人教A版高中数学必修第二册第6章微专题1平面向量中的最值与范围问题讲义

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微专题1　平面向量中的最值与范围问题平面向量中的最值和范围问题是高中数学的热点问题，由于平面向量具有了“数”与“形”的双重特性，故其最值或范围问题可从代数与几何两大视角进行切入，解题方法可分为构造目标函数法、直角坐标系法、基本不等式法、极化恒等式法、几何意义法等． 类型1　目标函数法求最值(或范围)【例1】　(1)已知向量a，b满足a＝(t，22－t)，|b|＝1，且(a－b)⊥b，则a，b的夹角的最小值为(　　)A．π6 B．π4　　　C．π3　　　 D．π2(2)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(－3，1)，则|2a－b|的最大值为________．[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型2　坐标法、几何意义法求最值(或范围)【例2】　(2020·新高考Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP·AB 的取值范围是(　　)A．(－2，6)　 B．(－6，2)C．(－2，4) D．(－4，6)[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型3　基本不等式法求最值(或范围)【例3】　如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足AP＝mAB＋nAD(m，n均为正实数)，则1m＋1n的最小值为________．[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型4　极化恒等式法求最值(或范围)【例4】　(1)如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴、y轴的正半轴(含原点)上滑动，则OC·OB的最大值是________．(2)四边形ABCD为菱形，∠BAC＝30°，AB＝6，P是菱形ABCD所在平面的任意一点，则PA·PC的最小值为________．[尝试解答]