人教A版高中数学必修第二册第10章10-3-1频率的稳定性学案

这是一份人教A版高中数学必修第二册第10章10-3-1频率的稳定性学案，共14页。

10.3　频率与概率10.3.1　频率的稳定性小刚抛掷一枚硬币100次，出现正面朝上48次．由此估计试验中该硬币正面朝上的频率是多少？若再抛掷一枚硬币一次，出现正面朝上的概率是多少？知识点　频率的稳定性1．频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率f n(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．2．频率稳定性的作用可以用频率f n(A)估计概率P(A)．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机事件的频率和概率不可能相等． (　　)(2)随机事件的频率和概率都随着试验次数的变化而变化． (　　)(3)概率能反映随机事件发生可能性的大小，而频率则不能． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)× 类型1　频率和概率的关系【例1】　(1)若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f (n)，则随着n的逐渐增大，有(　　)A．f (n)与某个常数相等B．f (n)与某个常数的差逐渐减小C．f (n)与某个常数的差的绝对值逐渐减小D．f (n)在某个常数的附近摆动并趋于稳定(2)下列关于概率和频率的叙述中正确的有________．(把符合条件的所有答案的序号填在横线上)①随机事件的频率就是概率；②随机事件的概率是一个确定的数值，而频率不是一个确定的数值；③频率是客观存在的，与试验次数无关；④概率是随机的，在试验前不能确定；⑤概率可以看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性大小，而频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率．(1)D　(2)②⑤　[(1)由频率和概率的关系知，在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f (n)，随着n的逐渐增加，频率f (n)逐渐趋近于概率．故选D.(2)随机事件的频率是概率的近似值，频率不是概率，故①错误；随机事件的频率不是一个确定的数值，而概率是一个确定的数值，故②正确；频率是随机的，它与试验条件、次数等有关，而概率是确定的值，与试验次数无关，故③④错误；由频率与概率的关系可知⑤正确．]　频率与概率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．[跟进训练]1．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为mn，当n很大时，那么P(A)与mn的大小关系是(　　)A．P(A)≈mn　　 B．P(A)mn D．P(A)＝mnA　[在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为mn，当n很大时，mn越来越接近P(A)，因此我们可以用mn近似地代替P(A)．故选A.] 类型2　用随机事件的频率估计其概率【例2】　某公司为了解当地用户对其产品的满意度，从该地的A，B两地区分别随机调查了40名用户，根据用户对产品的满意度评分(单位：分)，得到A地区的用户满意度评分的频率分布直方图(如图)和B地区的用户满意度评分的频数分布表(如表1)．表1(1)分别估计A，B两地区样本用户满意度评分低于70分的频率．(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级(如表2)，将频率看作概率，从A，B两地区的用户中各随机抽查一名用户进行调查，求至少有一名用户评分满意度等级为“满意”或“非常满意”的概率．表2[解]　(1)由题图可得(0.005＋0.010＋0.015＋0.020×2＋a)×10＝1，解得a＝0.030，估计A地区样本用户满意度评分低于70分的频率为(0.010＋0.020＋0.030)×10＝0.6，估计B地区样本用户满意度评分低于70分的频率为1040＝0.25.(2)根据样本频率可以估计总体频率，记事件M表示“从A地区随机抽取一名用户满意度评级为不满意”，则PM＝0.6.记事件N表示“从B地区随机抽取一名用户满意度评级为不满意”，则PN＝0.25.易知事件M和事件N相互独立，则事件M和事件N相互独立．记事件C表示“至少有一名用户评分满意度等级为‘满意’或‘非常满意’”，则PC＝1－PC＝1－PMPN＝1－0.6×0.25＝0.85，故至少有一名用户评分满意度等级为“满意”或“非常满意”的概率为0.85.　解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．[跟进训练]2．某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)若每辆车的投保金额为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．[解]　(1)车辆数为500＋130＋100＋150＋120＝1 000.设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝1501 000＝0.15，P(B)＝1201 000＝0.12，由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额的情形是赔付3 000元和4 000元，A与B互斥，所以所求概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主是新司机的有0.1×1 000＝100(位)，而赔付金额为4 000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120＝24(位)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24. 类型3　概率思想的实际应用【例3】　设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球，1个黑球，乙箱中有1个白球，99个黑球．先随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球．推断这球是从哪一个箱子中取出的？[解]　甲箱中有99个白球，1个黑球，故随机地取出一球，得到白球的可能性是99100.乙箱中有1个白球，99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是1100.由此可见，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多．既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是从概率大的箱子中取出的．所以我们作出统计推断：该白球是从甲箱中取出的．　概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大．[跟进训练]3．为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150只．查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量．[解]　设保护区中天鹅的数量为n，假设每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，设事件A＝{捕到带有记号的天鹅}，则P(A)＝200n.从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的定义可知P(A)≈20150.由200n≈20150，解得n≈1 500，所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只．1．某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的(　　)A．概率为45　　　 B．频率为45C．频率为8 D．概率接近于8B　[做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为mn.如果多次进行试验，事件A发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A的概率，故810＝45为事件A的频率．]2．“某彩票的中奖概率为1100”意味着(　　)A．买100张彩票就一定能中奖B．买100张彩票能中一次奖C．买100张彩票一次奖也不中D．购买彩票中奖的可能性为1100D　[某彩票的中奖率为1100，意味着中奖的可能性为1100，可能中奖，也可能不中奖．]3．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了________次试验．500　[设进行了n次试验，则有10n＝0.02，得n＝500，故进行了500次试验．]4．如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黄球(只是颜色不同)若干个，从中任取1球，取了10次有7个白球，估计袋中数量较多的是________球．白　[取10次球有7次是白球，则取出白球的频率是0.7，故可估计袋中数量较多的是白球．]回顾本节知识，自主完成以下问题：频率和概率有什么区别和联系？[提示]　课时分层作业(四十九)　频率的稳定性一、选择题1．某地气象局预报说：明天本地降水的概率为80%，则下列解释正确的是(　　)A．明天本地有80%的区域降水B．明天本地有80%的时间降水C．明天本地降水的可能性是80%D．以上说法均不正确C　[选项A，B显然不正确，因为明天本地降水的概率为80%不是说有80%的区域降水，也不是说有80%的时间降水，而是指降水的可能性是80%.故选C.]2．每道选择题有四个选项，其中只有一个选项是正确的．某次数学考试共有12道选择题，有位同学说：“每个选项正确的概率是14，我每道题都选择第一个选项，则一定有3道题选择结果正确．”该同学的说法(　　)A．正确　　　 B．错误C．无法解释 D．以上均不正确B　[解每一道选择题都可看成一次试验，每次试验的结果都是随机的，经过大量的试验其结果呈现出一定的规律，即随机选取一个选项选择正确的概率是14.12道选择题做对3道题的可能性比较大，但并不能保证一定做对3道题，也有可能都选错，因此该同学的说法错误．]3．(多选)某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是(　　)A．PA＝0.55 B．PB＝0.18C．PC＝0.27 D．PB+C＝0.55ABC　[依题意，P(A)＝55100＝0.55，P(B)＝18100＝0.18，显然事件A，B互斥，P(C)＝1－P(A＋B)＝1－P(A)－P(B)＝0.27，事件B，C互斥，则P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.45，于是得选项A，B，C都正确，选项D错误．故选ABC.]二、填空题4．设某厂产品的次品率为2%，估算该厂8 000件产品中合格品的件数可能为________件．7 840　[次品率为2%，故次品约8 000×2%＝160(件)，故合格品的件数可能为7 840.]5．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20 000辆汽车的数据，时间是从某年的5月1日到下一年的4月30日，共发现有600辆汽车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是________．0．03　[在一年内挡风玻璃破碎的频率为60020 000＝3100＝0.03，用频率来估计挡风玻璃破碎的概率，故概率近似为0.03.]三、解答题6．某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？[解]　(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100+2001 000＝0.3.(3)顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100+200+3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．7．某市交警部门在调查一起交通事故过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆A款出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆A款出租车，3 000辆B款出租车，乙公司有3 000辆A款出租车，100辆B款出租车，交警部门应先调查哪个公司的车辆较合理(　　)A．甲公司　　　 B．乙公司C．甲或乙公司均可 D．以上都对B　[由于甲公司A款的比例为100100+3 000＝131，乙公司A款的比例为3 0003 000+100＝3031，可知肇事车在乙公司的可能性大些．]8．(多选)某机构要调查某小区居民生活垃圾的投放情况(该小区居民的生活垃圾以厨余垃圾、可回收物、其他垃圾为主)，随机抽取了该小区“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱这三类垃圾箱，总计1 000千克的生活垃圾，数据(单位：千克)统计如下：根据样本数据估计该小区居民生活垃圾的投放情况，下列结论正确的是(　　)A．“厨余垃圾”投放正确的概率约为47B．“可回收物”投放错误的概率约为35C．该小区这三类垃圾中，“厨余垃圾”投放正确的概率最低D．该小区这三类垃圾中，“其他垃圾”投放错误的概率最高AC　[A选项，“厨余垃圾”共有400＋200＋100＝700 kg，其中400 kg投放正确，概率为47，所以A选项说法正确；B选项，“可回收物”共有30＋140＋30＝200 kg，其中60kg投放错误，概率为310，所以B选项说法错误；C选项，“厨余垃圾”、“可回收物”、“其他垃圾”投放正确的概率依次为47，710，35，47最小，所以C选项说法正确；D选项，“厨余垃圾”“可回收物”“其他垃圾”投放错误的概率依次为37，310，25，37最大，所以D选项说法错误．故选AC.]9．某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值．[解]　(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60+50200＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30+30200＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.10．有A，B两种乒乓球，A种乒乓球的次品率是1%，B种乒乓球的次品率是5%.(1)甲同学买的是A种乒乓球，乙同学买的是B种乒乓球，但甲买到的是次品，乙买到的是合格品，从概率的角度如何解释？(2)如果你想买到合格品，应选择购买哪种乒乓球？[解]　(1)因为A种乒乓球的次品率是1%，所以任选一个A种乒乓球是合格品的概率是99%.同理，任选一个B种乒乓球是合格品的概率是95%.因为99%>95%，所以“买一个A种乒乓球，买到的是合格品”的可能性比“买一个B种乒乓球，买到的是合格品”的可能性大．但并不表示“买一个A种乒乓球，买到的是合格品”一定发生．乙买一个B种乒乓球，买到的是合格品，而甲买一个A种乒乓球，买到的却是次品，即可能性较小的事件发生了，而可能性较大的事件却没有发生，这正是随机事件的不确定性的体现．(2)因为任意选取一个A种乒乓球是合格品的可能性为99%，所以如果做大量重复买一个A种乒乓球的试验，“买到的是合格品”的频率会稳定在0.99附近．同理，做大量重复买一个B种乒乓球的试验，“买到的是合格品”的频率会稳定在0.95附近．因此若希望买到的是合格品，则应选择购买A种乒乓球．学习任务1.了解概率的意义以及频率与概率的区别．(数学抽象)2. 结合实例，会用频率估计概率．(数学运算)满意度评分[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]频数2814106满意度评分低于70分[70，90)[90，100]满意度等级不满意满意非常满意赔偿金额(元)01 0002 0003 0004 000车辆数(辆)500130100150120名称区别联系频率本身是随机的，在试验之前无法确定，大多会随着试验次数的改变而改变．做同样次数的重复试验，得到的频率值也可能会不同(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．(2)在实际问题中，事件的概率通常情况下是未知的，常用频率估计概率概率是一个[0，1]中的确定值，不随试验结果的改变而改变投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数1005518　　商品顾客人数　　　　甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√×ד厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾的投放质量400200100可回收物的投放质量3014030其他垃圾的投放质量202060上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a出险次数01234≥5频数605030302010保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05