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人教A版高中数学必修第二册第8章8-4-1平面讲义
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这是一份人教A版高中数学必修第二册第8章8-4-1平面讲义，共12页。
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.1 平面生活中的一些物体给我们以平面的感觉，如平静的湖面、整洁的教室桌面、美丽的大草原等，你能说出平面的一些几何特征吗？知识点1 平面 1.课桌面、黑板面、海面是平面吗？ 2.我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面，这句话对吗？ 3.几何中的平面有什么特点？ 知识点2 点、直线、平面之间的位置关系(1)直线在平面内的概念：如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内．(2)直线、平面都可以看成点的集合．点P在直线l上，记作P________l；点P在直线l外，记作P________l；点P在平面α内，记作P∈α；点P在平面α外，记作P∉α；直线l在平面α内，记作l________α；直线l不在平面α内，记作l________α. 4.“线段AB在平面α内，直线AB不全在平面α内”这一说法是否正确？为什么？ 知识点3 平面的基本事实及推论(1)基本事实(2)基本事实的推论推论1 经过一条直线和这条直线外______，有且只有一个平面(图①)．推论2 经过两条________，有且只有一个平面(图②)．推论3 经过两条________，有且只有一个平面(图③)． 5.经过三点有多少个平面？ 6.三个基本事实各有什么作用？ 如图，点A________平面ABC；点A______平面BCD；BD________平面ABD；平面ABC∩平面BCD＝________． 类型1 立体几何三种语言的相互转化【例1】 用符号表示下列语句，并画出图形．(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．[尝试解答] 三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．[跟进训练]1．用符号语言表示下列语句，并画出图形．(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC. 类型2 点、线共面问题【例2】 (源自苏教版例题)已知：A∈l，B∈l，C∈l，D∉l(如图)．求证：直线AD，BD，CD共面．[思路导引] 因为直线l与点D可以确定平面α，所以只需证明AD，BD，CD都在平面α内．[尝试解答] 解决点线共面问题的基本方法[跟进训练]2．(源自人教B版例题)证明：两两相交且不过同一个点的3条直线必在同一个平面内． 类型3 点共线、线共点问题【例3】 如图，已知平面α，β，且α∩β＝l．设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β．求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．[尝试解答] [母题探究]本例变为：如图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上． 1.证明三点共线的方法(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上．(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上．2．证明三线共点的步骤(1)首先说明两条直线共面且交于一点．(2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交．(3)得到交线也过此点，从而得到三线共点．[跟进训练]3．三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线必相交于同一点． 1．(多选)下列说法正确的是( )A．平面是处处平的面B．平面是无限延展的C．平面的形状是平行四边形D．一个平面的厚度可以是0.001 cm2．(多选)如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面可记为( )A．平面MN B．平面NQC．平面α D．平面MNPQ3．下列空间图形画法错误的是( )A B C D4．已知α与β是两个不重合的平面，则下列推理正确的序号是________．①A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α；②A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB；③l⊄α，A∈l⇒A∉α；④A∈l，l⊂α⇒A∈α.回顾本节知识，自主完成以下问题：1．如何用符号表示空间点、线、面的位置关系？2．3个基本事实的内容是什么？各有什么作用？ 学习任务1．了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．(数学抽象、直观想象)2．掌握关于平面基本性质的三个基本事实．(数学抽象、逻辑推理)3．会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系．(逻辑推理)平面的描述性概念几何里所说的“平面”，就是从生活中一些物体中抽象出来的．平面是向四周________的画法水平放置常把平行四边形的一边画成________竖直放置常把平行四边形的一边画成________记法(1)用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内(2)用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面ABCD(3)用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示，如平面AC，平面BD基本事实内容图形符号基本事实1过不在一条直线上的________，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α基本事实2如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α基本事实3如果两个不重合的平面有一个________，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.1 平面生活中的一些物体给我们以平面的感觉，如平静的湖面、整洁的教室桌面、美丽的大草原等，你能说出平面的一些几何特征吗？知识点1 平面 1.课桌面、黑板面、海面是平面吗？ 2.我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面，这句话对吗？ 3.几何中的平面有什么特点？ 知识点2 点、直线、平面之间的位置关系(1)直线在平面内的概念：如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内．(2)直线、平面都可以看成点的集合．点P在直线l上，记作P________l；点P在直线l外，记作P________l；点P在平面α内，记作P∈α；点P在平面α外，记作P∉α；直线l在平面α内，记作l________α；直线l不在平面α内，记作l________α. 4.“线段AB在平面α内，直线AB不全在平面α内”这一说法是否正确？为什么？ 知识点3 平面的基本事实及推论(1)基本事实(2)基本事实的推论推论1 经过一条直线和这条直线外______，有且只有一个平面(图①)．推论2 经过两条________，有且只有一个平面(图②)．推论3 经过两条________，有且只有一个平面(图③)． 5.经过三点有多少个平面？ 6.三个基本事实各有什么作用？ 如图，点A________平面ABC；点A______平面BCD；BD________平面ABD；平面ABC∩平面BCD＝________． 类型1 立体几何三种语言的相互转化【例1】 用符号表示下列语句，并画出图形．(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．[尝试解答] 三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．[跟进训练]1．用符号语言表示下列语句，并画出图形．(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC. 类型2 点、线共面问题【例2】 (源自苏教版例题)已知：A∈l，B∈l，C∈l，D∉l(如图)．求证：直线AD，BD，CD共面．[思路导引] 因为直线l与点D可以确定平面α，所以只需证明AD，BD，CD都在平面α内．[尝试解答] 解决点线共面问题的基本方法[跟进训练]2．(源自人教B版例题)证明：两两相交且不过同一个点的3条直线必在同一个平面内． 类型3 点共线、线共点问题【例3】 如图，已知平面α，β，且α∩β＝l．设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β．求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．[尝试解答] [母题探究]本例变为：如图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上． 1.证明三点共线的方法(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上．(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上．2．证明三线共点的步骤(1)首先说明两条直线共面且交于一点．(2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交．(3)得到交线也过此点，从而得到三线共点．[跟进训练]3．三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线必相交于同一点． 1．(多选)下列说法正确的是( )A．平面是处处平的面B．平面是无限延展的C．平面的形状是平行四边形D．一个平面的厚度可以是0.001 cm2．(多选)如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面可记为( )A．平面MN B．平面NQC．平面α D．平面MNPQ3．下列空间图形画法错误的是( )A B C D4．已知α与β是两个不重合的平面，则下列推理正确的序号是________．①A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α；②A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB；③l⊄α，A∈l⇒A∉α；④A∈l，l⊂α⇒A∈α.回顾本节知识，自主完成以下问题：1．如何用符号表示空间点、线、面的位置关系？2．3个基本事实的内容是什么？各有什么作用？ 学习任务1．了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．(数学抽象、直观想象)2．掌握关于平面基本性质的三个基本事实．(数学抽象、逻辑推理)3．会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系．(逻辑推理)平面的描述性概念几何里所说的“平面”，就是从生活中一些物体中抽象出来的．平面是向四周________的画法水平放置常把平行四边形的一边画成________竖直放置常把平行四边形的一边画成________记法(1)用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内(2)用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面ABCD(3)用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示，如平面AC，平面BD基本事实内容图形符号基本事实1过不在一条直线上的________，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α基本事实2如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α基本事实3如果两个不重合的平面有一个________，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
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