人教A版高中数学必修第二册第9章9-2-4总体离散程度的估计学案

这是一份人教A版高中数学必修第二册第9章9-2-4总体离散程度的估计学案，共20页。
9.2.4　总体离散程度的估计甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5.经过计算，可知甲、乙的命中环数的平均数都是7环．问题：若从二人中选一人去参加射击大赛，只用平均数能否作出选择？知识点　方差、标准差1．一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差数据x1，x2，…，xn的方差为＝，标准差为．2．总体方差和标准差(1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体的平均数为Y，则称S2＝为总体方差，S＝S2为总体标准差．(2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝．3．样本方差和标准差如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为y，则称s2＝为样本方差，s＝s2为样本标准差．4．标准差的意义标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．5．分层随机抽样的方差设样本容量为n，平均数为x，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为x1，x2，方差分别为s12，s22，则这个样本的方差为s2＝．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0. (　　)(2)标准差、方差的取值范围为 [0，＋∞) . (　　)(3)标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散. (　　)(4)一般情况下数据中绝大部分数据落在[x－2s，x＋2s]内，也有可能落在 [x－2s，x＋2s]外． (　　)(5)计算分层随机抽样中总样本的平均数与方差时，必须已知各层的权重. (　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√2．已知一个样本中的数据为1，2，3，4，5，则该样本的方差为________；标准差为________．[答案]　2　23. 某班为了了解学生每周购买零食的支出情况，利用分层随机抽样抽取了一个15人的样本统计如下：则全班学生每周购买零食的平均费用为________；方差为________．[答案]　38　11.2 类型1　方差和标准差的性质与计算【例1】　(1)已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x，方差为s2，则(　　)A．x＝4，s22C．x>4，s24，s2>2(2)若40个数据的平方和是56，平均数是22，则这组数据的方差是________，标准差是________．(1)A　(2)0.9　31010　[(1)因为某7个数的平均数为4，所以这7个数的和为4×7＝28，因为加入一个新数据4，所以x＝28+48＝4.又因为这7个数的方差为2，且加入一个新数据4，所以这8个数的方差s2＝7×2+4-428＝74x甲＝x丁，且s甲2＝s乙2s3　　 B．s1>s3>s2C．s3>s1>s2 D．s3>s2>s1B　[比较三个频率分布直方图知，甲为“双峰”直方图，两端数据最多，最分散，方差最大；乙为“单峰”直方图，数据最集中，方差最小；丙为“单峰”直方图，但数据分布相对均匀，方差介于甲、乙之间．综上可知s1>s3>s2.]4．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：其中x甲＝x乙，则两个班数学成绩的方差为(　　)A．3　　　B．2　　　C．2.6　　　D．2.5C　[由题意可知两个班的数学成绩的平均数为x＝x甲＝x乙，则两个班数学成绩的方差为s2＝2020+30×[2＋(x甲－x)2]＋3020+30×[3＋(x乙－x)2]＝2020+30×2＋3020+30×3＝2.6.]5．某选手的9个得分分别为87，87，94，90，91，90，9x，99，91，其中有一个数据的个位数模糊，无法辨认，以x表示．若去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，则7个剩余分数的方差为(　　)A．1169 B．367 C．36 D．677B　[由题意知去掉的两个数是87，99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x＝4.故s2＝17[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝367.]二、填空题6．已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，方差是4，则xy＝________．91　[由平均数是10，得x＋y＝20.①由方差是4，得x2＋y2＝218.②①2－②得2xy＝182，∴xy＝91.]7．现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这组数的标准差是________．2　[由题意知x＝4，x12+x22+…+x102＝200，所以s＝110x1-x2+x2-x2+…+x10-x2＝110x12+x22+…+x102-10x2＝200-16010＝2.]8．为了调查公司员工的健康状况，用分层随机抽样的方法抽取样本，已知所抽取的所有员工的平均体重为60 kg，标准差为60；男员工的平均体重为70 kg，标准差为50；女员工的平均体重为50 kg，标准差为60.若样本中有20名男员工，则女员工的人数为________.200　[设男、女员工的权重分别为ω男，ω女，由题意可知s2＝ω男 [s男2＋(x男－x)2]＋ω女[s女2＋(x女－x)2]，即ω男[502＋(70－60)2]＋(1－ω男)·[602＋(50－60)2]＝602，解得ω男＝111，ω女＝1011，因为样本中有20名男员工，所以样本中女员工的人数为200.]三、解答题9．某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩(单位：分)如下：甲组：60，90，85，75，65，70，80，90，95，80；乙组：85，95，75，70，85，80，85，65，90，85.(1)试分别计算两组数据的极差、方差；(2)哪一组的成绩较稳定？[解]　(1)甲组：最高分为95，最低分为60，极差为95－60＝35，平均数为x甲＝110×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79，方差为s甲2＝110×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119.乙组：最高分为95，最低分为65，极差为95－65＝30，平均数为x乙＝110×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝81.5，方差为s乙2＝110×[(85－81.5)2＋(95－81.5)2＋(75－81.5)2＋(70－81.5)2＋(85－81.5)2＋(80－81.5)2＋(85－81.5)2＋(65－81.5)2＋(90－81.5)2＋(85－81.5)2]＝75.25.(2)由于乙组的方差小于甲组的方差，因此乙组的成绩较稳定．从(1)中得到的极差也可看出乙组的成绩比较稳定．10．一组数据中的每一个数据都乘2，再都减80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是(　　)A．40.6，1.1　　 B．48.8，4.4C．81.2，44.4 D．78.8，75.6A　[法一：设原来的数据为x1，x2，x3，…，xn，则新数据为2x1－80，2x2－80，2x3－80，…，2xn－80，所以2x1-80+2x2-80+…+2xn-80n＝1.2，所以2x1+x2+…+xn-80nn＝1.2，即x1+x2+…+xnn＝40.6.1n[(2x1－80－1.2)2＋(2x2－80－1.2)2＋…＋(2xn－80－1.2)2]＝4.4，即1n[(2x1－81.2)2＋(2x2－81.2)2＋…＋(2xn－81.2)2]＝4.4，所以14n[(2x1－81.2)2＋(2x2－81.2)2＋…＋(2xn－81.2)2]＝14×4.4＝1.1.法二：设原数据的平均数为x，方差为s2，则数据中的每一个数都乘2，再都减80，得一组新数据后，新数据的平均数为2x－80，方差为22s2，由题意得2x－80＝1.2，222s2＝4.4，解得x＝40.6，s2＝1.1.]11．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为xA和xB，样本标准差分别为sA和sB，则(　　)A．xA>xB，sA>sB B．xAsBC．xA>xB，sA