人教A版高中数学必修第二册第10章10-1-2事件的关系和运算学案

这是一份人教A版高中数学必修第二册第10章10-1-2事件的关系和运算学案，共13页。
10.1.2　事件的关系和运算在掷骰子试验中，定义如下事件：Ci＝{出现i点}，Di＝{出现的点数不大于2i－1}．在上述事件中，(1)事件C1与事件C2间有什么关系？(2)事件D2与事件C2间有什么关系？ 知识点1　事件的关系知识点2　事件的运算1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两个事件是互斥事件，则这两个事件也是对立事件． (　　)(2)若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件． (　　)(3)若事件A与B是互斥事件，则在一次试验中事件A和B至少有一个发生． (　　)(4)抛掷一枚骰子一次，记事件A＝{出现点数大于4}，事件B＝{出现的点数为5}，则事件B发生时，事件A一定发生． (　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球观察颜色．设事件A为“所取两个球至少有一个白球”，事件B为“所取两个球恰有一个红球”，则A∪B表示的事件为________； A∩B表示的事件为________．[答案]　所取两个球至少有一个白球 　所取两个球恰有一个红球 类型1　事件关系的判断【例1】　从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取1张．判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．[解]　(1)是互斥事件，不是对立事件．理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，当然不是对立事件．理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得的牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然也不是对立事件．　判断互斥事件、对立事件的两种方法[跟进训练]1．(1)同时掷两枚硬币，向上面都是正面为事件A，向上面至少有一枚是正面为事件B，则有(　　)A．A⊆B　　B．A⊇B　　C．A＝B　　D．A与B互斥(2)从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是(　　)A．取出2个红球和1个白球B．取出的3个球全是红球C．取出的3个球中既有红球也有白球D．取出的3个球中不止一个红球(1)A　(2)D　[(1)由事件的包含关系知A⊆B.(2)从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是取出的3个球中至少有两个红球．故选D.] 类型2　事件的运算【例2】　掷一枚骰子，下列事件：A＝“出现奇数点”，B＝“出现偶数点”，C＝“点数小于3”，D＝“点数大于2”，E＝“点数是3的倍数”．求：(1)A∩B，BC；(2)A∪B，B＋C；(3)记H为事件H的对立事件，求D，AC，B∪C，D+E .[解]　(1)A∩B＝∅，BC＝{2}．(2)A∪B＝{1，2，3，4，5，6}，B＋C＝{1，2，4，6}．(3)D＝{1，2}；AC＝BC＝{2}；B∪C＝A∪C＝{1，2，3，5}；D+E＝{1，2，4，5}．　事件间的运算方法(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．[跟进训练]2．从某大学数学系图书室中任选一本书．设A＝{数学书}；B＝{中文版的书}；C＝{2022年后出版的书}．问：(1)A∩B∩C表示什么事件？(2)在什么条件下有A∩B∩C＝A?(3)如果A＝B，那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的？[解]　(1)A∩B∩C＝{2022年或2022年前出版的中文版的数学书}．(2)在“图书室中所有数学书都是2022年后出版的且为中文版”的条件下才有A∩B∩C＝A.(3)是．A＝B意味着图书室中的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书．1．抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则与事件A互斥的事件为(　　)A．恰有两件次品　 B．恰有一件次品C．恰有两件正品 D．至少有两件正品B　[事件“恰有一件次品”与事件A不会同时发生，故选B.]2．抛掷一枚骰子，“向上一面的点数是1或2”为事件A，“向上一面的点数是2或3”为事件B，则(　　)A．A⊆BB．A＝BC．A∪B表示向上一面的点数是1或2或3D．A∩B表示向上一面的点数是1或2或3C　[设A＝{1，2}，B＝{2，3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，所以A∪B表示向上一面的点数是1或2或3.]3．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为偶数}，F＝{向上的点数为质数}，则E∩F＝________．{向上的点数为2}　[E＝{向上的点数为偶数}＝{2，4，6}，F＝{向上的点数为质数}＝{2，3，5}，∴E∩F＝{向上的点数为2}．]4．从一批产品(既有正品也有次品)中取出3件产品，设A＝“3件产品全不是次品”，B＝“3件产品全是次品”，C＝“3件产品不全是次品”，则下列结论正确的是________(填写序号)．①A与B互斥；②B与C互斥；③A与C互斥；④A与B对立；⑤B与C对立．①②⑤　[A＝“3件产品全不是次品”，指的是3件产品全是正品，B＝“3件产品全是次品”，C＝“3件产品不全是次品”，它包括1件次品2件正品，2件次品1件正品，3件全是正品3个事件，由此知：A与B是互斥事件，但不对立；A与C是包含关系，不是互斥事件，更不是对立事件；B与C是互斥事件，也是对立事件．所以正确结论的序号为①②⑤.]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．事件间的关系和运算有哪些？如何用符号表示？ [提示]　事件关系或运算的含义2.互斥事件与对立事件有什么关系？[提示]　(1)对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．(2)从集合的观点来判断：设事件A与B所含的样本点组成的集合分别是A，B，若A，B互斥，则A∩B＝∅，若A，B对立，则A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，即∁ΩB＝A，∁ΩA＝B.互斥事件A与B的和A＋B可理解为集合A∪B.课时分层作业(四十五)　事件的关系和运算一、选择题1．掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不小于5}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是(　　)A．A⊆BB．A∩B＝{出现的点数为6}C．事件A与B互斥D．事件A与B是对立事件B　[由题意事件A表示出现的点数是5或6；事件B表示出现的点数是2或4或6.故A∩B＝{出现的点数为6}．]2．打靶3次，事件Ai＝“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A1∪A2∪A3表示(　　)A．全部击中　　 B．至少击中1发C．至少击中2发 D．全部未击中B　[A1∪A2∪A3表示的是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发，故选B.]3．从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数” 为事件B，则A∪B和A∩B包含的样本点数分别为(　　)A．1，6 B．4，2C．5，1 D．6，1C　[从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间为Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}．其中事件A包含的样本点有：(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共4个．事件B包含的样本点有：(1，3)，(2，4)，共2个．所以事件A∪B包含的样本点有：(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共5个．事件A∩B包含的样本点有：(2，4)，共1个．]4．已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E表示事件“3件产品全不是次品”，F表示事件“3件产品全是次品”，G表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是(　　)A．F与G互斥B．E与G互斥但不对立C．E，F，G任意两个事件均互斥D．E与G互为对立D　[由题意得事件E与事件F不可能同时发生，是互斥事件；事件E与事件G不可能同时发生，是互斥事件；当事件F发生时，事件G一定发生，所以事件F与事件G不是互斥事件，故A，C不正确；事件E与事件G中必有一个发生，所以事件E与事件G互为对立，故B不正确，D正确．]5．(多选)某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名学生去参加比赛，则下列各对事件中为互斥事件的是(　　)A．恰有一名男生和全是男生B．至少有一名男生和至少有一名女生C．至少有一名男生和全是男生D．至少有一名男生和全是女生AD　[A中两个事件是互斥事件，恰有一名男生即选出的两名学生中有一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生；B中两个事件不是互斥事件；C中两个事件不是互斥事件；D中两个事件是互斥事件，至少有一名男生与全是女生显然不可能同时发生．]二、填空题6．设某随机试验的样本空间Ω＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{2，3，4}，B＝{3，4，5}，C＝{5，6，7}．则A∪B＝________； A∩B＝________．[答案]　{2，3，4，5}　{5}7．甲、乙两人破译同一个密码，令甲、乙破译出密码分别为事件A，B，则AB∪AB表示的含义是________，事件“密码被破译”可表示为________．[答案]　只有一人破译密码　AB∪AB∪AB8．袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则：①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述事件中，是对立事件的为________．②　[①是互斥不对立的事件，②是对立事件，③④不是互斥事件．]三、解答题9．用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色．设事件A＝“三个圆的颜色全不相同”，事件B＝“三个圆的颜色不全相同”，事件C＝“其中两个圆的颜色相同”，事件D＝“三个圆的颜色全相同”．(1)写出试验的样本空间；(2)用集合的形式表示事件A，B，C，D；(3)事件B与事件C有什么关系？事件A和B的交事件与事件D有什么关系？说明理由．[解]　(1)由题意可知三个圆可能颜色一样，也可能有两个圆颜色一样，另一个圆异色，还可能三个圆异色，则试验的样本空间Ω＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)，(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}．(2)A＝{(红，黄，蓝)}．B＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}．C＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)}．D＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)}．(3)由(2)可知C⊆B，A∩B＝A，A与D互斥，所以事件B包含事件C，事件A和B的交事件与事件D互斥．10．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(　　)A．对立事件 B．互斥但不对立事件C．不可能事件 D．以上说法都不对B　[因为只有1张红牌，所以这两个事件不可能同时发生，所以它们是互斥事件；但这两个事件加起来并不是总体事件，所以它们不是对立事件．]11．(多选)(2022·江苏南京六校联考)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝“两弹都击中飞机”，事件B＝“两弹都没击中飞机”，事件C＝“恰有一弹击中飞机”，事件D＝“至少有一弹击中飞机”，下列关系正确的是(　　)A．A⊆D B．B∩D＝∅C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪DABC　[“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中．“至少有一弹击中飞机”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中．∴A∪B≠B∪D.]12．(多选)在一次随机试验中，A，B，C，D是彼此互斥的事件，且A＋B＋C＋D是必然事件，则下列说法正确的是(　　)A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件B．B＋C与D是互斥事件，但不是对立事件C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件BD　[由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是必然事件，故事件的关系如图所示．由图可知，任何一个事件与其余三个事件的和事件互为对立，任何两个事件的和事件与其余两个事件中任何一个是互斥事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件互为对立，故B，D中的说法正确．]13．如图所示，事件A＝“甲元件正常”，B＝“乙元件正常”，C＝“丙元件正常”．则A∪B∪C表示的含义为________，A∩B∩C表示的含义为________．[答案]　电路工作正常　电路工作不正常14．对一箱产品进行随机抽查检验，如果查出2个次品就停止检查，最多检查3个产品．写出该试验的样本空间Ω，并用样本点表示事件：A＝{至少有2个正品}，B＝{至少1个产品是正品}；并判断事件A与事件B的关系．[解]　依题意，检查是有序地逐个进行，至少检查2个，最多检查3个产品．如果用“0”表示查出次品，用“1”表示查出正品，那么样本点至少是一个二位数，至多是一个三位数的有序数列．样本空间Ω＝{00，010，011，100，101，110，111}．A＝{011，101，110，111}．B＝{010，011，100，101，110，111}，所以A⊆B.15．某连锁火锅城开业之际，为吸引更多的消费者，开展抽奖活动，前20位顾客可参加如下活动：摇动如图所示的游戏转盘(上面扇形的圆心角都相等)，顾客可以免费获得按照指针所指区域的数字10倍金额的店内菜品或饮品，最高120元，每人只能参加一次这个活动．记事件A：“获得不多于30元菜品或饮品”．(1)求事件A包含的基本事件；(2)写出事件A的对立事件，以及事件A的一个互斥事件．[解]　(1)事件A包含的基本事件为：{获得10元菜品或饮品}，{获得20元菜品或饮品}，{获得30元菜品或饮品}．(2)事件A的对立事件是A＝“获得多于30元但不多于120元菜品或饮品”，事件A的一个互斥事件为：“获得40元菜品或饮品”(答案不唯一)．学习任务1．了解随机事件的并、交与互斥的含义．(数学抽象)2．能结合实例进行随机事件的并、交运算．(数学运算)定义表示法图示包含关系若事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，则称事件A与事件B相等A＝B互斥事件如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容)若A∩B＝∅，则A与B互斥对立事件如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为A若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，则A与B对立定义表示法图示并事件事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件事件A与事件B同时发生，称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断．不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件集合法(1)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集事件关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生A⊆B并事件(和事件)A与B至少一个发生A∪B或A＋B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B＝∅互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B＝∅，A∪B＝Ω