人教A版高中数学必修第二册第8章8-6-3第2课时平面与平面垂直的性质学案

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第2课时　平面与平面垂直的性质黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？由此，你能得到什么样的一般结论呢？知识点　平面与平面垂直的性质定理思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若平面α⊥平面β，则平面α内所有直线都垂直于平面β． (　　)(2)若平面α⊥平面β，则平面α内一定存在直线平行于平面β． (　　)(3)若平面α不垂直于平面β，则平面α内一定不存在直线垂直于平面β． (　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)√ 类型1　面面垂直性质定理的应用【例1】　如图，已知V是△ABC所在平面外一点，VA⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VBC.求证：AB⊥BC．[思路导引]　平面VAB⊥平面VBC 作辅助线AD⊥V AD⊥BC VA⊥平面ABC BC⊥平面VAB 逻辑推理 BC⊥AB．[证明]　如图，在平面VAB内，过点A作AD⊥VB于点D．∵平面VAB⊥平面VBC，且交线为VB，∴AD⊥平面VBC．∴AD⊥BC．∵VA⊥平面ABC，∴VA⊥BC．∵AD∩VA＝A，且VA⊂平面VAB，AD⊂平面VAB，∴BC⊥平面VAB．∵AB⊂平面VAB，∴AB⊥BC．[母题探究]若将本例中的条件变为：平面VAB⊥平面ABC，平面VAC⊥平面ABC，CA⊥AB.求证：VA⊥BC．[证明]　∵平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，AC⊂平面ABC，CA⊥AB，∴CA⊥平面VAB，∴CA⊥VA.同理，BA⊥VA．又AB∩AC＝A，∴VA⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴VA⊥BC．　在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而转化为线线垂直问题．[跟进训练]1．如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．求证：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB．[证明]　(1)由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面PAD，∴PG⊥平面ABCD，由BG⊂平面ABCD，∴PG⊥BG．又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD．又AD∩PG＝G，AD，PG⊂平面PAD，∴BG⊥平面PAD．(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG⊂平面PBG，∴AD⊥平面PBG，又PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB． 类型2　线线、线面、面面垂直的综合应用【例2】　如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．[证明]　(1)如图，在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于点F．∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC．∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA．作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥PA．∵DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC．(2)如图，连接BE并延长交PC于点H．∵点E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE．又AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，∴PC⊥AE．∵AE∩BE＝E，∴PC⊥平面ABE．又AB⊂平面ABE，∴PC⊥AB．由(1)知PA⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，∴PA⊥AB．∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC．又AC⊂平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．　垂直关系的转化直线与直线垂直(线线垂直)、直线与平面垂直(线面垂直)、平面与平面垂直(面面垂直)之间可以相互转化，它们之间的转化关系可用框图来表示．线线垂直 eq \o(⥫==⥬,\s\up10(判定),\s\do10(　))线面垂直 eq \o(⥫==⥬,\s\up10(判定),\s\do10(性质))面面垂直[跟进训练]2．如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.[证明]　(1)设BD＝a，如图，作DF∥BC交CE于F，则CF＝DB＝a.因为CE⊥平面ABC，所以BC⊥CF，DF⊥EC，所以DE＝EF2+DF2＝5a.又因为DB⊥平面ABC，所以DA＝DB2+AB2＝5a，所以DE＝DA.(2)取CA的中点N，连接MN，BN，则MN綉12CE綉DB.所以四边形MNBD为平行四边形，所以MD∥BN.又因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，EC⊥MD.又DE＝DA，M为EA的中点，所以DM⊥AE.又AE∩EC＝E，所以DM⊥平面AEC，所以平面BDM⊥平面ECA.(3)由(2)知DM⊥平面AEC，而DM⊂平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA.1．已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是(　　)A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βD　[A项中缺少了条件l⊂α，故A错误．B项中缺少了条件α⊥β，故B错误．C项中缺少了条件α∩β＝m，l⊥m，故C错误．D项具备了面面垂直的性质定理中的全部条件，故D正确．]2．已知长方体ABCD-A1B1C1D1，在平面AA1B1B上任取一点M，作ME⊥AB于点E，则(　　)A．ME⊥平面ABCD　　 B．ME⊂平面ABCDC．ME∥平面ABCD D．以上都有可能A　[因为ME⊂平面AA1B1B，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，且平面AA1B1B⊥平面ABCD，ME⊥AB，所以ME⊥平面ABCD.]3．已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝(　　)A．2　　　B．3　　 　C．2　　　　D．1C　[如图所示，连接BC.因为AC⊥l，α⊥β，AC⊂α，α∩β＝l，所以AC⊥β.因为BC⊂β，所以AC⊥BC，所以△ABC为直角三角形，所以BC＝22-12＝3.在Rt△BCD中，CD＝32-12＝2.]4．如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝____________．5　[∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∠PAC＝90°，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，∴PB＝PA2+AB2＝12+22＝5.]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．面面垂直的性质定理包含哪些条件？ [提示]　面面垂直的性质定理必须满足四条，缺一不可，即①面面垂直；②面和面的交线；③有一条线和交线垂直；④这一条线必须在其中一个面内，这样才能证明这条线垂直于另一平面，即将面面垂直转化为线面垂直．切记：前提是平面与平面垂直．2．当题设条件中给出面面垂直时，我们常如何作辅助线？[提示]　面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．3．线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的判定和性质是如何转化的？[提示]　垂直问题转化关系如下所示：课时分层作业(三十六)　平面与平面垂直的性质一、选择题1．设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则(　　)A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直C　[当b＝α∩β时，必有a⊥β；当b不是α与β的交线时，直线a不一定垂直于平面β.]2．平面α∩平面β＝l，平面γ⊥平面α，平面γ⊥平面β，则(　　)A．l∥平面γ　 B．l⊂平面γC．l与平面γ斜交 D．l⊥平面γD　[在平面γ内取一点O，作OE⊥m，OF⊥n，由于平面β⊥平面γ，平面γ∩平面β＝m，所以OE⊥平面β，所以OE⊥l，同理OF⊥l，又OE∩OF＝O，所以l⊥平面γ.故选D.]3．如图所示，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，AD＝DB，则(　　)A．PD⊂平面ABCB．PD⊥平面ABCC．PD与平面ABC相交但不垂直D．PD∥平面ABCB　[因为PA＝PB，AD＝DB，所以PD⊥AB.又因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD⊂平面PAB，所以PD⊥平面ABC.]4．设α-l-β是直二面角，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a，b与直线l都不垂直，那么(　　)A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直，也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行C　[当a∥l，b∥l时，a∥b.若a⊥b，可在a上任取点A，过点A在α内作l的垂线c，如图，则c⊥β，所以c⊥b.因为a∩c＝A，所以b⊥α，所以b⊥l，这与已知矛盾．所以a与b不可能垂直．]5．(多选)如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论一定成立的是(　　)A．PE⊥ACB．PE⊥BCC．平面PBE⊥平面ABCDD．平面PBE⊥平面PADABC　[因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A，B结论一定成立．又PE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C结论一定成立．若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立，故选ABC.]二、填空题6．已知α，β是两个不同的平面，l是平面α与β之外的直线，给出下列三个论断：①l⊥α，②l∥β，③α⊥β.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_________．(用序号表示)①②⇒③(或①③⇒②)　[由l∥β可在平面β内作l′∥l，又l⊥α，∴l′⊥α，∵l′⊂β，∴α⊥β，故①②⇒③.①③⇒②，也对．]7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则BC＝___________．1　[因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.在△BCD中∠BDC＝90°，又AB＝AC＝1，所以BD＝CD＝22，所以BC＝BD2+CD2＝1.]8．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是___________．45°　[如图，过A作AO⊥BD于O 点，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB ＝AD，∴∠ADO＝45°.]三、解答题9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝22AD.求证：平面PAB⊥平面PBD.[证明]　因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，所以PD⊥AB.因为PA＝PD＝22AD，所以PA2＋PD2＝AD2，所以PA⊥PD.又PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB.因为PD⊂平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.10．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥A-BCD中，下列命题正确的是(　　)A．平面ADC⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ABD⊥平面ABCA　[易知CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，CD⊂平面BCD，∴CD⊥平面ABD，又BA⊂平面ABD，∴CD⊥BA.又BA⊥AD，且AD∩CD＝D，AD，CD⊂平面ADC，∴BA⊥平面ADC，又BA⊂平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC.]11．如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影必在(　　)A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部A　[如图，连接AC1，∵∠BAC＝90°，即BA⊥AC，又∵AC⊥BC1，BA∩BC1＝B，BA，BC1⊂平面ABC1，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1.又平面ABC∩平面ABC1＝AB，∴C1在平面ABC上的射影必在直线AB上．]12．如图，线段AB的两端在直二面角α-l-β的两个面内，并与这两个面都成30°角，则异面直线AB与l所成的角是(　　)A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．75°B　[如图，设AB＝a，在平面α内，作AA′⊥l于A′，则AA′⊥β，连接A′B，则∠ABA′＝30°.在Rt△AA′B中，AB＝a，所以AA′＝12a.同理作BB′⊥l于B′，连接AB′，则∠BAB′＝30°，所以BB′＝12a，AB′＝32a，所以A′B′＝AB'2-AA'2＝22a.过B作BC綉A′B′，连接A′C，则A′C綉BB′，连接AC.在Rt△AA′C中，AC＝AA'2+A'C2＝22a.易证BC⊥平面AA′C，所以△ABC为直角三角形，且AC＝BC，所以∠ABC＝45°，即l与AB所成的角是45°.]13．如图，△ABC是正三角形，E，F分别为线段AB，AC上的动点，现将△AEF沿EF折起，使平面AEF⊥平面BCFE，设AEAF＝λ，当AE⊥CF时，λ的值为__________．2或12　[如图所示，过A作AH⊥EF于H，由平面AEF⊥平面BCFE，可得AH⊥平面BCFE，所以AH⊥CF，又AE⊥CF，故可证得CF⊥平面AEF.所以CF⊥EF，由图可得，此时H必与F重合，则∠AFE是直角．所以∠AEF＝30°，所以AE＝2AF，故λ＝2.又当AE垂直于底面时显然满足题意，此时有AF＝2AE，故此情况下有λ＝12.]14．如图，M是半圆弧CD上异于C，D的点，四边形ABCD是矩形，P为AM中点．(1)证明：MC∥平面PBD；(2)若矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，证明：平面AMD⊥平面BMC.[证明]　(1)连接AC，交BD于O，因为四边形ABCD是矩形，所以O是AC中点，连接OP，因为P是AM中点，所以MC∥OP，因为MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD.(2)平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD，因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，所以BC⊥DM，因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM，又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC，而DM⊂平面AMD，所以平面AMD⊥平面BMC.15．如图所示，在三棱锥A-BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且AEAC＝AFAD＝λ(0<λ<1)．(1)求证：不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC；(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?[解]　(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又AEAC＝AFAD＝λ(0<λ<1)，∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面ABC.∴不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC.(2)由(1)，知BE⊥EF.若平面BEF⊥平面ACD，又平面BEF∩平面ACD＝EF，则BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，∴BD＝2，AB＝2tan 60°＝6，∴AC＝AB2+BC2＝7.由AB2＝AE·AC，得AE＝67，∴λ＝AEAC＝67，故当λ＝67时，平面BEF⊥平面ACD.学习任务1．通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的性质定理，并加以证明．(直观想象、数学抽象)2．能用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的空间线面位置关系问题．(逻辑推理)文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言α⊥βα∩β＝la⊂αa⊥l⇒a⊥β图形语言