人教A版高中数学必修第二册第6章6-3-1平面向量基本定理讲义

这是一份人教A版高中数学必修第二册第6章6-3-1平面向量基本定理讲义，共8页。
6.3　平面向量基本定理及坐标表示6.3.1　平面向量基本定理通过物理课中《力的合成与分解》的学习，我们知道，一个力可以分解成无数对大小、方向不同的分力．知识点　平面向量基本定理1．平面向量基本定理2．基底若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)基底中的向量可以是零向量． (　　)(2)平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． (　　)(3)若AB＝a，AC＝b，AD是△ABC的中线，则AD＝12(a＋b)． (　　) 类型1　平面向量基本定理的理解【例1】　(多选)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　)A．a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则λ1λ2＝μ1μ2D．若存在实数λ，μ，使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一表示．[跟进训练]1．(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是(　　)A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2D．e1和e1＋e2 类型2　用基底表示向量【例2】　(源自湘教版教材)如图，△ABC中，AB边的中点为P，重心为G.在△ABC外任取一点O，作向量OA，OB，OC，OP，OG．(1)试用OA，OB表示OP；(2)试用OA，OB，OC表示OG．[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　基底表示其他向量的方法方法一：利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止．方法二：列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．[跟进训练]2．已知△OAB中，点D在线段OB上，且OD＝2DB，延长BA到点C，使BA＝AC，连接OC，DC.设OA＝a，OB＝b．(1)用a，b表示OC，DC；(2)若OC与OA＋kDC共线，求k的值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型3　平面向量基本定理的应用【例3】　(2022·江苏马坝高中月考)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上，且AE＝2BE，点F是BC的中点．(1)设AB＝a，AD＝b，用a，b表示ED，EF；(2)已知ED⊥EF，求证：AB＝32AD．[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　利用向量解决几何问题的一般思路(1)选取不共线的两个平面向量作为基底．(2)将相关的向量用基底表示，将几何问题转化为向量问题．(3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解．(4)将向量问题的解转化为平面几何问题的解．[跟进训练]3．用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形ABCD是菱形，AC，BD是其对角线．求证：AC⊥BD．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是(　　)A．{AB，DC}　 B．{AD，BC}C．{BC，CB} D．{AB，DA}2．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(5x－6y)e1＋(4x－5y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为(　　)A．3 B．－3C．0 D．23．在△ABC中，O为△ABC的重心，若BO＝λAB＋μAC，则λ－2μ＝(　　)A．－12 B．－1C．43 D．－434．如图，在平行四边形ABCD中，设AC＝a，BD＝b，用基底{a，b}表示AB，BC，则AB＝________，BC＝________．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．平面内满足什么条件的两个向量可以构成基底？2．若存在实数λ1，λ2，μ1，μ2及不共线的向量e1，e2，使向量a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，则λ1，λ2，μ1，μ2有怎样的大小关系？学习任务1．理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义．(数学抽象)2．掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量．(逻辑推理、数学运算)条件e1，e2是同一平面内的两个________结论对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使________