人教A版高中数学必修第二册第9章9-2-1总体取值规律的估计学案

这是一份人教A版高中数学必修第二册第9章9-2-1总体取值规律的估计学案，共21页。
9.2　用样本估计总体9.2.1　总体取值规律的估计情境1　某工厂生产一批产品，经调查只有10个不合格品．情境2　某工厂生产一批产品，经调查产品不合格率为1%.上面哪一种情境能更好地反映工厂的生产情况？知识点1　频率分布直方图画频率分布直方图的步骤(1)求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差．(2)决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成5～12组，为了方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”． (3)将数据分组．(4)列频率分布表：一般分四列：分组、频数累计、频数、频率．其中频数合计应是样本容量，频率合计是1．(5)画频率分布直方图：横轴表示分组，纵轴表示频率组距．小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率．各小长方形的面积总和等于1.知识点2　其他统计图表1．如图所示是一个容量为1 000的样本频率分布直方图．(1)样本数据落在范围[5，9)的频率为________；(2)样本数据落在范围[9，13)的频数为________．[答案]　(1)0.32　(2)3602．下列四个图中，用来表示不同品种的奶牛的平均产奶量最为合适的是________．(填序号)[答案]　④ 类型1　频率分布直方图的画法【例1】　为了了解中学生身体发育情况，对某中学15岁的60名女生的身高(单位：cm)进行了测量，结果如下：154　159　166　169　159　156　166　162　158159　156　166　160　164　160　157　151　157161　162　158　153　158　164　158　163　158153　157　168　162　159　154　165　166　157155　146　151　158　160　165　158　163　163162　161　154　165　161　162　159　157　159149　164　168　159　153　160列出样本的频率分布表，绘出频率分布直方图．[解]　第一步，求极差：上述60个数据中最大为169，最小为146.故极差为169－146＝23(cm)．第二步，确定组距和组数：可取组距为3 cm，则组数为233＝7 23，可将全部数据分为8组．第三步，分组：[145.5，148.5)，[148.5，151.5)，[151.5，154.5)，[154.5，157.5)，[157.5，160.5)，[160.5，163.5)，[163.5，166.5)，[166.5，169.5].第四步，列频率分布表：第五步，根据上述数据绘制频率分布直方图．　绘制频率分布直方图的注意点(1)各组频率的和等于1，因此，各小矩形的面积的和也等于1.(2)横轴表示样本数据，纵轴表示频率组距，这样每一组的频率可以用该组的组距为底、频率组距为高的小矩形的面积表示．(3)画频率分布直方图的关键是确定矩形的高，一般地，频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度不一致．[跟进训练]1. 从某校高三学生中抽取50名参加数学竞赛，成绩(单位：分)分组及各组的频数如下：[40，50)，2；[50，60)，3；[60，70)，10；[70，80)，15；[80，90)，12；[90，100]，8.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)估计成绩在[60，90)的学生比例．[解]　(1)频率分布表如下，(2)频率分布直方图如图所示．(3)学生成绩在[60，90)的频率为(0.2＋0.3＋0.24)×100%＝74%，所以估计成绩在[60，90)的学生比例为74%. 类型2　频率分布直方图的应用【例2】　为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110次以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？[解]　(1)频率分布直方图是以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小的，因此第二小组的频率为42+4+17+15+9+3＝0.08.又因为第二小组的频率＝第二小组的频数样本容量，所以样本容量＝第二小组的频数第二小组的频率＝120.08＝150.(2)由频率分布直方图可估计该校高一年级学生的达标率为17+15+9+32+4+17+15+9+3×100%＝88%.　频率分布直方图具备的性质(1)因为小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率，所以各小长方形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小．(2)在频率分布直方图中，各小长方形的面积之和等于1．(3)样本容量＝频数相应的频率.[跟进训练]2．某校100名学生期中考试语文成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100].(1)求图中a的值；(2)若这100名学生的语文成绩在某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示，求数学成绩在[50，90)之外的人数．[解]　(1)依题意得，10×(2a＋0.02＋0.03＋0.04)＝1，解得a＝0.005.(2)数学成绩在[50，60)之间的人数为100×0.05＝5，数学成绩在[60，70)之间的人数为100×0.4×12＝20，数学成绩在[70，80)之间的人数为100×0.3×43＝40，数学成绩在[80，90)之间的人数为100×0.2×54＝25，所以数学成绩在[50，90)之外的人数为100－5－20－40－25＝10. 类型3　其他统计图表【例3】　(1)如图所示的是某学校某年级的三个班和该年级在一学期内的六次数学测试的平均成绩y关于测试序号x的图象，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图象，给出下列结论：①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多次低于年级平均水平，但在稳步提升．其中正确结论的个数为(　　)A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3(2)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图(1)和图(2)所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用按比例分配分层随机抽样的方法抽取了2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________和________．(1)D　(2)200　20　[(1)由题图可知，一班每次考试的平均成绩都在年级平均成绩之上，故①正确；二班平均成绩的图象高低变化明显，成绩不稳定，波动程度较大，故②正确；三班平均成绩的图象呈上升趋势，并且图象的大部分都在年级平均成绩图象的下方，故③正确．故选D.(2)该地区中小学生总人数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000，则样本容量为10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20.]　不同的统计图适用的数据类型不同．例如，条形图适用于描述离散型的数据，直方图适用描述连续型数据等．因此，在解决问题的过程中，要根据实际问题的特点，选择恰当的统计图对数据进行可视化描述，以使我们能通过图形直观地发现样本数据的分布情况，进而估计总体的分布规律．[跟进训练]3．如图是根据某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线统计图，试根据折线统计图反映的信息，绘制该市3月1日到10日最低气温(单位：℃)的扇形统计图．[解]　该城市3月1日至10日的最低气温(单位：℃)情况如下表：其中最低气温为－3 ℃的有1天，占10%，最低气温为－2 ℃的有1天，占10%，最低气温为－1℃的有2天，占20%，最低气温为0 ℃的有2天，占20%，最低气温为1 ℃的有1天，占10%，最低气温为2 ℃的有3天，占30%，扇形统计图如图所示．1．某集团董事长想了解集团旗下五个超市的销售情况，通知五个超市经理把最近一周内的销售金额统计上报，要求既要反映一周内每天销售金额的多少，又要反映一周内每天销售金额的变化情况和趋势，则最好选用的统计图表为(　　)A．频率分布直方图　 B．折线统计图C．扇形统计图 D．统计表B　[折线统计图的一个显著特点就是能反映统计量的变化趋势，所以既要反映一周内每天销售金额的多少，又要反映一周内每天销售金额的变化情况和趋势，则最好选用的统计图表为折线统计图，故选B.]2．如图是甲、乙、丙、丁四组人数的扇形统计图的部分结果，根据扇形统计图的情况可以知道丙、丁两组人数和为(　　)A.250　　　　B．150　　　　C．400　　　　D．300A　[甲组人数是120，占30%，则总人数是12030%＝400(人)．则乙组人数是400×7.5%＝30(人)，则丙、丁两组人数和为400－120－30＝250.]3．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出(单位：元)在[50，60]内的学生有30人，则n的值为(　　)A．100　 　B．1 000　 　C．90　 　D．900A　[由题意可知，前三组的频率之和为(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.7，∴支出在[50，60]内的频率为1－0.7＝0.3，∴n＝300.3＝100.]4．小张刚参加工作时，月工资为5 000元，各种用途占比统计如图(1)所示的条形图．后来他加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如图(2)所示的折线图，已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前小张的月工资为________元．　　　5 500　[小张刚参加工作时，月工资为5 000元，小张每月就医费为5 000×15%＝750(元)，又已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，即550元，则目前小张的月工资为5500.1＝5 500(元)．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．画频率分布直方图的步骤是什么？[提示]　绘制频率分布直方图的步骤如下：①求极差；②决定组距与组数；③将数据分组；④列频率分布表；⑤画频率分布直方图．2．频率分布直方图具备哪些性质？[提示]　①因为小矩形的面积＝组距×频率组距＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小；②在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1；③频数相应的频率＝样本容量．3．常用的统计图有哪几种？这些统计图对于数据分析能够起到什么作用？[提示]　统计图有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图；从统计图中可以获取有用的数据信息，并能直观、准确地理解相关的结果．课时分层作业(四十)　总体取值规律的估计一、选择题1．一个容量为80的样本中数据的最大值是140，最小值是51，组距是10，则应将样本数据分为(　　)A．10组　　 B．9组　　 C．8组　　 D．7组B　[极差为140－51＝89，而组距为10，故应将样本数据分为9组．]2．容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：则第三组的频数和频率分别是(　　)A．14和0.14 B．0.14和14C．114和0.14 D．13和114A　[x＝100－(10＋13＋14＋15＋13＋12＋9)＝100－86＝14，第三组的频率为14100＝0.14.]3．为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为(　　)A．8 B．12 C．16 D．18B　[志愿者的总人数为200.24+0.16×1＝50，∴第3组的人数为50×0.36＝18，有疗效的人数为18－6＝12人．故选B.]4．(多选)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2020年1月至2022年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是(　　)A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳BCD　[由折线图，可知2020年8月到9月的月接待游客量在减少，A错误，其余选项均正确．]5．(多选)某地区经过一年的建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中正确的是(　　)A．建设后，种植收入减少B．建设后，其他收入增加了一倍以上C．建设后，养殖收入增加了一倍D．建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半BCD　[设建设前的收入为M，而建设后的收入为2M，则建设前种植收入为0.6M，而建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；建设前其他收入为0.04M，建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；建设前，养殖收入为0.3M，建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30%＋28%＝58%＞50%，所以超过了经济收入的一半，所以D正确．故选BCD.]二、填空题6．甲、乙两个城市2023年4月中旬每天的最高气温统计图如图所示，则这9天里，气温比较稳定的是________(选填“甲”或“乙”)城市．甲　[这9天里，乙城市的最高气温约为35 ℃，最低气温约为20 ℃；甲城市的最高气温约为25 ℃，最低气温约为21 ℃.故甲城市气温较稳定．]7．一个样本的容量为72，分成5组，已知第一、五组的频数都为8，第二、四组的频率都为29，则第三组的频数为________．24　[因为频率＝频数样本量，所以第二、四组的频数都为72×29＝16.所以第三组的频数为72－2×8－2×16＝24.]8．如图所示是某校高一年级学生到校方式的条形统计图，根据图形可得出骑自行车人数占高一年级学生总人数的百分比为________．30%　[某校高一年级学生总数为60＋90＋150＝300(人)，骑自行车人数为90，所以骑自行车人数占高一年级学生总数的百分比为90300×100%＝30%.]三、解答题9．某公司为了提高职工的健身意识，鼓励大家进行健步运动，要求200名职工每天晚上9：30上传手机计步截图，对于步数超过10 000的职工予以奖励，图(1)为甲、乙两名职工在某一星期内的运动步数统计图，图(2)为根据这星期内某一天全体职工的运动步数作出的频率分布直方图．　　(1)根据频率分布直方图，求出该天运动步数不少于15 000的人数；(2)如果当天甲的排名为130，乙的排名为40，试判断作出的是星期几的频率分布直方图．[解]　(1)由图(2)可知，(0.02＋0.03＋0.04＋0.06＋m)×5＝1，解得m＝0.05，∴该天运动步数不少于15 000的人数为(0.05＋0.03)×5×200＝80.(2)40÷200＝0.2，130÷200＝0.65.假设甲的步数为x，乙的步数为y，由频率分布直方图可得0.2－0.15＝ (20－y)×0.05，解得y＝19.(1－0.65)－0.3＝(x－10)×0.06，解得x＝656≈10.833，故作出的是星期二的频率分布直方图．10．(多选)样本容量为100的样本，其数据分布在[2，18]内，将样本数据分为4组：[2，6)，[6，10)，[10，14)，[14，18]，得到频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是(　　)A．样本数据分布在[6，10)内的频率为0.32B．样本数据分布在[10，14)内的频数为40C．样本数据分布在[2，10)内的频数为40D．估计总体数据大约有10%分布在[10，14)内ABC　[对于A，由题图可得，样本数据分布在[6，10)内的频率为0.08×4＝0.32，故A正确；对于B，由题图可得，样本数据分布在[10，14)内的频数为100×0.1×4＝40，故B正确；对于C，由题图可得，样本数据分布在[2，10)内的频数为100×(0.02＋0.08)×4＝40，故C正确；对于D，由题图可估计，总体数据分布在[10，14)内的比例约为0.1×4＝0.4＝40%，故D错误．]11. (多选)(2022·泰安期末)旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃，下面叙述正确的是(　　)A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．八月的平均温差比十一月的平均温差大C．平均最高气温高于20℃的月份有4个D．四月和十一月的平均最低气温基本相同ABD　[对于A，由图可知各月的平均最低气温都在0 ℃以上，故A正确；对于B，由图知八月的平均最高气温点与平均最低气温点之间的距离长度大于十一月的平均最高气温点与平均最低气温点之间的距离，故B正确，对于C，平均最高气温高于20℃的月份有八月和七月，只有两个月份，故C错误；对于D，四月和十一月的平均最低气温均为5 ℃，D正确．故选ABD.]12．(多选)随着人口增多，对住房要求也随之而来，而选择购买商品房时，住户对商品房的户型结构越来越重视，因此某商品房调查机构随机抽取n名市民，针对其居住的户型结构和满意度进行了调查，如图1调查的所有市民中四居室共200户，所占比例为13，二居室住户占16．如图2是用分层随机抽样的方法从所有调查的市民的满意度问卷中，抽取10%的调查结果绘制成的统计图，则下列说法错误的是(　　)A．样本容量为70B．样本中三居室住户共抽取了25户C．根据样本可估计对四居室满意的住户有70户D．样本中对三居室满意的有15户ABC　[A选项，总体容量为600，样本容量为600×10%＝60，故选项A错误；B选项，样本中三居室住户共抽取300×10%＝30(户)，故选项B错误；C选项，对四居室满意的住户共有200×40%＝80(户)，故选项C错误；D选项，样本中三居室住户有300×10%＝30(户)，对三居室满意的住户有30×50%＝15(户)，故选项D正确．故选ABC.]13．为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据(单位：千克)全部介于45至70之间．将数据分成以下5组：第1组[45，50)，第2组[50，55)，第3组[55，60)，第4组[60，65)，第5组[65，70]，得到如图所示的频率分布直方图，则a＝________．现采用分层随机抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生，则第3，4，5组抽取的学生人数依次为________．0.04　3，2，1　[由(0.01＋0.02＋a＋0.06＋0.07)×5＝1，得a＝0.04.设第3，4，5组抽取的学生人数依次为x，y，z，则x∶y∶z＝0.06∶0.04∶0.02＝3∶2∶1，又x＋y＋z＝6，所以x＝3，y＝2，z＝1.]14．某省有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课程表，为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？(只写一项)”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据．图1是根据这组数据绘制的柱形图．请结合柱形图回答下列问题：　　(1)该校对多少名学生进行了抽样调查？(2)本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少人？占被调查人数的百分比是多少？(3)若该校九年级共有200名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形图，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？[解]　(1)由图1知4＋8＋10＋18＋10＝50(名)，所以该校对50名学生进行了抽样调查．(2)本次调查中，最喜欢篮球活动的有18人，占被调查人数的1850×100%＝36%.(3)1－(30%＋26%＋24%)＝20%，200÷20%＝1 000(人)，850×100%×1 000＝160(人)，所以估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为160人．15．为了了解学生参加体育活动的情况，学校对学生进行随机抽样调查，其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少？”，共有4个选项：①1.5小时以上；②1～1.5小时；③0.5～1小时；④0.5小时以下．如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题：(1)本次一共调查了多少名学生？(2)在图(1)中将②对应的部分补充完整；(3)若该校有3 000名学生，试估计全校学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下的人数．[解]　(1)从题图中知，选①的共60名学生，占总学生数的百分比为30%，所以总学生数为60÷30%＝200，即本次一共调查了200名学生．(2)被调查的学生中，选②的有200－60－30－10＝100名，补充完整的条形统计图如图所示．(3)3 000×5%＝150(名)，估计全校有150名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下．学习任务1．理解并掌握统计图表的画法及应用．(直观想象)2．结合实例，能用样本估计总体的取值规律．(数据分析)统计图表主要应用扇形图直观描述各类数据占总数的比例条形图和直方图直观描述不同类别或分组数据的频数和频率折线图描述数据随时间的变化趋势分组频率累计频数频率[145.5，148.5)一10.017[148.5，151.5)30.050[151.5，154.5)正一60.100[154.5，157.5)正80.133[157.5，160.5)正正正180.300[160.5，163.5)正正一110.183[163.5，166.5)正正100.167[166.5，169.5]30.050合计601.000成绩分组频数累计频数频率[40，50)20.04[50，60)30.06[60，70)正正100.2[70，80)正正正150.3[80，90)正正120.24[90，100]正80.16合计501.00分数段[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)x∶y1∶12∶13∶44∶5日期12345678910最低气温(℃)－3－20－1120－122组号12345678频数1013x141513129