人教A版高中数学必修第二册第8章8-5-2直线与平面平行学案

这是一份人教A版高中数学必修第二册第8章8-5-2直线与平面平行学案，共17页。

8.5.2　直线与平面平行如果将乒乓球台的台面抽象成平面α，将乒乓球网的上边缘抽象成直线l，则直线l与平面α具有怎样的位置关系？如果将乒乓球网的下边缘抽象成直线m，并把m看成平面α内的直线，则直线l与直线m具有怎样的位置关系？问题：你能给出判定的依据吗？知识点1　直线与平面平行的判定定理知识点2　直线与平面平行的性质定理 直线和平面平行的判定定理中如果没有“不在一个平面内”的限制条件，结论还成立吗？为什么？[提示]　结论不一定成立．因为直线a可能在平面α内．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线l∥平面α，直线a⊂平面α，则l∥a． (　　)(2)若直线m∥平面α，n∥平面α，则m∥n． (　　)[答案]　(1)×　(2)× 类型1　直线与平面平行的判定【例1】　如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点．求证：MN∥平面PAD．[证明]　如图，取PD的中点G，连接GA，GN．∵G，N分别是△PDC的边PD，PC的中点，∴GN∥DC，GN＝12DC．∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点，∴AM＝12DC，AM∥DC，∴AM∥GN，AM＝GN，∴四边形AMNG为平行四边形，∴MN∥AG．又MN⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，∴MN∥平面PAD．　用判定定理证明直线与平面平行的步骤[跟进训练]1．如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，D，E分别是AB，B1C的中点．求证：DE∥平面ACC1A1．[证明]　连接BC1，AC1，因为三棱柱ABC-A1B1C1是斜三棱柱，所以四边形BCC1B1为平行四边形，由平行四边形性质得点E也是BC1的中点．因为点D是AB的中点，所以DE∥AC1 ．又DE⊄平面ACC1A1，AC1⊂平面ACC1A1．所以DE∥平面ACC1A1． 类型2　直线与平面平行的性质【例2】　如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体．求证：截面MNPQ是平行四边形．[证明]　因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN．同理，AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP．所以截面MNPQ是平行四边形．　运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行．[跟进训练]2．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH．[证明]　如图，连接MO．∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．又∵M是PC的中点，∴AP∥OM．又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM．又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH． 类型3　直线与平面平行的判定与性质【例3】　求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．[解]　已知直线a，l，平面α，β满足α∩β＝l，a∥α，a∥β.求证：a∥l．证明：如图所示，过a作平面γ交平面α于b，∵a∥α，∴a∥b．同样过a作平面δ交平面β于c，∵a∥β，∴a∥c.则b∥c．又∵b⊄β，c⊂β，∴b∥β．又∵b⊂a，a∩β＝l，∴b∥l.又∵a∥b，∴a∥l．　利用线面平行的判定和性质定理，可以完成线线平行与线面平行的相互转化．转化思想是一种重要数学思想．该转化过程可概括为：线线平行 在平面内作或 找一条直线 线面平行 经过直线作或找平面 与平面相交的直线 线线平行[跟进训练]3．一正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点．(1)过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，在木块的表面应该怎样画线？(2)在平面ABC中所画的线与棱AC是什么位置关系？[解]　(1)取VC的中点D，BC的中点E，AB的中点F．分别连接PD，PF，EF，DE．则PD，PF，EF，DE即为在木块表面应画的线．(2)在平面ABC中的画线EF与棱AC平行，证明如下：因为PF∥DE，所以P，D，E，F四点共面，且AC∥平面PDEF，因为平面ABC∩平面PDEF＝EF，所以AC∥EF．1．已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，可得出b∥α的是(　　)A．b与α内的一条直线不相交B．b与α内的两条直线不相交C．b与α内的无数条直线不相交D．b与α内的所有直线不相交D　[若b与α内的所有直线不相交，即b与α无公共点，故b∥α．]2．如图，在三棱锥S -ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则(　　)A．EF与BC相交B．EF∥BCC．EF与BC异面D．以上均有可能B　[∵平面SBC∩平面ABC＝BC，又∵EF∥平面ABC，∴EF∥BC．]3．如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则(　　)A．MN∥PDB．MN∥PAC．MN∥ADD．以上均有可能B　[MN∥平面PAD，平面PAD∩平面PAC＝PA且MN⊂平面PAC，故MN∥PA．]4．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于______．2　[因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC.又点E为AD的中点，点F在CD上，所以点F是CD的中点，所以EF＝12AC＝2．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．应用直线与平面平行的判定定理应注意什么问题？[提示]　利用判定定理证明线面平行，必须具备三点：(1)平面内一条直线a；(2)平面外一条直线b；(3)a∥b.只有具备了这三点才能说明线面平行．2．在遇到线面平行时，我们常常如何应用条件？[提示]　在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．3．判断或证明线面平行的常用方法有哪些？[提示]　(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)．(2)判定定理法：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α．(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内．课时分层作业(三十)　直线与平面平行一、选择题1．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则(　　)A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交B　[若在平面α内存在与直线l平行的直线，因l⊄α，故l∥α，这与题意矛盾．]2．如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则HG与AB的位置关系是(　　)A．平行　　　　 B．相交C．异面 D．平行和异面A　[由题意可知EF∥AB，∴EF∥平面ABCD．又平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH，∴GH∥AB，故选A．]3．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是(　　)A．平行 B．平行或异面C．平行或相交 D．异面或相交B　[∵AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，∴CD∥平面α，∴直线CD与平面α内的直线没有公共点，直线CD与平面α内的直线的位置关系可能平行，也可能异面，故选B．]4．(多选)下列说法中正确的是(　　)A．若直线与平面没有公共点，则直线与平面平行B．若直线与平面内的任意一条直线不相交，则直线与平面平行C．若直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行D．若平面外的直线与平面内的一条直线平行，则直线与平面不相交ABD　[C中若直线在平面内，虽与平面内的无数条直线平行，但直线与平面不平行，故C不正确，A，B，D正确．故选ABD．]5．(多选)在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是(　　)A　　　　　　　BC　　　　　　　DBCD　[对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行的判定定理可知B满足题意；对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行的判定定理可知C满足题意；对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行的判定定理可知D满足题意．故选BCD．]二、填空题6．平行四边形的一组对边平行于一个平面，则另一组对边与这个平面的位置关系是________．[答案]　平行或相交7．如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，若过A，C，B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与AC的关系是________．平行　[连接A1C1(图略)，∵AC∥A1C1，∴AC∥平面A1B1C1D1，又∵AC⊂平面AB1C，平面AB1C∩平面A1B1C1D1＝l，∴AC∥l．]8．如图，P为▱ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，PFFC＝________．12　[连接AC交BE于G，连接FG，因为PA∥平面EBF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以PFFC＝AGGC．又因为AD∥BC，E为AD的中点，所以AGGC＝AEBC＝12，所以PFFC＝12．]三、解答题9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是PD上的点．(1)若E，F分别是PD和BC的中点，求证：EF∥平面PAB；(2)若PB∥平面AEC，求证：E是PD的中点．[证明]　(1)取PA的中点G，连接BG，EG，在△PAD中，因为E，G分别为所在边的中点，所以EG∥AD，且EG＝12AD，又因为底面ABCD为平行四边形，F为BC的中点，所以BF∥AD，且BF＝12AD，所以EG∥BF，且EG＝BF，所以四边形BFEG为平行四边形，所以EF∥BG，因为EF⊄平面PAB，BG⊂平面PAB，所以EF∥平面PAB．(2)如图，连接BD，交AC于点H，连接EH，因为PB∥平面ACE，PB⊂平面PBD，平面PBD∩平面ACE＝EH，所以PB∥EH，在△PBD中，H为BD的中点，所以E为PD的中点．10．对于直线m，n和平面α，下列命题中是真命题的是(　　)A．如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n与α相交，那么m，n是异面直线C．如果m⊂α，n∥α，m，n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥nC　[对于A，如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，则n∥α或n与α相交，故A错误；对于B，如果m⊂α，n与α相交，则m，n相交或是异面直线，故B错误；对于C，如果m⊂α，n∥α，m，n共面，由线面平行的性质定理，可得m∥n，故C正确；对于D，如果m∥α，n∥α，m，n共面，则m∥n或m，n相交，故D错误．]11．如图，四棱锥S-ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为(　　)A．2＋3 B．3＋3C．3＋23 D．2＋23C　[由AB＝BC＝CD＝DA＝2，得AB∥CD，即AB∥平面DCFE，∵平面SAB∩平面DCFE＝EF，∴AB∥EF.∵E是SA的中点，∴EF＝1，DE＝CF＝3.∴四边形DEFC的周长为3＋23．]12．(多选)如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，则下列说法中正确的是(　　)A．OM∥PD B．OM∥平面PCDC．OM∥平面PDA D．OM∥平面PBAABC　[因为矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点．在△PBD中，M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，所以OM∥PD，又PD⊂平面PCD，且PD⊂平面PDA，OM⊄平面PCD，且OM⊄平面PDA，所以OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA相交．]13．如图所示，ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________．223a　[∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，∴MN∥PQ.∵MN∥A1C1∥AC，∴PQ∥AC．∵AP＝a3，∴DP＝DQ＝2a3．∴PQ＝2×2a3＝223a．]14．如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l．(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面APD是否平行？试证明你的结论．[解]　(1)证明：因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD．又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l．(2)平行．如图，取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM．可知四边形AMNE为平行四边形．所以MN∥AE，又因为MN⊄平面APD，AE⊂平面APD，所以MN∥平面APD．15．如图，E为平行四边形ABCD所在平面外一点，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE，若存在，指出点M的位置，并证明你的结论．[解]　存在点M，如图，当点M是线段AE的中点时，PM∥平面BCE．证明如下：取BE的中点N，连接CN，MN，则MN∥AB且MN＝12AB．又PC∥AB且PC＝12AB，所以MN∥PC且MN＝PC，所以四边形MNCP为平行四边形，所以PM∥CN．因为PM⊄平面BCE，CN⊂平面BCE，所以PM∥平面BCE．学习任务1．掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理．(数学抽象)2．利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明空间平行问题．(逻辑推理)文字语言如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行图形语言符号语言a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α文字语言一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行图形语言符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b