人教A版高中数学必修第二册第8章8-3-2第1课时圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积学案

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8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积第1课时　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积如图是工厂生产的各种金属零件，被广泛应用于工业领域的各个方面．问题：(1)如果已知制作零件的金属的密度，如何求出这些零件的质量？(2)如图所示的零件都是旋转体，其侧面都是曲面，如何求其表面积？知识点1　圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？[提示]　如图所示．S圆柱＝2πr(r＋l)　S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)　S圆锥＝πr(r＋l)知识点2　圆柱、圆锥、圆台的体积公式(1)V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)．(2)V圆锥＝13πr2h(r是底面半径，h是高)．(3)V圆台＝13πh(r2＋r′r＋r′2)(r′，r分别是上、下底面半径，h是高)．1．圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于________．67π　[S表＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)＝π(32＋42＋3×6＋4×6)＝π(9＋16＋18＋24)＝67π．]2．已知圆锥的底面半径为2，高为5，则这个圆锥的体积为________．203π　[由题意V圆锥＝13Sh＝13πr2·h＝20π3．] 类型1　圆柱、圆锥、圆台的表面积【例1】　(1)将一个边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱的侧面，则这个圆柱(包含上、下底面)的表面积是________．(2)(源自北师大版教材例题)圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的侧面积是多少？(结果中保留π)(1)32π2＋8π或32π2＋32π　[当底面圆的周长为8π时，半径r＝4，∴上、下底面面积和为2×π×42＝32π，侧面积为4π×8π＝32π2，∴圆柱的表面积为32π2＋32π．同理可得当底面圆的周长为4π时，圆柱的表面积为32π2＋8π．](2)[解]　如图，设圆台上底面周长为c cm．因为圆环的圆心角是180°，所以c＝π·SA．又因为c＝2π×10＝20π(cm)，所以SA＝20 cm．同理SB＝40 cm．所以AB＝SB－SA＝20(cm)，S圆台侧＝π(r1＋r2)·AB＝π(10＋20)×20＝600π(cm2)．因此，圆台的侧面积为600π cm2．　解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可．[跟进训练]1．若圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为120°，则圆锥的表面积是底面积的(　　)A．2倍　　　B．3倍　　　C．4倍　　　D．5倍C　[设圆锥底面半径为r，母线长为R．由圆锥底面周长为2πr＝120°360°×2πR，解得R＝3r，∴圆锥的表面积S表＝πr2＋πrR＝4πr2，圆锥的底面积S底＝πr2，∴圆锥的表面积是底面积的4倍．] 类型2　圆柱、圆锥、圆台的体积【例2】　(1)如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为________．(2)已知一圆台上底面半径为2，下底面的半径为3，截得此圆台的圆锥的高为6，则此圆台的体积为________．(1)10π　(2)383π　[(1)V＝π×22×2+32＝10π．(2)作出圆台的轴截面如图，设圆台的高为h，则23＝6-h6，∴h＝2，∴V＝π3(22＋2×3＋32)×2＝383π．]　求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解．[跟进训练]2．若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比是(　　)A．1　　B．1∶2　　C．3∶2　　D．3∶4D　[设圆柱、圆锥的高都为h，底面半径分别为r，R，则有12·2Rh＝2rh，所以R＝2r，V圆锥＝13πR2h＝43πr2h，V圆柱＝πr2h，故V圆柱∶V圆锥＝3∶4．] 类型3　组合体的表面积与体积【例3】　如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周，求旋转体的表面积和体积．[解]　在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，∴CD＝BC-ADcos60°＝2a，AB＝CDsin 60°＝3a，∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，∴DO＝12DD′＝a．由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥．由上述计算知，圆柱母线长3a，底面半径2a，圆锥的母线长2a，底面半径a.∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·3a＝43πa2，圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2，圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积S4＝πa2，∴组合体上底面积S5＝S3－S4＝3πa2，∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(43＋9)πa2．又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积．V柱＝S3h＝π·(2a)2·3a＝43πa3，V锥＝13S4h＝13·π·a2·3a＝33πa3，∴V＝V柱－V锥＝43πa3－33πa3＝1133πa3．　求组合体的表面积和体积，首先要认清组合体是由哪些简单几何体构成的．组合体的表面积是可见的围成组合体的所有面的面积之和，但不一定是组成组合体的几个简单几何体的表面积之和；组合体的体积是构成组合体的几个简单几何体的体积之和(差)．[跟进训练]3．如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，D为BC的中点，H，G分别是BD，CD的中点，若将正三角形ABC绕AD所在直线旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积．[解]　旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体．令BD＝R，HD＝r，AB＝l，EH＝h，则R＝2，r＝1，l＝4，h＝3．∴S圆锥表＝πR2＋πRl＝π×22＋π×2×4＝12π，S圆柱侧＝2πrh＝2π×1×3＝23π．∴所求几何体的表面积S＝S圆锥表＋S圆柱侧＝12π＋23π＝2(6＋3)π．1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为(　　)A．1∶2　　B．1∶3　　C．1∶5　　D．3∶2C　[设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝5r，∴S侧＝πrl＝5πr2，S底＝πr2，则S底∶S侧＝1∶5．]2．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为(　　)A．3　　　B．4　　　C．5 　　　D．6A　[设圆台的高为h，由题意知V＝13π(12＋1×2＋22)h＝7π，解得h＝3．]3．(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是(　　)A．288π cm3 B．192π cm3C．288π cm3 D．192π cm3AB　[当圆柱的高为8 cm时，V＝π×122π2×8＝288π(cm3)，当圆柱的高为12 cm时，V＝π×82π2×12＝192π(cm3)．]4．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体，下部是圆柱，其轴截面是边长为4的正方形；上部为圆锥，其高为3，则该几何体的体积为________．20π　[圆柱的底面半径是2，高为4，圆锥底面半径是2，高为3，则V＝π×22×4＋13×π×22×3＝20π．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．如图，圆锥的侧面展开图为一扇形，则扇形圆心角度数α，母线l、底面半径r存在怎样的等量关系？[提示]　圆锥侧面展开图中扇形弧长为圆锥底面周长，而扇形弧长又是以l为半径圆周长的α360°，于是有α360°·2πl＝2πr，即r＝α360°l．2．你能描述一下圆柱、圆锥、圆台的体积公式间的内在联系吗？[提示]　柱体可以看作上、下底面相同的台体，锥体可以看作有一个底面是一个点的台体，因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体．柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式．具体如下：课时分层作业(二十五)　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积一、选择题1．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与表面积的比是(　　)A．1∶2　 　B．2∶3　 　C．1∶3　　　D．1∶4B　[设正方形边长为1，则S侧＝2π×12×1＝π，S表＝S侧＋2S底＝π＋2π·122＝32π.所以S侧∶S表＝2∶3．]2．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为(　　)A．7　　　B．6　　　C．5 　　　D．3D　[设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由S侧＝7π(r＋3r)＝84π，解得r＝3．]3．如果圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为(　　)A．120°　　　B．150°　　　C．180° 　　　D．210°C　[设圆锥的底面半径为r，母线长为l，侧面展开图扇形的圆心角为θ，根据条件得πrl＋πr2＝3πr2，即l＝2r.又由弧长公式得θπl180＝2πr，解得θ＝180°.故选C．]4．在△ABC中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，现以AB所在直线为轴旋转一周，则所得几何体的表面积为(　　)A．24π　　　B．21π　　　C．33π 　　　D．39πA　[因为在△ABC中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，所以△ABC是以∠B为直角的直角三角形，故以AB所在直线为轴旋转一周得到的几何体为圆锥，所以圆锥的底面半径为3，母线长为5，所以底面周长为6π，侧面积为12×6π×5＝15π，所以几何体的表面积为15π＋π×32＝24π.故选A．]5．(多选)如图是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和9，且∠ABC＝120°，则该圆台的(　　)A．高为42　B．体积为5023πC．表面积为34π D．上底面积、下底面积和侧面积之比为1∶9∶22AC　[设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，则2πr＝13×2π×3，2πR＝13×2π×9，解得r＝1，R＝3.圆台的母线长l＝6，圆台的高为h＝62-3-12＝42，则选项A正确；圆台的体积＝13π×42×32+3×1+12＝5223π，则选项B错误；圆台的上底面积为π，下底面积为9π，侧面积为π1+3×6＝24π，则圆台的表面积为π＋9π＋24π＝34π，则C正确；由前面可知上底面积、下底面积和侧面积之比为1∶9∶24，则选项D错误．故选AC．]二、填空题6．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．2　[设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，由题意可知，πrl＋πr2＝3π，且πl＝2πr.解得r＝1，即直径为2．]7．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)3　[圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，所以降水量为π3102+10×6+62×9π×142＝3(寸)．]8．如图所示的几何体是一棱长为4的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2、深为1的圆柱形的洞，则挖洞后几何体的表面积是________．96＋2π　[原正方体的表面积为4×4×6＝96，圆柱的侧面积为2π×1＝2π，则挖洞后几何体的表面积为96＋2π．]三、解答题9．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5, CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕AD边所在的直线旋转一周所成几何体的表面积和体积．[解]　将四边形ABCD绕AD边所在的直线旋转一周形成一个被挖去一个圆锥的圆台，如图．由题意可得CD＝22，AD＝2，CE＝ED＝2，AB＝5，AE＝4，BC＝5，所以几何体的表面积为S＝π·EC·DC＋π(EC＋AB)·BC＋π·AB2＝42π＋35π＋25π＝60π＋42π，几何体的体积为V＝13π·(CE2＋AB2＋CE·AB)·AE－13π·CE2·DE＝52π－83π＝148π3．10．将半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是(　　)A．524πR3　　　B．58πR3　　　C．324πR3 　　　D．38πR3C　[设圆锥的底面半径为r，则2πr＝πR，所以r＝R2.所以圆锥的高h＝ R2-r2＝32R．所以圆锥的体积V＝13πr2×h＝13πR22×32R＝324πR3.故选C．]11．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台．如图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm)，那么该壶的体积约为(　　)A．100 cm3 B．200 cm3C．300 cm3 D．400 cm3C　[由题图可知，石瓢壶的体积V＝13π×6×(32＋52＋3×5)＝98π≈300(cm3)．故选C．]12．已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形ABCD是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从A到C的路径中，最短路径的长度为(　　)A．210　　　B．25　　　C．3 　　　D．2A　[圆柱的侧面展开图如图，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12，宽为2，则在此圆柱侧面上从A到C的最短路径为线段AC，AC＝22+62＝210.故选A．]13．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．7　[设新的底面半径为r，则有13×πr2×4＋πr2×8＝13×π×52×4＋π×22×8，解得r＝7．]14．如图，一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在其中有一个高为x cm的内接圆柱．(1)试用x表示圆柱的侧面积；(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？请求出这个最大值．[解]　(1)在△POB中，DBD1D＝OBPO，即DBx＝26，∴DB＝13x，∴OD＝OB－DB＝2－13x，∴圆柱的侧面积S＝2π·OD·D1D＝2π2-13xx＝2π3(6－x)x(cm2)(0V1，S2