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人教A版高中数学必修第二册第8章章末综合提升学案
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这是一份人教A版高中数学必修第二册第8章章末综合提升学案,共23页。
类型1 空间几何体的表面积和体积1.主要考查空间几何体的几何体表面积、体积的计算以及外接球和内切球问题;对于不规则几何体常用转换法、分割法、补形法等进行求解.2.利用公式求解表面积、体积,提高数学运算素养.【例1】 (1)(2022·山东泰安期末)已知三棱柱ABC-A1B1C1中,C1C⊥AC,A1A⊥BC,平面A1BC⊥平面AA1B,AC=5,若该三棱柱存在体积为43π的内切球,则三棱锥A-A1BC体积为( )A.23 B.43 C.2 D.4(2)如图所示(单位:cm),求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.(1)D [如图所示,因为C1C⊥AC,A1A⊥BC⇔C1C⊥BC,AC∩BC=C,所以CC1⊥平面ABC,又因为平面A1BC⊥平面AA1B,平面A1BC∩平面AA1B=A1B,过点A作AE⊥A1B,则AE⊥平面A1BC,则AE⊥BC.又因为BC⊥BB1,所以BC⊥平面AA1B,AB⊂平面ABB1A1,所以AB⊥BC.设AB=c,AC=b,BC=a,则b2=a2+c2,又因为三棱柱内切球的体积为43π,则43π=43πR3,则R=1.又R=c+a-b2,即c+a-b=2,则a2+c2=25a+c=7 ,解得ac=12,棱柱的高等于内切球直径2,所以VA-A1BC=VA1-ABC=13×12×12×2=4,故三棱锥A-A1BC的体积为4.故选D.](2)[解] 由题意知,所求几何体的表面积由三部分组成:圆台下底面、侧面和一半球面,S半球=8π cm2,S圆台侧=35π cm2,S圆台底=25π cm2,故所求几何体的表面积为68π cm2.由V圆台=13×[π×22+π×22×π×52+π×52]×4=52π(cm3),V半球=43π×23×12=163π(cm3),所以所求几何体的体积为V圆台-V半球=52π-163π=1403π(cm3). 类型2 空间点、线、面位置关系1.空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面及面面的平行与垂直关系,平行、垂直关系的相互转化如图所示.2.通过线线、线面、面面平行、垂直关系的相互转化,提升直观想象和逻辑推理素养.【例2】 (1)(多选)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,其中正确的是( )A.直线AM与C1C是相交直线B.直线AM与BN的平行直线C.直线BN与MB1是异面直线D.直线MN与AC所成的角为60°(2)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AC=9,BC=12,AB=15,AA1=12,点D是AB的中点.求证:①AC⊥B1C;②AC1∥平面CDB1.(1)CD [结合题图,显然直线AM与C1C是异面直线,直线AM与BN是异面直线,直线BN与MB1是异面直线.连接D1C,AD1(图略),直线MN与AC所成的角即直线D1C与AC所成的角,在等边三角形AD1C中,易知∠ACD1=60°,所以直线MN与AC所成的角为60°,故选CD.](2)[证明] ①∵C1C⊥平面ABC,∴C1C⊥AC.∵AC=9,BC=12,AB=15,∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC.又BC∩C1C=C,∴AC⊥平面BCC1B1,而B1C⊂平面BCC1B1,∴AC⊥B1C.②连接BC1交B1C于点O,连接OD.如图,∵O,D分别为BC1,AB的中点,∴OD∥AC1.又OD⊂平面CDB1,AC1⊄平面CDB1,∴AC1∥平面CDB1. 类型3 空间角的计算1.空间角包括异面直线所成的角、线面角及二面角,主要考查空间角的定义及求法,求角时要先找角,再证角,最后在三角形中求角.2.通过找角、证角、求角,提升逻辑推理与数学运算素养.【例3】 如图,正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1,B′C∩BC′=O,求:(1)AO与A′C′所成的角的大小;(2)AO与平面ABCD所成的角的正切值;(3)二面角B-AO-C的大小.[解] (1)∵A′C′∥AC,∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC(或其补角).∵AB⊥平面BC′,OC⊂平面BC′,∴OC⊥AB,又OC⊥BO,AB∩BO=B,AB,BO⊂平面ABO,∴OC⊥平面ABO.又OA⊂平面ABO,∴OC⊥OA.在Rt△AOC中,OC=22,AC=2,∴sin ∠OAC=OCAC=12,∴∠OAC=30°.即AO与A′C′所成的角为30°.(2)如图,作OE⊥BC于点E,连接AE.∵平面BC′⊥平面ABCD,平面BC′∩平面ABCD=BC,OE⊂平面BC′,∴OE⊥平面ABCD,∴∠OAE为AO与平面ABCD所成的角.在Rt△OAE中,OE=12,AE=12+122=52,∴tan ∠OAE=OEAE=55.即AO与平面ABCD所成的角的正切值为55.(3)由(1)可知OC⊥平面AOB.又∵OC⊂平面AOC,∴平面AOB⊥平面AOC.即二面角B-AO-C的大小为90°. 类型4 空间距离的计算1.我们已学习过的空间距离主要包括点到平面的距离、直线到平面的距离和平面到平面的距离,其中点到平面的距离的计算是这三种距离的核心,通常借助几何体的等体积法求解. 2.通过三种距离间的转化,提升逻辑推理和数学运算素养.【例4】 如图①,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠BAD=90°,AB=5,AD=2,DC=3,点E在CD上,且DE=2,将△ADE沿AE折起,使得平面ADE⊥平面ABCE(如图②).(1)求点B到平面ADE的距离;(2)在线段BD上是否存在点P,使得CP∥平面ADE?若存在,求三棱锥P-ABC的体积;若不存在,请说明理由.[解] (1)取AE中点G,连接DG,因为AD=DE=2,所以DG⊥AE.因为平面ADE⊥平面ABCE,平面ADE∩平面ABCE=AE,DG⊂平面ADE,所以DG⊥平面ABCE.在直角三角形ADE中,因为AD=DE=2,∴AE=22,所以DG=12AE=2.设点B到平面ADE的距离为d,又S△ABE=5,S△ADE=2,VD-ABE=VB-ADE=13S△ABE·DG=13S△ADE·d=523, 所以d=522.(2)存在点P,此时BPBD=45.过点P作PF∥AB,连接EF,PC,因为AB=5,BPBD=45,所以PF=EC=1,PF∥EC,所以四边形EFPC为平行四边形,所以CP∥EF,因为CP⊄平面ADE,EF⊂平面ADE,所以CP∥平面ADE.由(1)知DG⊥平面ABCE,点P到平面ABCE的距离d1=45DG=452,S△ABC=5,所以VP-ABC=13S△ABC·d1=423.章末综合测评(三) 立体几何初步(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列条件中,能确定一个平面的是( )A.空间中任意三点B.空间中两条直线C.空间中两条相交直线D.一条直线和一个点C [对于A,空间任意三点,当三点共线时能确定一条直线而不是平面,故错误;对于B,空间两条直线,当两条直线重合时,过这条直线的平面有无数个,故错误;对于C,空间两条相交直线,根据课本中的判定得到是正确的; 对于D,一条直线和一个点,当这个点在直线上时,过这条直线的平面有无数个,故错误.故选C.]2.一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形,矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm,则该棱柱的侧面积为( )A.24 cm2 B.36 cm2 C.72 cm2 D.84 cm2C [棱柱的侧面积S侧=3×6×4=72(cm2).]3.(2022·厦门一中月考)如图,平行四边形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O′A′=5,O′C′=2,∠A′O′C′=30°,则原图形的面积是( )A.4 B.102 C.42 D.52B [平行四边形O′A′B′C′中,O′A′=5,O′C′=2,∠A′O′C′=30°,所以平行四边形O′A′B′C′的面积为S′=O′A′·O′C′·sin 30°=5×2×12=5,所以原平面图形的面积是S=22S′=22×5=102.故选B.]4.(2022·新高考Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为140.0 km2;水位为海拔157.5 m时,相应水面的面积为180.0 km2,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时,增加的水量约为(7≈2.65)( )A.1.0×109 m3 B.1.2×109 m3C.1.4×109 m3 D.1.6×109 m3C [依题意可知棱台的高为MN=157.5-148.5=9(m),所以增加的水量即为棱台的体积V.棱台下底面积S=140.0 km2=140×106m2,上底面积S′=180.0 km2=180×106m2,∴V=13h(S+S′+SS')=13×9×(140×106+180×106+140×180×1012)=3×(320+607)×106≈(96+18×2.65)×107=1.437×109≈1.4×109(m3).故选C.]5.(2021·全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为( )A.π2 B.π3 C.π4 D.π6D [法一:如图,连接C1P,因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,且P为B1D1的中点,所以C1P⊥B1D1,又C1P⊥BB1,所以C1P⊥平面B1BP.又BP⊂平面B1BP,所以C1P⊥BP.连接BC1,则AD1∥BC1,所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则在直角三角形C1PB中,C1P=12B1D1=2,BC1=22,sin ∠PBC1=PC1BC1=12,所以∠PBC1=π6,故选D.法二:如图所示,连接BC1,A1B,A1P,PC1,则易知AD1∥BC1,所以直线PB与AD1所成角等于直线PB与BC1所成角.根据P为正方形A1B1C1D1的对角线B1D1的中点,易知A1,P,C1三点共线,且P为A1C1的中点.易知A1B=BC1=A1C1,所以△A1BC1为等边三角形,所以∠A1BC1=π3,又P为A1C1的中点,所以可得∠PBC1=12∠A1BC1=π6.]6.如图,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与两平面α,β所成的角分别为π4和π6.过A,B分别作两平面交线的垂线,垂足为A′,B′,则AB∶A′B′等于( )A.2∶1 B.3∶1C.3∶2 D.4∶3A [连接AB′,A′B(图略),由已知条件可知∠BAB′=π4,∠ABA′=π6,设AB=2a,则BB′=2asin π4=2a, A′B=2a cos π6=3a,∴在Rt△BB′A′中,得A′B′=a,∴AB∶A′B′=2∶1.]7.底面半径为3,母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为( )A.6π B.12π C.8π D.16πD [由题意,圆锥轴截面的顶角为120°,设该圆锥的底面圆心为O′,球O的半径为R,则O′O=R-1.由勾股定理可得R2=(R-1)2+(3)2,∴R=2,∴球O的表面积为4πR2=16π.]8.(2022·广东韶关期末)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱B1C1的中点,则过B,E,D1三点的平面截正方体所得的截面图形的面积为( )A.5 B.6 C.26 D.46C [设平面BED1交棱AD于F,由正方体性质及平面与平面平行的性质定理得ED1∥BF,D1F∥BE,由勾股定理可得四边形D1FBE所有边长的长度为5,所以D1FBE是菱形,且F为AD的中点,取A1D1的中点M,连接FM,ME,则D1B=DD12+BD2=DD12+AB2+AD2=22+22+22=23,EF=FM2+ME2==22+22=22,故SD1FBE=D1B·FE2=23×222=26.故选C.]二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.如图是一个正方体的平面展开图,在这个正方体中,以下四个命题中,正确的是( )A.BM∥ED B.EF∥CD C.CN与BM为异面直线D.DM⊥BNBCD [作出正方体的直观图,如图,由直观图可知BM与DE为互相垂直的异面直线,故A错误;EF∥AB∥CD,故B正确;CN与BM为异面直线,故C正确;由正方体性质得BN⊥平面DEM,故NB⊥DM,故D正确.故选BCD.]10.(2022·新高考Ⅱ卷)如图,四边形ABCD为正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB,记三棱锥E-ABC,F-ABC,E-ACF的体积分别为V1,V2,V3,则( )A.V3=2V2B.V3=V1C.V3=V1+V2D.2V3=3V1CD [设AB=ED=2FB=2,则V1=13×12×2×2×2=43,V2=13×12×2×2×1=23.连接BD交AC于M,连接EM,FM(图略),则FM=3,EM=6,EF=3,所以FM2+EM2=EF2,∴EM⊥FM,故S△EMF=12×3×6=322,V3=13S△EMF×AC=2,V3=V1+V2,2V3=3V1,故选CD.]11.如图是四棱锥的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点,在此几何体中,给出下面四个结论,其中正确的有( )A.平面EFGH∥平面ABCDB.BC∥平面PADC.AB∥平面PCDD.平面PAD∥平面PABABC [把平面展开图还原为四棱锥如图所示,则EH∥AB,因为AB⊂平面ABCD,EH⊄平面ABCD,所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD,因为EH∩EF=E,EH,EF⊂平面EFGH,所以平面EFGH∥平面ABCD;平面PAD,平面PBC,平面PAB,平面PDC均是四棱锥的四个侧面,则它们两两相交.因为AB∥CD,CD⊂平面PCD,AB⊄平面PCD,所以AB∥平面PCD.同理,BC∥平面PAD.]12.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD为正方形,AB=2,AA1=2,E,F分别为AB,BC的中点.则( )A.A1E⊥DFB.点A1,E,F,C1四点共面C.直线C1D与平面BB1C1C所成角的正切值为2D.三棱锥E-C1DF的体积为22BCD [对于A,假设A1E⊥DF,由题意知BC⊥平面AA1B1B,A1E⊂平面AA1B1B,∴A1E⊥BC,又BC∩DF=F,∴A1E⊥平面ABCD,由长方体性质知A1E与平面ABCD不垂直,故假设不成立,故A错误;对于B,连接EF,AC,A1C1,由于E,F分别为AB,BC的中点,∴EF∥AC,又因为长方体ABCD-A1B1C1D1,知A1C1∥AC,∴EF∥A1C1,所以点A1,E,F,C1四点共面,故B正确;对于C,由题意可知DC⊥平面BB1C1C,∴∠DC1C为直线C1D与平面BB1C1C所成角,在Rt△DCC1中,CC1=2,CD=2,则tan ∠DC1C=DCC1C=22=2,故C正确;对于D,连接DE,C1E,∵AB=AD=2,则S△DEF=S□ABCD-S△ADE-S△BEF-S△CDF=2×2-12×2×1-12×1×1-12×1×2=32,利用等体积法知:VE-C1DF=VC1-DEF=13·S△DEF·CC1=13×32×2=22,故D正确.故选BCD.]三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.如果用半径R=23的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒,那么这个圆锥筒的高是________.3 [设圆锥筒的底面半径为r,则2πr=πR=23π,则r=3,所以圆锥筒的高h=R2-r2=232-32=3.]14.如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1∶V2=________.1∶24 [因为D,E分别是AB,AC的中点,所以S△ADE∶S△ABC=1∶4.又F是AA1的中点,所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍,即三棱柱A1B1C1-ABC的高是三棱锥F-ADE高的2倍, 所以V1∶V2=13S△ADE·hS△ABC·H=124=1∶24.]15.如图,若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直,则cos α∶cos β=________.5∶2 [如图,设两个矩形分别为矩形ABCD、矩形ABEF,因为平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,AF⊂平面ABEF,AF⊥AB,故AF⊥平面ABCD,而AC⊂平面ABCD,所以AF⊥AC,同理CB⊥BF.由题意,两个矩形的对角线长分别为5,25,所以cos α=525+4=529,cos β=2529,所以cos α∶cos β=5∶2.]16.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,且这个球的体积是323π,那么这个三棱柱的侧面积为________,体积是________.483 483 [设球的半径为r,则43πr3=323π,得r=2,柱体的高为2r=4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等,所以底面正三角形的边长为43,所以正三棱柱的侧面积S侧=3×4×43=483,体积V=34×(43)2×4=483.]四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分) 如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面,其高为6 cm,底面三角形的边长分别为3 cm,4 cm,5 cm,以上、下底面的内切圆为底面,挖去一个圆柱,求剩余部分几何体的体积V.[解] V三棱柱ABC-A1B1C1 =12×3×4×6=36(cm3).设圆柱底面圆的半径为r,则r=2S△ABCAB+BC+AC=2×12×3×43+4+5=1,V圆柱OO1=πr2h=6π(cm3).所以V=V三棱柱ABC-A1B1C1-V圆柱OO1=(36-6π)cm3.18.(本小题满分12分)如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和BC上的点,G,H分别是CD和AD上的点.(1)如图①,若EH与FG相交于点K,求证:EH,BD,FG三条直线相交于同一点;(2)如图②,若EH∥FG,求证:EH,BD,FG三条直线互相平行.[证明] (1)因为K∈EH,EH⊂平面ABD,所以K∈平面ABD,同理K∈平面CBD,而平面ABD∩平面CBD=BD,因此K∈BD,所以EH,BD,FG三条直线相交于同一点.(2)因为EH∥FG,FG⊂平面BCD,EH⊄平面BCD,所以EH∥平面BCD,而EH⊂平面ABD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以EH∥BD,而EH∥FG,所以EH∥FG∥BD.19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,且PB=PD.(1)求证:BD⊥PC;(2)若平面PBC与平面PAD的交线为l,求证:BC∥l.[证明] (1)如图,连接AC,交BD于点O,连接PO.因为四边形ABCD为菱形,所以BD⊥AC.又因为PB=PD,O为BD的中点,所以BD⊥PO.因为PO∩AC=O,所以BD⊥平面PAC,因为PC⊂平面PAC,所以BD⊥PC.(2)因为四边形ABCD为菱形,所以BC∥AD.因为BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以BC∥平面PAD.又因为BC⊂平面PBC,平面PBC与平面PAD的交线为l,所以BC∥l.20.(本小题满分12分)(2022·江西临川一中期中)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,D为棱BC的中点.(1)证明:A1C∥平面AB1D;(2)求点A1到平面AB1D的距离.[解] (1)证明:连接A1B交AB1于O,连接OD,正三棱柱ABC-A1B1C1中,易得O为AB1中点,又D为BC的中点,所以OD∥A1C.因为A1C⊄平面AB1D,OD⊂平面AB1D,所以A1C∥平面AB1D.(2)因为A1C∥平面AB1D,所以C与A1到平面AB1D的距离相等,由题意得AB1=22,DB1=5,AD=3,因为AD2+DB1 2 = AB1 2,所以AD⊥DB1,所以S△ADB1=12×3×5=152,S△ADC=12×1×3=32,设C到平面ADB1的距离为h,则VC-ADB1=VB1-ACD,所以13×152h=13×32×2,所以h=255,即点A1到平面AB1D的距离为255.21.(本小题满分12分)如图①,在矩形ABCD中,AD=1,AB=3,M为CD上一点,且CM=2MD.将△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM,如图②,点E是线段AM的中点.(1)求证:平面BDE⊥平面ABCM;(2)过B点是否存在一条直线l,同时满足以下两个条件:①l⊂平面ABCM;②l⊥AD.请说明理由.[解] (1)证明:由已知得DA=DM,E是AM的中点,所以DE⊥AM.因为平面ADM⊥平面ABCM,平面ADM∩平面ABCM=AM,所以DE⊥平面ABCM.又DE⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABCM.(2)过B点存在一条直线l,同时满足以下两个条件:①l⊂平面ABCM;②l⊥AD.理由:在平面ABCM中,过点B作直线l,使l⊥AM(图略).因为平面ADM⊥平面ABCM,平面ABCM∩平面ADM=AM,所以l⊥平面ADM,所以l⊥AD.22.(本小题满分12分)(2022·贵州月考)在我国古代数学名著《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑(nào)”.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=BC=3,AB=1,AC=2,E为棱PB上一点.(1)若AE⊥平面PBC,求VP-ACE∶VE-ABC;(2)求二面角A-PC-B的余弦值.[解] (1)因PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,AB⊂平面ABC,则PA⊥BC,PA⊥AB,又AB2+BC2=AC2,即AB⊥BC.又PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,因此BC⊥平面PAB.所以VP-ACE∶VE-ABC=VC-PAE∶VC-ABE=PE∶EB,在Rt△PAB中,PB=2,由AE⊥平面PBC得AE⊥PB,则PA·AB=PB·AE,即有AE=32,在Rt△PAE中,PE=PA2-AE2=32,则有EB=12,所以VP-ACE∶VE-ABC=3∶1.(2)如图,作AE⊥PB于点E,过点E作EO垂直PC于点O,连接AO.由(1)知,BC⊥平面PAB,AE⊂平面PAB,则BC⊥AE,而PB∩BC=B,PB,BC⊂平面PBC,于是得AE⊥平面PBC.又PC⊂平面PBC,则AE⊥PC.又EO⊥PC,AE,EO⊂平面AOE,AE∩EO=E,则有PC⊥平面AOE,所以PC⊥AO.因此∠AOE是二面角A-PC-B的平面角.在Rt△PAC中,PC=7,则AO=PA·ACPC=2217.由(1)知,AE=32,在Rt△AOE中,sin ∠AOE=AEAO=74,则cos ∠AOE=34,所以二面角A-PC-B的余弦值是34.
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