝32，故PE＝394-34＝3，故AB正确；而正三棱锥的体积为13×3×34×9＝934，侧面积为3×12×3×392＝9394，故C错误，D正确．故选ABD．]二、填空题6．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则六棱锥的侧面积为________．12　[设六棱锥的高为h，斜高为h0，S底＝12×2×2×sin 60°×6＝63．∴13×63×h＝23，∴h＝1，h0＝2，∴S侧＝12×2×2×6＝12．]7．已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，其侧面积恰好等于两底面面积之和，则该正四棱台的高为________．23　[设正四棱台的高、斜高分别为h，h′．由题意得，4×12×(1＋2)×h′＝12＋22，解得h′＝56．根据棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形，可得h2＋1-122＝562，解得h＝23．]8．已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体，则它的表面积是________，体积是________．3　212　[S表＝4×34×12＝3，V体＝13×34×12× 12-332＝212．]三、解答题9．如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，截去三棱锥A1-ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1-DBC的表面积和体积．[解]　由题图可知△A1BD是边长为2a的等边三角形，其面积为32a2，故所求几何体A1B1C1D1-DBC的表面积S＝S△A1BD＋3S△DBC＋3S正方形A1B1C1D1＝32a2＋3×12×a2＋3a2＝3+92a2．几何体A1B1C1D1-DBC的体积V＝V正方体ABCD-A1B1C1D1 －V三棱锥A1-ABD＝a3－13×12×a×a×a＝56a3．10．已知长方体两两相邻的三个面的面积分别为x，y，z，则长方体的体积为(　　)A．xyz B．xyzC．x2+y2+z2 D．xy+yz+xzB　[设长方体长、宽、高分别为a，b，c，则ab=x，bc=y，ca=z， ∴(abc)2＝xyz，abc＝xyz，∴V长方体＝abc＝xyz．故选B．]11．如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′-EFQ的体积(　　)A．与点E，F的位置有关B．与点Q的位置有关C．与点E，F，Q的位置都有关D．与点E，F，Q的位置均无关，是定值D　[因为点Q到平面A′EF的距离为正方体的棱长4，A′到EF的距离为正方体的棱长为4，所以VA′-QEF＝VQ-A′EF＝13×12×2×4×4＝163，是定值，与点E，F，Q的位置均无关．]12．(多选)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分几何体，且上、下两部分的高之比为1∶2，则关于上、下两几何体的说法正确的是(　　)A．侧面积之比为1∶4B．侧面积之比为1∶8C．体积之比为1∶27D．体积之比为1∶26BD　[依题意，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1∶3，高之比为1∶3，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1∶9，体积之比为1∶27，即小棱锥与棱台的侧面积之比为1∶8，体积之比为1∶26．]13．我国有一种容器叫做方斗，方斗的形状是一个上大下小的正四棱台，如果一个方斗的高为3分米(即该方斗上、下底面的距离为3分米)，上底边长为6分米，下底边长为4分米，则此方斗外表面的侧面积为________平方分米．(容器厚度忽略不计)2010　[方斗大致图形如图所示，设点O，O1分别为上、下两底面的中心，M，N分别为AD，A1D1的中点，则MN为等腰梯形A1D1DA的高．根据题意可知MO＝3，NO1＝2，OO1＝3，则MN＝32+3-22＝10，所以此方斗的侧面等腰梯形ADD1A1的高为10分米．所以此方斗外表面的侧面积为4×4+6×102＝2010(平方分米)．]14．如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．[解]　如图，连接EB，EC，AC．V四棱锥E-ABCD＝13×42×3＝16．∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF．∴V三棱锥F-EBC＝V三棱锥C-EFB＝12V三棱锥C-ABE＝12V三棱锥E-ABC＝12×12V四棱锥E-ABCD＝4．∴多面体的体积V＝V四棱锥E-ABCD＋V三棱锥F-EBC＝16＋4＝20．15．有两个相同的直三棱柱，高为2a(a＞0)，底面三角形的三边长分别为3a，4a，5a.用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，求实数a的取值范围．[解]　由题意，知这两个直三棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱，有如下四种情况：①边长为5a，2a的面重合在一起，拼成一个四棱柱，表面积为24a2＋28；②边长为4a，2a的面重合在一起，拼成一个三棱柱或四棱柱，表面积为24a2＋32；③边长为3a，2a的面重合在一起，拼成一个三棱柱或四棱柱，表面积为24a2＋36；④两个直三棱柱的底面重合在一起，拼成一个三棱柱，表面积为12a2＋48．因为表面积最小的是一个四棱柱，所以24a2＋28<12a2＋48，即12a2<20，解得0