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    人教A版高中数学必修第二册第8章8-6-1直线与直线垂直学案
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    人教A版高中数学必修第二册第8章8-6-1直线与直线垂直学案

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    这是一份人教A版高中数学必修第二册第8章8-6-1直线与直线垂直学案,共19页。

    8.6 空间直线、平面的垂直8.6.1 直线与直线垂直观察下面两个图形.问题:(1)教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线的位置关系是什么?(2)六角螺母中直线AB与CD的位置关系是什么?CD与BE的位置关系是什么?知识点1 异面直线所成的角(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a′∥a,b′∥b,我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°. 1.在异面直线所成角的定义中,角的大小与点O的位置有关系吗?[提示] 根据等角定理可知,异面直线所成角的大小与点O的位置无关.知识点2 两条异面直线垂直(1)定义:如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们就说这两条异面直线互相垂直.(2)表示:直线a与直线b垂直,记作a⊥b. 2.两条直线垂直,一定相交吗?[提示] 不一定.当两条异面直线所成的角为90°时,两条异面直线垂直,但不一定相交.1.已知正方体ABCD-EFGH,则AH与FG所成的角是________.45° [如图,连接BG,则BG∥AH,所以∠BGF为异面直线AH与FG所成的角.因为四边形BCGF为正方形,所以∠BGF=45°.]2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是A1D1和BC的中点,则在长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有________条.2 [长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有AD,B1C1,共2条.] 类型1 异面直线所成的角【例1】 如图,空间四边形ABCD的各个棱长都相等,E为BC的中点,求异面直线AE与CD所成角的余弦值.[解] 如图,取BD的中点F,连接EF,AF,又E为BC的中点,∴EF綉12CD,∴∠AEF为异面直线AE与CD所成的角(或补角).设空间四边形ABCD的棱长为a,则AE=AF=32a,EF=a2,∴cos ∠AEF=AE2+EF2-AF22AE×EF=34a2+14a2-34a22×32a×12a=36.故异面直线AE与CD所成角的余弦值为36. 求异面直线所成角的一般步骤“一作”即过空间一点作两条异面直线的平行线,而空间一点一般取在两异面直线中的一条上,特别是某些特殊点处,例如“端点”或“中点”处.“二求”即通过解三角形,计算所作的角的大小.“三结论”即假如所构造的角的大小为α,若0°<α≤90°,则α即为所求异面直线所成角的大小;若90°<α<180°,则180°-α即为所求.[跟进训练]1.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥AB,AA1⊥AC.若AB=AC=AA1=1,BC=2,求异面直线A1C与B1C1所成的角的大小.[解] 因为几何体是棱柱,BC∥B1C1,则直线A1C与BC所成的角就是异面直线A1C与B1C1所成的角.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥AB,AA1⊥AC,连接BA1(图略),∵AB=AC=AA1=1,∴BA1=2,CA1=2.∴△BCA1是等边三角形,∴异面直线A1C与B1C1所成的角为60°. 类型2 直线与直线垂直的证明【例2】 如图,正方体AC1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求证:DB1⊥EF. [解] 法一:如图,连接A1C1,B1D1,设交点为O,取DD1的中点G,连接OG,GA1,GC1.则OG∥B1D,EF∥A1C1,∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.∵GA1=GC1,O为A1C1的中点,∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°,∴DB1⊥EF.法二:如图,连接A1D,取A1D的中点H,连接HE,则HE∥DB1,且HE=12DB1.于是∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.连接HF,设AA1=1,则EF=22,HE=32,取A1D1的中点I,连接IF,HI,则HI⊥IF.∴HF2=HI2+IF2=54,∴HF2=EF2+HE2.∴∠HEF=90°,∴异面直线DB1与EF所成的角为90°, ∴DB1⊥EF.法三:如图,在原正方体的右侧补上一个全等的正方体,连接B1Q,DQ,则B1Q∥EF.于是,直线DB1与B1Q所成的角就是异面直线DB1与EF所成的角或其补角.通过计算,不难得到B1D2+B1Q2=DQ2,从而异面直线DB1与EF所成的角为90°,所以DB1⊥EF. 证明两条直线垂直的策略(1)对于共面垂直的两条直线的证明,可根据勾股定理证明.(2)对于异面垂直的两条直线的证明,可转化为求两条异面直线所成的角为90°来证明.[跟进训练]2.(1)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面四边形ABCD是菱形且AB=BC=23,∠ABC=120°,若异面直线A1B和AD1所成的角为90°,则线段AA1的长为________.(2)空间四边形ABCD,E,F,G分别是BC,AD,DC的中点,FG=2,GE=5,EF=3.求证:AC⊥BD.(1)6 [连接CD1,AC.由题意得四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,A1D1=BC,∴四边形A1BCD1是平行四边形,∴A1B∥CD1,∴∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角.∵异面直线A1B和AD1所成的角为90°,∴∠AD1C=90°.∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=23,∴△ACD1是等腰直角三角形,∴AD1=22AC.∵底面四边形ABCD是菱形,且AB=BC=23,∠ABC=120°,∴AC=23×sin 60°×2=6,AD1=22AC=32,∴AA1=AD12-A1D12=322-232=6.](2)[证明] ∵点G,E分别是CD,BC的中点,∴GE∥BD,同理GF∥AC.∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角.在△EFG中,∵FG=2,GE=5,EF=3,满足FG2+GE2=EF2,∴∠FGE=90°.即异面直线AC与BD所成的角是90°.∴AC⊥BD.1.(多选)如果空间两条直线互相垂直,那么它们可能是(  )A.相交直线  B.异面直线C.共面直线 D.平行直线ABC [由平面几何知识和异面垂直的定义可知,互相垂直的两条直线可垂直相交或异面垂直,故选ABC.]2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AA1,AB,BB1,B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于(  )A.45°  B.60°  C.90°  D.120°B [取A1B1中点I,连接IG,IH,则EF綉IG.易知IG,IH,HG相等,则△HGI为等边三角形,则IG与GH所成的角为60°,即EF与GH所成的角为60°.]3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的12条棱所在的直线中与直线BC1所成角为π4的条数为(  )A.6 B.8 C.10 D.12B [因为正方体中∠CBC1=π4,所以BC与直线BC1所成角为π4,又BC∥AD∥A1D1∥B1C1,所以AD,A1D1,B1C1与直线BC1所成角为π4,同理可得BB1,CC1,DD1,AA1与直线BC1所成角为π4,又AB,CD,C1D1,A1B1与直线BC1所成角为π2,所以与直线BC1所成角为π4的棱有8条.故选B.]4.如图,已知在长方体ABCD-A′B′C′D′中,AB=23,AD=23,AA′=2.(1)BC和A′C′所成的角为________;(2)AA′和BC′所成的角为________.(1)45° (2)60° [(1)因为BC∥B′C′,所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角.在Rt△A′B′C′中,A′B′=23,B′C′=23,所以∠B′C′A′=45°.(2)因为AA′∥BB′,所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角.在Rt△BB′C′中,B′C′=AD=23,BB′=AA′=2,所以BC′=4,∠B′BC′=60°.因此,异面直线AA′与BC′所成的角为60°.]回顾本节知识,自主完成以下问题:1.异面直线所成角的范围如何?什么是异面直线垂直?[提示] 异面直线所成角θ的范围为0°<θ≤90°,如果两条异面直线a,b所成的角为直角,我们就称这两条直线互相垂直,记为a⊥b.2.用平移法求异面直线所成角的一般步骤是什么?[提示] (1)作角——用平移法找(或作)出符合题意的角;(2)求角——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角;(3)结论——设由(2)求出的角的大小为θ,若0°<θ≤90°,则θ即为所求,若90°<θ<180°,则180°-θ即为所求.3.用平移法求异面直线所成角时应用了什么数学思想?[提示] 应用的是数学上的转换思想,即化空间图形问题为平面图形问题.课时分层作业(三十二) 直线与直线垂直一、选择题1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,在三棱柱所有的棱中,和AC垂直且异面的直线有(  )A.1条  B.2条  C.3条  D.4条B [和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1,故选B.]2.已知直线a,b,c,下列三个命题:①若a与b异面,b与c异面,则a与c异面;②若a∥b,a和c相交,则b和c也相交;③若a⊥b,a⊥c,则b∥c.其中,正确命题的个数是(  )A.0 B.1 C.2 D.3A [①不正确,有可能平行;②不正确,有可能相交也有可能异面;③不正确,可能平行,可能相交也可能异面.]3.如图正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线A1B与AD1所成角为(  )A.30° B.45° C.60° D.90°C [连接BC1,A1C1(图略),∵BC1∥AD1,∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角.在△A1BC1中,A1B=BC1=A1C1,∴∠A1BC1=60°.故异面直线A1B与AD1所成角为60°.]4.在长方体ABCD -A1B1C1D1中,AB=BC=3,AA1=2,则异面直线AC1与BB1所成的角为(  )A.30° B.45° C.60° D.90°C [连接A1C1(图略),因为BB1∥AA1,所以∠A1AC1为异面直线AC1与BB1所成的角.因为tan ∠A1AC1=A1C1AA1=32+322=3,所以∠A1AC1=60°,故选C.]5. (多选)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是(  )A.CC1与B1E是异面直线B.C1C与AE共面C.AE与B1C1是异面直线D.AE与B1C1所成的角为90°CD [由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E是共面的,A错误;由于C1C在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC相交于E点,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B错误;同理AE与B1C1是异面直线,C正确;而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,E为BC的中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,即AE与B1C1所成的角为90°,D正确.故选CD.]二、填空题6.如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G分别是AB,BC,AD的中点,∠GEF=120°,则BD与AC所成角的度数为________.60° [依题意知,EG∥BD,EF∥AC,所以∠GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角,又∠GEF=120°,所以异面直线BD与AC所成的角为60°.]7.如图,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,并且异面直线AC与BD所成的角为90°,则MN等于________.5 [取AD的中点P,连接PM,PN,则BD∥PM,AC∥PN,∴∠MPN为异面直线AC与BD所成的角,∴∠MPN=90°,PN=12AC=4,PM=12BD=3,∴MN=5.]8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________.90° [如图,过点M作ME∥DN交CC1于点E,连接A1E,则∠A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角).设正方体的棱长为a,则A1M=32a,ME=54a,A1E=414a,所以A1M2+ME2=A1E2,所以∠A1ME=90°,则异面直线A1M与DN所成的角为90°.]三、解答题9.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1.(1)求A1C1与B1C所成角的大小;(2)若E,F分别为棱AB,AD的中点,求证:A1C1⊥EF.[解] (1)如图,连接AC,AB1.由几何体ABCD-A1B1C1D1是正方体,知四边形AA1C1C为平行四边形,所以AC∥A1C1,从而AC与B1C所成的角为A1C1与B1C所成的角.由AB1=AC=B1C,可知∠B1CA=60°.故A1C1与B1C所成的角为60°.(2)证明:如图,连接BD.易知四边形AA1C1C为平行四边形,所以AC∥A1C1,因为EF为△ABD的中位线,所以EF∥BD.又AC⊥BD,所以EF⊥AC,所以A1C1⊥EF.10.如图所示,在等边三角形ABC中,D,E,F分别为各边中点,G,H,I,J分别为AF,AD,BE,DE的中点.将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥后,GH与IJ所成角的度数为(  )A.90° B.60° C.45° D.0°B [将三角形折成三棱锥,如图所示,GH与IJ为异面直线,在三棱锥A-DEF中,IJ∥AD,GH∥DF,所以∠ADF即为所求,因此GH与IJ所成角为60°.]11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是(  )A.0°<θ<60° B.0°≤θ<60°C.0°≤θ≤60° D.0°<θ≤60°D [如图,连接CD1,AC,因为CD1∥BA1,所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角,即θ=∠D1CP.当点P从D1向A运动时,∠D1CP从0°增大到60°,但当点P与D1重合时,CP∥BA1,与CP与BA1为异面直线矛盾,所以异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0°<θ≤60°.]12.(多选)一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论,正确的是(  )A.AB⊥EFB.AB与CM所成的角为60°C.EF与MN是异面直线D.MN∥CDAC [把正方体的平面展开图还原为原来的正方体可知,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有AC正确.]13.如图所示,在空间四边形ABCD中,AB=CD,且AB与CD所成的角为30°,E,F分别为BC,AD的中点,则EF与AB所成角的大小是________.15°或75° [取AC的中点G,连接EG,FG,则EG∥AB,且EG=12AB,FG∥CD,且FG=12CD,由AB=CD知EG=FG.易知∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角,∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角.∵AB与CD所成的角为30°,∴∠EGF=30°或150°.由EG=FG知△EFG为等腰三角形,当∠EGF=30°时,∠GEF=75°;当∠EGF=150°时,∠GEF=15°.故EF与AB所成的角为15°或75°.]14.如图,已知E,F,G,H分别是三棱锥A-BCD棱AB,BC,CD,DA的中点,AC与BD所成角为60°,且AC=BD=2,求EG的长.[解] 因为E,F,G,H分别是三棱锥A-BCD棱AB,BC,CD,DA的中点,所以EF为△ABC的中位线,故EF∥AC且EF=12AC,同理GH为△ACD的中位线,故GH∥AC且GH=12AC,所以EF綉GH,所以四边形EFGH是平行四边形且EF=12AC=1.同理FG∥BD且FG=12BD=1.因为AC与BD所成角为60°,所以∠EFG=60°或120°,当∠EFG=60°时,EG=1.当∠EFG=120°时,EG=3.15.如图,已知点P在圆柱OO1的底面⊙O上,AA1⊥AB,BP⊥A1P,AB,A1B1分别为⊙O,⊙O1的直径,且AB∥A1B1.若圆柱OO1的体积V=12π,OA=2,∠AOP=120°,回答下列问题.(1)求三棱锥A1-APB的体积;(2)在线段AP上是否存在一点M(M点异于A,P两点),使异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为25?若存在,请指出点M的位置,并证明;若不存在,请说明理由.[解] (1)由题意,得V=π·OA2·AA1=4π·AA1=12π,解得AA1=3.由OA=2,∠AOP=120°,得∠BAP=30°,BP=2,AP=23,∴S△PAB=12×2×23=23,∴V三棱锥A1-APB=13S△PAB·AA1=13×23×3=23.(2)当点M为AP的中点时,异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为25.证明如下:∵O,M分别为AB,AP的中点,∴OM∥BP,∴ ∠A1BP就是异面直线OM与A1B所成的角.∵AA1=3,AB=4,AA1⊥AB,∴A1B=5.又BP⊥A1P,∴cos ∠A1BP=BPA1B=25,∴当点M为AP的中点时,异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为25. 学习任务1.借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线垂直的关系.(直观想象)2.掌握两异面直线所成的角的求法.(数学运算、逻辑推理)
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